范林偉

平均數(shù)作為一種最常用的統(tǒng)計量，它能代表一組數(shù)據(jù)的集中程度和整體水平。教學(xué)中，我們十分重視平均數(shù)怎么得到的、有什么用，卻很少重視平均數(shù)是什么，對其虛擬性體驗也不夠充分。本文，筆者以俞正強老師執(zhí)教“平均數(shù)”一課為例，談一談如何在學(xué)生生活經(jīng)驗的基礎(chǔ)上進行改造、提煉、建立數(shù)學(xué)概念。

【教學(xué)片段1】在生活原型中生長出概念

材料1：二年級小朋友60米跑了五次，時間分別如下（秒）：15，14，12，10，14。60米我通常要跑？搖？搖？搖 ？搖秒。

師：這5次的時間不一樣，說明跑得有快有慢，時間多說明跑得慢，時間少說明跑得快，時間越少就越快。

師：第二天，他回到學(xué)校，要填這張表格“60米我通常要跑？搖 ？搖？搖？搖秒”。當時，我正好站在他邊上，我發(fā)現(xiàn)——這位小朋友填了15，卻又把15涂掉了，你們知道為什么嗎？

師：如果是我，我也會涂掉，因為這是所有時間里最慢的。（板書：最慢）他把最慢的填在上面，他甘心嗎？（板書：不甘心）

師：后來，這位小朋友填了10，一會兒又涂掉了，你們知道他為什么又要涂掉嗎？如果是你，你會涂掉嗎？為什么？

師：10秒是他的最快成績，他能不能每次都跑10秒啊？（板書：最快）

師：同學(xué)們，他最后填了一個數(shù)，你們覺得這位小朋友最后填了幾？

師：他一定會填14，理由是什么？

生 ：他兩次跑了14秒。

師：在所有的5次中，14秒出現(xiàn)的次數(shù)最多。（板書：最多）所以，他填14，對嗎？

生 ：我覺得是13，因為他們的平均數(shù)是13。（板書：平均數(shù)）

師：還有別的答案嗎？

生 ：12，因為這樣保守一點。

生 ：13沒出現(xiàn)過，12有道理。（板書：沒出現(xiàn)）

師：12和14比，14秒偏慢，12秒偏快。（板書：偏慢？搖偏快）

師：現(xiàn)在有3個答案出來了，你們覺得哪個答案的可能性比較大？

生 ：12、13的可能性都比較大。

師：14最多，但偏——慢，12又偏——快，那么，有沒有不偏慢也不偏快的呢？

師：13既不偏慢，也不偏快，那么，他能不能填13呢？為什么呢？

生6：因為它是平均數(shù)。

師：什么是平均數(shù)，誰告訴你的？

師：怎么算出來的？

生7：把5個數(shù)相加，再除以5，就是平均數(shù)。（板書算式）

師：13，這位小朋友根本沒有跑出來過，你敢填嗎？理由呢？

生8：雖然今天沒跑過，但是如果下一次真的跑出來了呢？

師：他說現(xiàn)在是沒跑出來，但是下一次呢，下一次有可能跑出13嗎？（有）

師：雖然這5次沒有，但第6次呢？（有）可能性大不大？（大）為什么？

生9：因為它正好不快也不慢。

師：13雖然現(xiàn)在沒有出現(xiàn)過，但是下一次有可能跑出來。用這一個成績來代表他的速度正好，這是最能代表他的成績的。

師：小朋友們看過來，剛才這位小朋友說的可以算的，那這個算式算出來是不是13呢？自己算算看。

師：結(jié)果是13，說明13跟這組數(shù)有關(guān)系，原來13就偷偷地躺在這些數(shù)后面。

【賞析】影響學(xué)生學(xué)習的最重要的因素是學(xué)生已經(jīng)知道了什么。平均數(shù)是學(xué)生第一次接觸虛擬數(shù)的學(xué)習。于是，俞老師創(chuàng)設(shè)了一個用數(shù)來表示跑步水平的情境，成功激活學(xué)生的生活經(jīng)驗，引發(fā)學(xué)生的思考，促使他們借助跑步的經(jīng)歷，將“最快、最慢、偏快、偏慢和不快不慢”這些與平均數(shù)學(xué)習有關(guān)的知識儲備提取出來，作為新概念學(xué)習的依托。課堂上，全體學(xué)生興致勃勃地對數(shù)據(jù)進行猜測、質(zhì)疑和辨析，在否定之否定的數(shù)據(jù)分析過程中經(jīng)歷平均數(shù)的產(chǎn)生過程，逐步將自己的生活經(jīng)驗改造為數(shù)學(xué)知識。最后，俞老師通過巧妙的點撥，揭示平均數(shù)13與這組數(shù)據(jù)的內(nèi)在關(guān)系，得出平均數(shù)的計算方法。此外，我們還發(fā)現(xiàn)，俞老師非常善于利用學(xué)生的非智力因素（興趣、情感、態(tài)度等），成功地讓學(xué)生移情入境，讓他們在“不甘心”“不好意思”中深化對新知的認可與理解。

