王獻忠，江晨半，計方，方月明

（1.高性能船舶技術(shù)教育部重點實驗室（武漢理工大學(xué)），武漢430063；2武漢理工大學(xué)交通學(xué)院，船舶、海洋與結(jié)構(gòu)工程系，武漢430063；3.中國艦船研究院，北京100192）

有限長加筋圓柱殼水下聲輻射的精細傳遞矩陣法

王獻忠1，2，江晨半2，計方3，方月明2

（1.高性能船舶技術(shù)教育部重點實驗室（武漢理工大學(xué)），武漢430063；2武漢理工大學(xué)交通學(xué)院，船舶、海洋與結(jié)構(gòu)工程系，武漢430063；3.中國艦船研究院，北京100192）

基于傳遞矩陣法，結(jié)合非齊次項的精細積分方法，提出了一種求解加筋圓柱殼動響應(yīng)的精細傳遞矩陣方法。該方法基于圓柱殼結(jié)構(gòu)的一階振動微分方程，得到加筋圓柱殼的場傳遞矩陣和點傳遞矩陣，結(jié)合非其次項的精細積分方法和增維存儲的辦法考慮廣義聲壓激勵的作用。利用流固耦合交界面處的連續(xù)條件，實現(xiàn)聲壓系數(shù)的求解。開展了模態(tài)收斂性分析，并將數(shù)值計算結(jié)果與試驗結(jié)果進行對比，驗證方法的有效性。同時分析了邊界條件及環(huán)肋數(shù)目等對聲輻射的影響。

加強筋；圓柱殼；聲輻射；精細傳遞矩陣法

0 引言

有限長加筋圓柱殼是潛艇，魚雷等水下航行體的典型結(jié)構(gòu)形式，其結(jié)構(gòu)噪聲主要來源于機械設(shè)備振動激勵殼板進而輻射噪聲到水中。因此，研究機械激勵下水中有限長環(huán)肋圓柱殼的聲振特性，是國內(nèi)外研究的熱點。關(guān)于水中圓柱殼的振動和聲輻射特性計算方法有關(guān)研究人員已經(jīng)進行了大量的理論研究。Stepanishen[1]研究了有限長圓柱殼的聲輻射計算模型，將殼體位移函數(shù)用模態(tài)展開，采用模態(tài)疊加法和Green函數(shù)得到耦合振動方程，計算分析了圓柱殼的聲輻射自阻抗和互阻抗。Sandman[2-3]認為柱型障板對有限長圓柱殼表面聲壓沿軸向分布有一定的影響，而對模態(tài)輻射阻抗的影響可以忽略，帶圓柱形障板的圓柱殼可作為一種合理的近似預(yù)報模型。Laulagnet[4-5]采用能量法處理肋骨，研究了流場中有限長環(huán)肋圓柱殼的聲輻射特性，并討論了肋骨參數(shù)對聲輻射的影響。但上述解析方法均是只能求解等厚度圓柱殼計算模型，對于任意邊界條件,軸向變厚度圓柱殼，變截面殼體等結(jié)構(gòu)的振動與聲輻射問題，由于結(jié)構(gòu)振動控制方程的復(fù)雜性使得解析方法在這些方面仍然存在一定的困難。

Irie等人解決了變厚度錐殼[6]、錐柱結(jié)合殼[7]、軸向具有離散彈簧支承的圓柱殼[8]等各類結(jié)構(gòu)的諧振問題。但這些研究均是圍繞結(jié)構(gòu)的固有振動特性進行展開研究的，并沒有考慮水下聲輻射的問題。

本文基于傳遞矩陣法[6]和精細積分法[9-10]聯(lián)立給出一種精細積分傳遞矩陣法，并將其應(yīng)用到求解水下有限長加筋圓柱殼的振動與聲輻射問題，該方法可推廣到錐殼結(jié)構(gòu)，錐-柱組合殼等細長體結(jié)構(gòu)的振動聲輻射，其計算固有頻率與文獻及有限元值進行對比，將計算的輻射聲壓與文獻值進行對比，驗證方法的有效性。在此基礎(chǔ)上，開展了環(huán)肋和邊界條件對水下環(huán)肋圓柱殼的聲輻射的影響研究。

