楊昆華

[摘 要] “問題解決”是繼“現(xiàn)代化”和“回歸基礎(chǔ)”之后國際數(shù)學(xué)教育界的又一潮流，我國數(shù)學(xué)教育改革明確提出：數(shù)學(xué)教育的內(nèi)核實質(zhì)就是數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，而數(shù)學(xué)建模能力、問題解決能力又是數(shù)學(xué)素養(yǎng)的核心之一，高考對“應(yīng)用意識”的考查將進(jìn)一步反映對數(shù)學(xué)建模、問題解決能力的考查. 本文就如何開展“問題解決”教學(xué)，積極而有效地引導(dǎo)學(xué)生置身于數(shù)學(xué)活動之中，通過“做數(shù)學(xué)”來體驗數(shù)學(xué)，學(xué)會用數(shù)學(xué)方式去思考、探索，進(jìn)而解決問題.

[關(guān)鍵詞] 問題解決；數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)；創(chuàng)新能力；數(shù)學(xué)體驗活動

“問題”（Problem）有別于我們經(jīng)常做的“習(xí)題”（Exercise），習(xí)題的目的在于鞏固和練習(xí)（Exercise），內(nèi)容是常規(guī)的，學(xué)生易于模仿，存在著解決這些習(xí)題的一般規(guī)則和原理，而“問題”應(yīng)具有非常規(guī)、重視情景應(yīng)用、探究性等特征，在數(shù)學(xué)課程中沒有用來確定解決這類問題的準(zhǔn)確程序的一般規(guī)則和原理.“問題解決”（Problem Solving）是繼“現(xiàn)代化”和“回歸基礎(chǔ)”之后國際數(shù)學(xué)教育界的又一潮流，1980年，美國數(shù)學(xué)教師協(xié)會公布的《關(guān)于行動的議程》綱領(lǐng)性文件，提出了“問題解決必須成為80年代學(xué)校數(shù)學(xué)的焦點，數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)圍繞問題解決來組織”，以后各國紛紛響應(yīng)，這種強(qiáng)調(diào)生動活潑，注重數(shù)學(xué)應(yīng)用的教育思想，至今依然是數(shù)學(xué)教育的中心課題.

近年來，我國數(shù)學(xué)教育改革以“數(shù)學(xué)素質(zhì)教育”為口號，以“問題解決”為突破口，出現(xiàn)了諸如“北京方正杯”中學(xué)數(shù)學(xué)知識應(yīng)用競賽，江蘇省南京市一中的數(shù)學(xué)建模教學(xué)等活動，全國各地對“問題解決”的認(rèn)識和研究進(jìn)一步加強(qiáng). 高中《新大綱》明確提出：數(shù)學(xué)教育的內(nèi)核實質(zhì)就是數(shù)學(xué)素質(zhì)，而數(shù)學(xué)建模能力、問題解決能力又是數(shù)學(xué)素養(yǎng)的核心之一. 自1993年來，高考已明確體現(xiàn)對“應(yīng)用題”的考查，且在今后很長時間內(nèi)將進(jìn)一步加強(qiáng)、完善對建模、問題解決能力的考查，可見其在數(shù)學(xué)教學(xué)中的重要地位，以下談?wù)劰P者在“問題解決”教學(xué)的一些嘗試，以期達(dá)到拋磚引玉的作用.

[?] 利用“問題”的“非常規(guī)”性，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和認(rèn)知內(nèi)驅(qū)力

認(rèn)知心理學(xué)認(rèn)為，學(xué)生進(jìn)入中學(xué)后，更為關(guān)注的不是趣味性的問題（或故事），而是那些“認(rèn)知不協(xié)調(diào)”，即同常識、直觀不一致，與固有觀念有沖突，令人吃驚的結(jié)果，因此，非規(guī)范“問題”成為激活學(xué)生認(rèn)知內(nèi)驅(qū)力的恰當(dāng)教材.

如：1. 一段平直的鐵軌AB，長為2千米，點C為AB的中點，其兩端固定，夏季因受熱而伸長2米，形狀變彎了，假設(shè)各段受熱膨脹均勻，那么，其中點C將距地面高度是多少？

若教師提出問題，讓學(xué)生憑直觀猜測，認(rèn)為最多上升1-2米，然而錯了，實際計算的結(jié)果讓人大吃一驚，C點距地面將近45米，何等不合常規(guī)！此時，學(xué)生絕不會輕易放棄自己的思考，不會“心悅誠服”接受老師的結(jié)果，這正是極佳的學(xué)習(xí)動機(jī)，由此可促進(jìn)學(xué)生的主動性、積極性及智力參與的強(qiáng)化，這恰好是開展圓及三角形的相關(guān)計算教學(xué)的最佳時機(jī)，其效果將大為提高.

