袁守成

(普洱學院 數(shù)學與統(tǒng)計學院，云南 普洱665000)

雙參數(shù)指數(shù)分布的興趣參數(shù)的廣義置信區(qū)間

袁守成

(普洱學院 數(shù)學與統(tǒng)計學院，云南 普洱665000)

研究了雙參數(shù)指數(shù)分布的分位數(shù)和可靠度函數(shù)的廣義置信區(qū)間問題.首先利用廣義樞軸量給出2個興趣參數(shù)的廣義置信區(qū)間，并證明了在頻率意義下2個興趣參數(shù)的廣義置信區(qū)間具有實際的置信水平，最后通過實例對上述方法進行了數(shù)值模擬，結果驗證了該方法的有效性.

雙參數(shù)指數(shù)分布； 廣義置信區(qū)間； 廣義樞軸量； Fiducial模型

雙參數(shù)指數(shù)分布是一類應用非常廣泛的分布，常常用于產(chǎn)品壽命的可靠性分析中，也用于各種經(jīng)濟模型和工程技術問題中.Epstein[1]指出對于有瑕疵的材料，其強度服從雙參數(shù)指數(shù)分布；Easterling[2]建立的關于蒸汽發(fā)生器的模型是基于雙指數(shù)分布測量誤差的假定上的；Bain等[3]在研究水文站的洪水資料時也是利用2個獨立的雙參數(shù)指數(shù)分布的變量之差生成雙參數(shù)指數(shù)分布.因此，雙參數(shù)指數(shù)分布在許多領域都有著廣泛的應用.對雙參數(shù)指數(shù)分布的興趣參數(shù)的置信區(qū)間的研究從未停止，研究者們提出過很多方法，比如基于參數(shù)的最優(yōu)線性同變估計、最優(yōu)線性無偏估計和最大似然估計等方法確定未知參數(shù)的精確置信區(qū)間；采用條件分布的方法給出了興趣參數(shù)的置信區(qū)間[4].Engelhardt等[5]在產(chǎn)品的可靠壽命問題中，給出了興趣參數(shù)的近似置信下限，但由于計算方法過于復雜而不便于使用.筆者運用Weemhandi[6]提出的廣義樞軸量方法，給出了雙參數(shù)指數(shù)分布分位數(shù)和可靠度函數(shù)的精確置信區(qū)間，該方法解決了在求參數(shù)置信區(qū)間時，由于討厭參數(shù)和興趣參數(shù)同時存在，難以獲得興趣參數(shù)的精確置信區(qū)間的問題.

設R=r(X;x,ξ)是X,x,ξ的函數(shù)，其中ξ=(θ,η)，若R滿足性質(zhì):

1)R的分布與ξ=(θ,η)無關；

2)R的觀測值robs=r(x;x,ξ)不依賴于討厭參數(shù)η；

1 雙參數(shù)指數(shù)分布興趣參數(shù)的廣義置信區(qū)間

設隨機變量X服從雙參數(shù)指數(shù)分布，其密度函數(shù)為

f(x;μ,σ)=σ-1exp(-(x-μ)/σ)x≥μ,

其中，σ>0為尺度參數(shù)，-∞<μ<∞為位置參數(shù).

設X1,…,Xn是來自此總體的獨立同分布樣本，令

(1)

考慮雙參數(shù)指數(shù)分布分位數(shù)的100(1-α)%廣義置信區(qū)間,雙參數(shù)指數(shù)分布的分位數(shù)μ-σln(1-α)，故構造廣義樞軸量

(2)

(3)

2 頻率性質(zhì)

主要研究了興趣參數(shù)落在廣義置信區(qū)間的覆蓋概率，也就是廣義置信區(qū)間的頻率性質(zhì).

注：關于正規(guī)參數(shù)函數(shù)的定義參考文獻[7].

證明

其中，F(xiàn)R1表示R1的分布函數(shù).由于

(4)

證明過程與定理1類似，故略.