1 加筋圓柱殼的傳遞矩陣

根據(jù)Flügge殼體理論[6]，可得到力的平衡方程：

圖1 環(huán)肋柱殼模型和坐標(biāo)示意圖Fig.1 An stiffened cylindrical shell geometry and coordinate system

其中：Kevin-Kirchhoff膜力，剪力及所有內(nèi)力可參見文獻[5]。

通過將位移和內(nèi)力進行無量綱化，未知量沿周向展成三角函數(shù)的形式：

其中：n為周向波數(shù)，并引入以下無量綱長度參數(shù)和頻率因子。

通過消去8個未知量Nφ，Nφx，Nxφ，Mxφ，Mφx，Mφ，Qx，Qφ，保留8個未知分量：軸向位移u，切向位移v，徑向位移w，轉(zhuǎn)角φ，軸向力Nx，彎矩Mx，剪力Vx，切向力Sx這些狀態(tài)向量。經(jīng)過復(fù)雜的化簡和對8個未知量消去后，可得一階矩陣微分方程形式

環(huán)肋對圓柱殼的作用主要體現(xiàn)在狀態(tài)向量的變化上，當(dāng)圓柱殼振動時，與殼體連接在一起的環(huán)肋會作四種形式的振動，其中兩種是面內(nèi)運動即面內(nèi)的彎曲和拉伸振動，另外兩種是面外運動即面外的彎曲和扭轉(zhuǎn)振動[14]。令Fu、Fv、Fw和Mφ分別表示圓柱殼對環(huán)肋的縱向、切向和徑向的反作用力及力矩。分別表示環(huán)肋對圓柱殼的縱向、切向和徑向的反作用力及力矩。根據(jù)殼體面板與環(huán)肋連接處的位移連續(xù)性條件，可將方程組中的狀態(tài)向量無量綱化可得：

其中：R為肋骨形心半徑，R=R+e，e為偏心距。由（12）-（15）式可得在某一環(huán)肋位置ξ處，環(huán)肋左端

bbk右端由于環(huán)肋的存在導(dǎo)致兩個面內(nèi)力和兩個面外力發(fā)生變化，滿足如下式子：

2 精細傳遞矩陣方法

外流場中聲壓滿足Helmholtz方程及Sommerfeld邊界條件：

對于聲壓場，用分離變量法求解Helmholtz方程，并考慮輻射條件及殼壁處的耦合邊界條件，則圓柱殼外部聲場中的聲壓展開式有如下形式的解

利用精細區(qū)段的加法定理能夠求出非齊次項的精細結(jié)果。從推導(dǎo)可知，由于沒有假定結(jié)構(gòu)的位移模式，而是直接從殼體振動微分方程出發(fā)，因此推導(dǎo)的傳遞矩陣是精細傳遞矩陣，誤差只來自于E（）l的求解不可能取無窮多項，實際計算時，一般取4項就滿足要求。本文以文獻[14]圓柱殼為例，計算式（30）取不同項數(shù)時某一分段的場傳遞矩陣行列式結(jié)果值。由于行列式結(jié)果在1附近，故文中給出了行列式隨所取項數(shù)的變化，如圖2所示。

圖2 行列式結(jié)果隨取的項數(shù)的變化曲線Fig.2 Matrix determinant curve with the number of items m

圓柱殼受到的機械激勵力設(shè)為集中力，力作用點為（x0, θ0），故外界激勵力表達式為：

將上式進行正交變換可得：

進而可得：

對于該（34）式來說，可根據(jù)外激勵力及兩端邊界條件進行求解。為便于編程，可將柱殼離散時考慮在狀態(tài)向量突變處，例如環(huán)肋、激勵力作用的位置處進行離散。

根據(jù)線性疊加原理，對應(yīng)于任意階周向波數(shù)n下的徑向位移[14]滿足：

由于結(jié)構(gòu)界面處上任意一點均滿足連續(xù)條件，可沿結(jié)構(gòu)長度方向取M個插值點，其中M既要大于波數(shù)m，又要滿足m=2πλ-1。首先取M個點代入到方程（36）中，再將（20）、（35）式代入（36）式中，則可轉(zhuǎn)化為求解各波數(shù)對應(yīng)的聲壓系數(shù)的方程：