2. 兩根電線桿相距l(xiāng)米，分別在高為10米的A處和15米的C處用鋼索將兩桿固定（圖2），問：（1）鋼索AD與鋼索BC的交點M處離地面高度MH與l有關(guān)嗎？（2）MH的高為多少？

當(dāng)教師提出問（1），學(xué)生憑直覺認(rèn)為有關(guān)，然而又錯了.

因為△BMH∽△BCD，△BMH∽△DAB，

所以=，=.

所以BH=l①，DH=l②，

①+②得：BH+DH=

+

MH·l，

而BH+DH=l，所以MH==6（米），與l無關(guān)！

結(jié)論與常規(guī)不符合，說明原有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)不完全適合理解或解決問題，學(xué)生的習(xí)慣反應(yīng)和處理模式遭到失敗，此時，最能激發(fā)學(xué)生的求知欲.

[?] 遵循認(rèn)識規(guī)律，由淺入深，層層推進(jìn)

人對事物的認(rèn)識由感知到感性，由感性認(rèn)識到理性認(rèn)識，逐級深化，不斷提高.長期以來，我們強(qiáng)調(diào)對數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識的理解和掌握，這是我國數(shù)學(xué)教育的長處，但對知識的實際應(yīng)用強(qiáng)調(diào)不夠，從而形成學(xué)生對數(shù)學(xué)情景的理解、感悟差. 因此，開始時盡量搞些簡單的、花時少、趣味性、實用性強(qiáng)的內(nèi)容，增加學(xué)生興趣，擴(kuò)大知識面，開闊視野.

如：1. 要在樓梯上鋪地毯，似乎需先測出樓梯的長度，其實，只需量出樓梯的高和寬即可.

如圖3，地毯長=1+2=3（m），

這是一個涉及知識點不多，但所用思考方法相當(dāng)豐富，層層提高，對能力培養(yǎng)很有價值的問題.

略解：（1）設(shè)應(yīng)設(shè)于X點，則總距離為A1A5+A2A4+A3X，當(dāng) X=0，即設(shè)于A3，總距離最小.

（2）同理，6個機(jī)器人時，設(shè)在 A3與 A4之間任一處均可.

（3）由（1）（2）得到啟示，當(dāng)n為奇數(shù)時，供應(yīng)點設(shè)在A處，當(dāng)n為偶數(shù)，A與A+1之間任一點均可.

[?] 暴露思維過程，打破思維定式，促進(jìn)正遷移

數(shù)學(xué)思維是人腦和數(shù)學(xué)對象交互作用并按一般思維規(guī)律認(rèn)識數(shù)學(xué)規(guī)律的思維過程，是嘗試—失敗—再嘗試—再失敗……，直至成功的心理活動. A·斯托利亞爾指出：充分暴露數(shù)學(xué)思維過程是教學(xué)的原則，數(shù)學(xué)教學(xué)要求教師創(chuàng)造性地將知識發(fā)生、發(fā)展等思維過程“復(fù)現(xiàn)”出來.這樣，才真正符合人的認(rèn)識規(guī)律，才能恰當(dāng)掌握“最近發(fā)展區(qū)”利用已有認(rèn)知結(jié)構(gòu)，實現(xiàn)知識的正遷移.

如：1. 正方體的截面的形狀是什么？

問題沒有明確形狀有幾種，只要提出這個問題，幾乎所有學(xué)生都可以想到“三角形”（如圖5）；此時停一下，教師不給予肯定，不提示，大多數(shù)學(xué)生又想到“四邊形”（如圖6）；這時，提示，想一想，有沒有五邊形，對于五邊形就只有極少數(shù)能想到（如圖7），再進(jìn)一步呢？能不能得到六邊形，這個提問對于真正理解五邊形的學(xué)生是很及時而恰當(dāng)?shù)? 學(xué)生類比前面結(jié)果，經(jīng)過自我思考，可以解決，如圖8.

解決這個問題需要有直覺的空間想象能力及思維的深刻性、嚴(yán)謹(jǐn)性及構(gòu)造思想，體現(xiàn)了解決問題、完善解答的思維過程.

2. 高一（3）班有學(xué)生60人，現(xiàn)要創(chuàng)建一個班級圖書室，要求每人至少捐一本書，各人所捐書數(shù)不相同，問要捐1830本書能否做到？

分析：應(yīng)該如何把問題與所學(xué)知識聯(lián)系起來？各人至少一本，各不相同，我們不妨嘗第1人捐1本，第2人捐2本……，這時，由等差數(shù)列求和公式S60==1830（本），能夠做到！這個問題為何用等差數(shù)列？怎樣得到？此時，暴露思維：因為各不相同，按1、2、3、4……這種形式數(shù)目最小，因此去嘗試是什么情況，從而解決問題.

