年四飛 (郵編：233400)

安徽省懷遠第三中學(xué)

加強命題巧證不等式
——例說數(shù)學(xué)歸納法的間接應(yīng)用

年四飛 (郵編：233400)

安徽省懷遠第三中學(xué)

數(shù)學(xué)歸納法的實質(zhì)在于：將一個無法(或很難)窮盡驗證的與正整數(shù)n有關(guān)的命題轉(zhuǎn)化為證明兩個普通命題：(1)證明當(dāng)n取第一個值n0(n0∈N*)時命題成立；(2)假設(shè)n=k(k≥n0,k∈N*)時命題成立，證明當(dāng)n=k+1時命題也成立.有些表面看來與數(shù)學(xué)歸納法無關(guān)(或不易直接用數(shù)學(xué)歸納法證明)的命題，如能將其推廣或加強，轉(zhuǎn)化為一個更強的命題，而加強后的命題用數(shù)學(xué)歸納法易于證明，這樣原來的命題就間接地得到了證明.加強命題有兩種方法：一是將命題一般化，二是加強結(jié)論.下面通過幾個具體的實例，介紹這兩種方法在證明某些特殊命題中的應(yīng)用.

1 將命題一般化

例1 已知a、b、c、d∈(0，1)，求證：abcd>a+b+c+d-3.

分析 本題直接證明比較困難，考慮把命題一般化：若a1、a2、…、an∈(0,1),則a1a2…an>a1+a2+…an-(n-1)(n∈N*,n≥2).

下面用數(shù)學(xué)歸納法證明推廣后的命題.

(1)當(dāng)n=2時，由于a1a2-(a1+a2-1)=(a1-1)(a2-1)>0,所以

a1a2>a1+a2-1,不等式成立.

(2)假設(shè)n=k(k≥2,k∈N*)時，命題成立，即當(dāng)a1,a2,…ak∈(0,1)時，有

a1a2…ak>a1+a2+…+ak-(k-1).

那么，當(dāng)n=k+1 時，由于a1a2…ak∈(0,1),ak+1∈(0,1),則

a1a2…akak+1=(a1a2…ak)·ak+1>a1a2…ak+ak+1-1>a1+a2+…+ak-(k-1)+ak+1-1=a1+a2+…+ak+1-k.

這就是說，當(dāng)n=k+1時，不等式也成立.

根據(jù)(1)和(2)，可知一般化后的命題對任何大于1的正整數(shù)都成立.當(dāng)n=4時命題自然也成立，所以原命題得證.

例2 若a1、a2、a3、a4、a5都是大于1的實數(shù)，證明：

16(a1a2a3a4a5+1)>(1+a1)(1+a2)(1+a3)(1+a4)(1+a5).

分析 把命題一般化，推廣為：若a1、a2、…、an都大于1，則當(dāng)n≥2時，有

2n-1(a1a2…an+1)>(1+a1)(1+a2)…(1+an).下面用數(shù)學(xué)歸納法證明這個不等式：

(1)當(dāng)n=2時，2(a1a2+1)-(1+a1)(1+a2)=(a1-1)(a2-1)>0,于是

2(a1a2+1)>(1+a1)(1+a2)，所以不等式成立.

(2)假設(shè)n=k(k≥2,k∈N*)時，不等式成立，即當(dāng)a1,a2,…ak都大于1時，有

2k-1(a1a2…ak+1)>(1+a1)(1+a2)…(1+ak).那么，當(dāng)n=k+1時，

2k(a1a2…ak+1+1)-(1+a1)(1+a2)…(1+ak)(1+ak+1)>2k(a1a2…ak+1+1)-2k-1(a1a2…ak+1)(1+ak+1)=2ka1a2…ak+1+2k-2k-1a1a2…ak+1-2k-1a1a2…ak-2k-1ak+1-2k-1=2k-1a1a2…ak(ak+1-1)-2k-1(ak+1-1)=2k-1(ak+1-1)(a1a2…ak-1).

由于a1,a2,…ak,ak+1都大于1，故ak+1-1>0,a1a2…ak-1>0,所以

2k-1(ak+1-1)(a1a2…ak-1)>0.這樣就有

2k(a1a2…akak+1+1)>(1+a1)(1+a2)…(1+ak)(1+ak+1)，

也就是說n=k+1時，不等式也成立.

由(1)、(2)可得，推廣后的不等式對于n取任何大于1的正整數(shù)都成立.n=5時不等式自然也成立，所以原命題得證.

2 加強結(jié)論

例3 已知n∈N*,n≥2，

分析 由于整個不等式不具有遞推性，難于用數(shù)學(xué)歸納法證明.考慮將其結(jié)論加強為：

加強后的不等式用數(shù)學(xué)歸納法證明如下：

(1)當(dāng)n=2時，不等式顯然成立.

(2)假設(shè)n=k(k≥2,k∈N*)時，不等式成立，就是

這就是說，當(dāng)n=k+1時不等式也成立.

根據(jù)(1)和(2)，可知加強后的不等式對任何大于1的正整數(shù)都成立.所以原命題成立.

下面用數(shù)學(xué)歸納法證明加強后的不等式：

(2) 假設(shè)n=k(k≥1,k∈N*)時，命題成立，當(dāng)n=k+1時

由(1)、(2)可得，加強后的命題對于n∈N*都成立，所以原不等式成立.

對?n∈N*,都有an>1.

這就是說n=k+1時不等式也成立.

根據(jù)(1)和(2)，可知加強后的不等式對于n∈N*都成立，所以原命題成立.

2017-01-13)