通過最小二乘法或者廣義求逆法求解pmn，然后代入到方程（20）中，即可得到流場中的輻射聲壓。

同時，由（q,n）階振動模態(tài)引起的產(chǎn)生的（m,n）階聲壓[16]：

其中：Wmn為對應(yīng)徑向位移的系數(shù)，滿足是（q,n）階和（m,n）階模態(tài)的互輻射阻抗。自輻射阻抗（q=m）遠大于互阻抗（q≠m），可簡化互輻射阻抗表達式：

輻射聲功率定義為：

結(jié)構(gòu)表面的平均振速定義為：

輻射效率定義為：

聲功率級、徑向均方速度級和輻射效率級分別定義為：

式中：聲功率級的基準(zhǔn)Po為0.67×10-18（W），速度級為5×10-8（m/s）。根據(jù)（44）式求解得到加筋圓柱殼的水下輻射聲功率級、平均振速級及輻射效率級。

3 數(shù)值計算

計算結(jié)果的收斂性涉及模態(tài)截取問題，本文選取的計算模型為環(huán)肋圓柱殼結(jié)構(gòu)，結(jié)構(gòu)參數(shù)為：圓柱殼長L=0.6 m，半徑R=0.2 m，厚度H=3 mm，柱殼的內(nèi)肋為2 mm×30 mm，肋間距為0.2 m，初始加強筋的位置0.2 m，徑向激勵力作用在內(nèi)殼（L/2,0）處，幅值為1 N。測量點為（L/2,0,1.2 m）。計算模型殼體、環(huán)肋材料相同，其彈性模量E=2.06e11N/m2，泊松比μ=0.3，密度ρ=7 850 kg/m3，損耗因子η=0.01。流體的密度ρ0=1 000 kg/m3，聲速度c0=1 500 m/s。邊界條件為兩端簡支，計算頻率為40～40 kHz。

為了驗證本文方法的有效性，本文取文獻[15]中給的圓柱殼計算模型進行對比計算。該圓柱殼的結(jié)構(gòu)參數(shù)為：殼長L=0.6 m，半徑R=0.175 m，厚度H=2 mm，徑向激勵力作用在內(nèi)殼（L/2,0）處，幅值為1 N。水聽器安裝在距殼體外面1 m處，測量頻率f=4 kHz。計算模型殼體，環(huán)肋材料相同，其彈性模量E=2e11N/m2，泊松比μ=0.3，密度ρ=7 850 kg/m3，損耗因子η=0.01。流體的密度ρ0=1 000 kg/m3，聲速度c0=1 500 m/s。邊界條件為兩端簡支。本文采用精細傳遞矩陣法求解該圓柱殼模型的水下聲輻射聲壓，并將計算結(jié)果與文獻[15]中給出的測試結(jié)果和解析結(jié)果進行對比，計算結(jié)果見圖4。

圖3 模態(tài)截斷對加筋圓柱殼振動聲輻射的影響Fig.3 Influence of cutting off modality on the vibro-acoustic responses

從圖4中對比結(jié)果可知：本文方法與試驗測量值除了局部角度存在一定差異，但與文獻[5]中解析方法得到的計算結(jié)果相比較，整體上吻合良好。這說明本文提出的精細傳遞矩陣法在求解環(huán)肋柱殼時具有很好的精確度。

圖4 環(huán)肋圓柱殼在f=4 kHz的計算結(jié)果對比曲線Fig.4 Comparison for the sound pressure resulted from precise transfer matrix method and test value

本文開展數(shù)值計算的圓柱殼模型主要參數(shù)如下：殼長L=0.6 m，半徑R=0.2 m，厚度H=3 mm，柱殼的內(nèi)肋為2 mm×30 mm，肋間距為0.20 m，徑向激勵力作用在內(nèi)殼（L/2,0）處，幅值為1 N。測量點為（L/2,0,R+1 m），測量頻率f=4 kHz。計算模型殼體，環(huán)肋材料相同，其彈性模量E=2e11N/m2，泊松比μ= 0.3，密度ρ=7 850 kg/m3，損耗因子η=0.01。流體的密度ρ0=1 000 kg/m3，聲速度c0=1 500 m/s。邊界條件為兩端簡支。分別討論環(huán)肋，邊界條件對水下聲輻射的影響。