如果把問題改為：捐1800本（或1900本等）又是什么結(jié)果呢？怎樣思考？其實問題還是建立在上述問題的基礎(chǔ)上，大于1830本都可以，把多的本數(shù)放在第60人上（還有其他辦法），小于1830本不能做到，原因是出現(xiàn)重復(fù).

學(xué)生在學(xué)習(xí)等差數(shù)列后，處于應(yīng)用等差數(shù)列知識的“最近發(fā)展區(qū)”，此時，教師給予適當(dāng)?shù)狞c撥，就能順利實現(xiàn)知識的“正遷移”，打破固有的思維定式.

[?] 結(jié)合教材，強(qiáng)化應(yīng)用意識，層層滲透，把“問題解決”落到實處

高中《新教材“大綱”》指出：分析和解決帶有實際意義的或在相關(guān)學(xué)科、生產(chǎn)和日常生活中的數(shù)學(xué)問題，會使用數(shù)學(xué)語言表達(dá)問題，進(jìn)行分析，形成用數(shù)學(xué)的意識.根據(jù)大綱及我國改革對社會經(jīng)濟(jì)發(fā)展需要，結(jié)合教材，就利息（單利、復(fù)利）、人口增長、生態(tài)平衡、環(huán)保、風(fēng)險決策、成本核算、金融投資、供求關(guān)系等進(jìn)行信息處理，抽象、歸納使之?dāng)?shù)學(xué)化，從而利用數(shù)學(xué)知識解決實際問題，問題的選擇力求做到適時、恰當(dāng).

如：1. 《人民日報》1992年7月12日至7月15日數(shù)據(jù)：1982年7月11日世界人口達(dá)到50億，聯(lián)合國將7月11日定為“世界人口日”，1992年的“世界人口日”全球人口達(dá)到54.8億.

問：（1）世界人口每年平均增加多少？

（2）人口增長率是多少？

（3）預(yù)測1993年7月11日世界人數(shù).

（4）預(yù)測2000年7月11日世界人數(shù).

這是一個增長率問題，與我們的生活息息相關(guān)，問題很具現(xiàn)實意義和教育意義，在掌握指數(shù)、對數(shù)知識后即可及時提出、解決（解略）.

2. 百貨公司的一頁賬簿上沾了墨，如圖表1，關(guān)于1月13日出售熱水壺只知道單價及金額后面的三個數(shù)碼是7.28，數(shù)量與金額前面的三個數(shù)碼都看不清，請你幫助查清這筆賬.這是生活中實際存在的問題，實用性強(qiáng)，實際情景客觀、具體. 如何使之?dāng)?shù)學(xué)化呢？

“略解”：設(shè)數(shù)量為x，金額前三位數(shù)為y，則：

49.36x=10y+7.28，

所以y=5x-1+.

令t=，則x==4-31t+.

令t1=∈N，代入得y=617t1-134，x=4-31t+t1=125t1-27.

因為100<617t1-134<1000，

所以

所以x=98，y=483.

所以水壺為98只，金額為4837.28元

這是一個不定方程的整數(shù)解討論及不等式的整數(shù)問題，解決需較強(qiáng)的分析能力和熟練的數(shù)學(xué)變形技巧，可在高三復(fù)習(xí)時引用解決. 再如上文所述問題，均可根據(jù)知識、能力情況適時引入，真正達(dá)到基礎(chǔ)與能力并重的教學(xué)目的.

“問題解決”是一種創(chuàng)造性工作，需要有敢于打破常規(guī)，另辟蹊徑的開拓創(chuàng)新精神，需要有靈活敏捷的思維方法，要透過現(xiàn)象，抓住本質(zhì)，這正是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的重要目的之一. 數(shù)學(xué)教學(xué)實質(zhì)上是數(shù)學(xué)活動的教學(xué)，積極而有效地引導(dǎo)學(xué)生置身于數(shù)學(xué)活動之中，通過“做數(shù)學(xué)”來體驗數(shù)學(xué)，學(xué)會用數(shù)學(xué)方式去思考、探索、解決問題，必將提高學(xué)生的創(chuàng)造性思維能力，必將提高學(xué)生分析實際問題、解決實際問題的新型應(yīng)用能力，必將提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，促進(jìn)數(shù)學(xué)素質(zhì)教育的進(jìn)一步發(fā)展.