【教學(xué)片段2】在數(shù)學(xué)模型中發(fā)展概念

材料2：活動棋子圖。

師：想想，你可以從這里變出一個13嗎？

學(xué)生操作（圖2）。

教師板書：平。

師：平均數(shù)是平分（指圖）、均分（指算式）來的?，F(xiàn)在，你們知道平均數(shù)是什么意思了嗎？

生1：平均數(shù)就是把5個不同的數(shù)變成一個相同的數(shù)。

材料3：15，10，14，12，14。

師：同學(xué)們，這幾個數(shù)都很特別，你認為哪個數(shù)最特別？（13）

師：它有幾個特點？

生2：兩個，“不快不慢”和“沒出現(xiàn)”。

師：符合這兩個特點的數(shù)，我們稱它為——平均數(shù)。因為這個數(shù)“正好”，所以可以代表這位二年級小朋友的跑步水平。雖然這個數(shù)沒有跑出來過，我們可以“移多補少”得到。（板書：移多補少）

師：所以，他寫多少是最合理的？（13）

師：這個故事講完了，你們知道我為什么要給你們講這個故事嗎？

生3：今天要學(xué)習這個知識。

師：那你們學(xué)懂了嗎？

生4：我有個問題，平均數(shù)也不一定是非要不出現(xiàn)吧？

師：那么，平均數(shù)可以出現(xiàn)嗎？（可以）

師：比如說，第六次出現(xiàn)13。

【賞析】有研究表明，對于低年級學(xué)生來說，他們往往還不能通過嚴密的邏輯思維活動來直接形成數(shù)學(xué)概念，主要還是通過“行為性概念”來獲得一些概念。這句“平均數(shù)是平分、均分來的”既展現(xiàn)了平均數(shù)“移多補少”的本質(zhì)，又概括了平均數(shù)的計算方法，十分符合小學(xué)生的認知規(guī)律。這樣，直接就把抽象的平均數(shù)概念直觀、具體、形象地描繪出來。而且，通過對這5個數(shù)據(jù)的對比、分類，進一步放大了學(xué)生的生活經(jīng)驗，強烈地使學(xué)生體會平均數(shù)在生活中的“特別狀態(tài)”，即不快不慢的正常水平；還使學(xué)生體會到平均數(shù)在數(shù)學(xué)中的特殊狀態(tài)，即虛擬性。此外，筆者還體會到，這個故事不單是講給學(xué)生聽的，更多的是講給教師們聽的——平均數(shù)的概念本來就隱藏在生活之中，平均數(shù)的算法是伴隨著概念的形成而產(chǎn)生的，總數(shù)除以份數(shù)只是一種計算的竅門而已。

【教學(xué)片段3】在實際應(yīng)用中深化概念

材料4：6和4；1，3和5。

師：這兩個數(shù)的平均數(shù)是幾？

生1：6加4，再除以2等于5。

師：這三個數(shù)的平均數(shù)是幾？

生2：1加3加5，再除以3，等于3。

生3：1加2等于3，5減2等于3，平均數(shù)就是3。

師：有一條河，平均水深4米。最深幾米，你知道嗎？

生4：不知道，可能是6米，也可能是2米、1米。

師：如果平均水深1米，小朋友走過去安全嗎？

生5：不安全，可能有的地方不止1米。

師：今天我們學(xué)了什么？（平均數(shù)）

師：平均數(shù)有什么用？

生6：它解決了代表一位小朋友跑步水平的問題。

師：平均數(shù)有什么特點？

生7：不快不慢，正正好，可能沒出現(xiàn)。

師：我們這個數(shù)（指13）這么特別叫什么數(shù)——平均數(shù)，那這個數(shù)呢？（指15）這個數(shù)呢？（指10）這個數(shù)呢？（指14）我們以后慢慢去學(xué)。

【賞析】概念教學(xué)很怕忽視概念間的聯(lián)系的教學(xué)，或者忽視靈活應(yīng)用概念解決問題的教學(xué)，以致學(xué)生將一個個概念分散而孤立地保留在頭腦當中。課尾，俞老師先通過兩組數(shù)據(jù)強化了學(xué)生對平均數(shù)的計算方法和數(shù)學(xué)本質(zhì)的理解。然后，讓學(xué)生在解決“過河問題”的討論中進一步體會平均數(shù)的統(tǒng)計意義和特征（容易受極大數(shù)和極小數(shù)的影響），所以無法判斷能否安全過河，從而使學(xué)生充分感受學(xué)習平均數(shù)的必要性和實際應(yīng)用價值。最后，俞老師連續(xù)的補問，將學(xué)生引向新的思考，意在幫助學(xué)生初步感受各個統(tǒng)計量之間的聯(lián)系，以助于形成良好的概念系統(tǒng)。

（作者單位：浙江師范大學(xué)附屬嘉善實驗學(xué)校 責任編輯：王彬）