圖5 環(huán)肋對加筋圓柱殼水下聲輻射的影響Fig.5 Influence of ring ribs on the vibro-acoustic responses

從圖5中可以看出，整體來看加肋前后對圓柱殼的輻射聲功率平均趨勢影響不大，特別是低頻段0～1.5 kHz范圍內(nèi)，但在2.5 kHz以上頻段，不同的環(huán)肋數(shù)目會導(dǎo)致輻射聲壓有不同程度的波動。從振動速度曲線可以看出，環(huán)肋會導(dǎo)致振動峰值的大小和位置有較大的偏移，同時環(huán)肋的存在會整體減低結(jié)構(gòu)的振動速度。這是因為環(huán)肋的引入增加了圓柱殼的結(jié)構(gòu)阻抗，低頻時由于環(huán)肋與柱殼相比對結(jié)構(gòu)阻抗增加不大，導(dǎo)致環(huán)肋對聲輻射的影響較小。由于環(huán)肋改變了柱殼結(jié)構(gòu)的振動速度，但對聲輻射影響不大，這就必然會增加圓柱殼的輻射效率。

圖6 不同邊界條件對圓柱殼水下聲輻射的影響Fig.6 Influence of boundary conditions on the vibro-acoustic responses

圖6給出了兩端簡支、自由及固支邊界條件的影響，從計算結(jié)果中可以看出，邊界條件對圓柱殼的聲輻射影響較大。整體來說，簡支邊界條件下的振動和聲輻射相對較少。由于不同的邊界條件改變了加筋圓柱殼的固有頻率，導(dǎo)致結(jié)構(gòu)振動速度曲線的峰值發(fā)生偏移。在0～500 Hz低頻段自由邊界條件不管振動速度還是聲輻射都要比其它邊界情況要大很多。在2～4 kHz頻段兩端固支情況時的聲輻射聲壓與其它情況相比最大，其輻射效率與其它兩種情況相比波動性較大。

4 結(jié)論

本文基于傳遞矩陣法，結(jié)合非齊次項的精細積分方法，建立了一種分析加筋圓柱殼聲振響應(yīng)的精細傳遞矩陣法。在針對本文方法的收斂性和有效性進行驗證的基礎(chǔ)上，討論了環(huán)肋和邊界條件對加筋圓柱殼聲學(xué)特性的影響。結(jié)果表明，環(huán)肋對聲輻射影響不大，但其改變了殼體的結(jié)構(gòu)阻抗，會對結(jié)構(gòu)的振動速度有一定影響，特別是峰值的位置和大小，同時增加了加筋圓柱殼的輻射效率。自由邊界情況在低頻時振動和聲輻射均比較大，而在高頻時固支邊界的振動和聲輻射與其它邊界相比最大。

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Acoustic radiation of submerged ring-stiffened cylindrical shells with Precise Transfer Matrix Method

WANG Xian-zhong1,2,JIANG Chen-ban2,JI Fang3,FANG Yue-ming2
(1.Key Laboratory of High Performance Ship Technology(Wuhan University of Technology),Ministry of education, Wuhan 430063,China;2.Departments of Naval Architecture,Ocean and Structural Engineering,School of Transportation,Wuhan University of Technology,Wuhan 430063,China;3.China Ship Research And Development Academy,Beijing 100192,China)

Based on transfer matrix method,combined with precise integration method(PIM)of non-homogenous term,a Precise Transfer Matrix Method is developed for vibro-acoustic analysis of stiffened cylindrical shell.The field transfer matrixes and point transfer matrixes can be obtained from a set of the firstorder differential equations.The effects of generalized sound pressure can be considered by the techniques of increment storage and addition theorem.Then,the vibro-acoustic responses under point force excitation and sound pressure excitation can be solved by using continuous conditions on fluid solid interface.In addition,the convergence test of modes order is investigated.Results of the present method are also compared with model test results.The influences of ring ribs and boundary conditions on the vibro-acoustic responses are analyzed.

stiffener;cylindrical shell;sound radiation;precise transfer matrix method

TB53

A

10.3969/j.issn.1007-7294.2017.04.015

1007-7294（2017）04-0503-09

2016-10-13

國家自然科學(xué)基金（51409200，51409239）

王獻忠（1986-），男，博士，副教授，E-mail：xianzhongwang00@163.com。