由定理1和2可知，由廣義樞軸量確定的雙參數(shù)指數(shù)分布的分位數(shù)及可靠度函數(shù)的廣義置信區(qū)間的覆蓋概率為1-α.

3 數(shù)值計算及實例

在數(shù)值模擬時，MonteCarlo方法提供了可行性保證.從而，計算雙參數(shù)指數(shù)分布的興趣參數(shù)的廣義置信區(qū)間，可按步驟進行：

R(1)≤R(2)≤…≤R(m)；

步驟4 區(qū)間(R([mα/2]),R([m(1-α/2)]))可作為雙參數(shù)指數(shù)分布興趣參數(shù)的廣義置信區(qū)間，其中[x]表示不超過x的最大整數(shù).

例1[4]己知軍隊運兵車在服務中失效的行駛里程服從雙參數(shù)指數(shù)分布f(x;μ,σ)，現(xiàn)隨機抽取19輛軍車的失效行駛里程記錄為：

162，200，271，320，293，508，539，629，706，777，884，1 008，1 101，1 182，1 463，1 603，1 984，2 355，2 880，

分別計算在置信水平為0.9時，分位數(shù)和x0=706時可靠度函數(shù)的廣義置信區(qū)間.

從模擬計算結果可知，當模擬次數(shù)m大于10 000時，興趣參數(shù)的廣義置信區(qū)間趨于穩(wěn)定，對估計參數(shù)有較為滿意的覆蓋，精度也令人滿意，更可取的是計算簡單，計算速度快，是在應用中值得借鑒的方法.

[1]EpsteinB.Statisticalaspectsoffractureproblems[J].AppliedPhysics,1948,19(2):140-147.

[2]EasterlingRG.Exponentialresponseswithdoubleexponentialmeasurementerror:amodelforsteamgeneratorinspection:proceedingsoftheDOEstatisticalsymposium,Albuquerque,Nov1 1978[C].[S.l]:U.S.DepartmentofEnergy,1978.

[3]BainLJ,EngelhardtM.Intervalestimationforthetwo-parameterdoubleexponentialdistribution[J].Technometrics,1973,15(4):875-887.

[4]LawlessJF.StatisticalModelsandMethodsforLifetimeData[M].NewYork:JohnWiley,1982.

[5]EngelhardtM,BainLJ.Tolerancelimitsandconfidenceonreliabilityforthetwo-parameterexponentialdistribution[J].Technometrics,1978,20(1):37-39.

[6]WeerahandiS.Generalizedconfidenceintervals[J].JournaloftheAmericanStatisticalAssociation,1993,88(423):899-905.

[7] 徐興忠，李國英.樞軸分布族中的Fiducial推斷[J].中國科學A輯，2006，36(3):340-360.

[8]XuXZ,LiGY.Fiducialinferenceinthepivotalfamilyofdistribution[J].ScienceinChinaSeriesA:Mathematics,2006,49(3):410-432.

Generalized Confidence Intervals for Interest Parameters of the Two-Parameter Exponential Distribution

Yuan Shoucheng

(College of Mathematics and Statistical Science, Puer University, Puer 665000, China)

In the report, the generalized confidence intervals for the percentile and the reliability function of the two-parameter exponential distribution were investigated. Firstly, the concept of generalized pivotal quantity was used to propose the generalized confidence intervals of two interest parameters. Secondly, under the sense of frequency, their exact confidence levels were proved. At last, the numerical simulation experiment was performed, and the results confirmed the validity of the method.

two-parameter exponential distribution; generalized confidence interval; generalized pivotal quantity; Fiducial model

2016-10-20

普洱學院科學研究項目(201334)；微分方程研究與應用創(chuàng)新團隊(K2015042)

袁守成(1981-)，男，甘肅景泰人，講師，研究方向：應用統(tǒng)計學，E-mail：ysc-peace@163.com

1004-1729(2017)01-0022-04

O 211.3

A DOl：10.15886/j.cnki.hdxbzkb.2017.0005