武紹利

[摘 要] 因種種主客觀原因，高中學生的運算能力總不盡如人意.將數(shù)學運算能力的培養(yǎng)放到核心素養(yǎng)的視角下，可以建構(gòu)起對數(shù)學運算的理性認識，而這是符合高中學生認知特點的. 通過學習反思激發(fā)學生對運算的認識，通過成功的運算來滿足學生自我實現(xiàn)的需要，可以為數(shù)學運算能力的形成提供強大的內(nèi)驅(qū)力. 這是數(shù)學運算能力培養(yǎng)的根本策略.

[關(guān)鍵詞] 高中數(shù)學；數(shù)學核心素養(yǎng)；運算能力；培養(yǎng)策略

談及運算能力的培養(yǎng)，似乎總難以成為高中數(shù)學教學研究的重要對象，因為在很多學生的心目中甚至是在教師認識當中，運算能力總多少帶有一些“小兒科”的意思，難登高中數(shù)學教學的大雅之堂. 但從學生的實際學習來看，因為運算出錯又常常是考試失分的重要原因. 而且，即使教師在教學中跟學生強調(diào)運算的重要并給予了些指導，其效果總不太理想.筆者以為這里的原因是多方面的，而其中不可忽視的一面，則是沒有將運算能力的培養(yǎng)放到一個科學的高度去認識并研究，因而培養(yǎng)策略也就難以深入學生內(nèi)心. 反之，如果將運算能力的培養(yǎng)放到學科核心素養(yǎng)的角度去認識，就可以在實際教學中獲得更為深刻的認識.

[?] 數(shù)學學科核心素養(yǎng)下運算能力的認識

學科核心素養(yǎng)被稱為繼課程改革之后基礎(chǔ)教育最重要的研究成果，其在綜合了國外已有經(jīng)驗的基礎(chǔ)上，對國內(nèi)的總體教學以及學科教學提出了新的理念與認識.就數(shù)學學科而言，其既沿襲了傳統(tǒng)數(shù)學教學中的精髓，又融入了新的理解. 根據(jù)當前最新的研究成果，數(shù)學學科的核心素養(yǎng)可以從數(shù)學抽象、邏輯推理、數(shù)學建模、直觀想象、數(shù)學運算、數(shù)據(jù)分析等六個方面加以闡述.其中，數(shù)學運算與本文的主題直接相關(guān)，而其余五個因素其實也是支撐學生運算的重要素養(yǎng). 從數(shù)學學科核心素養(yǎng)的六個方面來理解數(shù)學運算，可以對高中數(shù)學教學中學生運算能力形成這樣的三點認識：

第一，數(shù)學運算反映了學生的數(shù)學素養(yǎng). 數(shù)學運算是利用運算法則解決數(shù)學問題的過程，在這個過程中，學生需要經(jīng)歷分析運算對象，猜想運算方向，選擇運算規(guī)則，計算并判斷問題結(jié)果等環(huán)節(jié)，這些環(huán)節(jié)中，其他的核心素養(yǎng)常常也需要發(fā)揮作用，如在分析運算對象的時候，就常常用到數(shù)學建模，在選擇運算規(guī)則的時候也必然會用到邏輯推理，運算的過程本身就是一個數(shù)據(jù)分析的過程，在猜測運算方向與判斷運算結(jié)果的時候，直觀想象也會發(fā)揮重要的作用. 因此，數(shù)學運算可以說是其他所有數(shù)學核心素養(yǎng)的集中呈現(xiàn)過程，因此從數(shù)學學科核心素養(yǎng)的角度來建構(gòu)對數(shù)學運算及其策略培養(yǎng)的認識，是極為必要且妥當?shù)?

第二，數(shù)學運算能力的培養(yǎng)策略是一個綜合性的認知能力提升過程. 從學習心理學的角度來看，數(shù)學運算能力應(yīng)當屬于認知能力而非技能，因此數(shù)學運算能力的培養(yǎng)策略更多的是一種認知層面的研究，有研究者指出，高中階段的數(shù)學運算具有兩個基本特征：一是層次性. 層次性是指數(shù)學運算中的知識梯度與難度梯度，從有理數(shù)的運算到實數(shù)的運算，從等式的解決到不等式的解決，從方程的建立到函數(shù)的建立，都顯示出高中數(shù)學所獨有的層次性特征；二是綜合性.高中階段的數(shù)學運算通常都比較復雜，不僅需要綜合運算數(shù)學知識，還需要綜合運用各項能力，從基本的記憶到理解，到推理，到聯(lián)想，到表達等，可以不夸張地講，只要其中任何一項能力有所不足，其運算過程都會有所顯現(xiàn).

第三，數(shù)學運算能力的形成與數(shù)學核心素養(yǎng)形成的過程具有同步特征. 學科核心素養(yǎng)是基于核心素養(yǎng)的一般意義而提出來的下位概念，高中數(shù)學教學視野下的核心素養(yǎng)，更多的要基于高中數(shù)學的知識特點，讓學生通過嚴格的邏輯思維去構(gòu)建新的數(shù)學知識，并在此過程中逐步認識數(shù)學學習的特點與規(guī)律，這種認識的過程實際上也就是數(shù)學素養(yǎng)形成的過程. 高中數(shù)學強調(diào)數(shù)學知識與生活的聯(lián)系，也強調(diào)數(shù)學知識來源于生活實踐，因此將數(shù)學知識與生活聯(lián)系起來的意識與能力，也就成為數(shù)學學科素養(yǎng)的重要組成部分. 其實在學生的生活中，數(shù)學學科素養(yǎng)是常常存在的，生活中相關(guān)問題的解決常常需要建立模型，而這種能力往往就形成于數(shù)學建模的過程；而生活中的數(shù)據(jù)分析能力則是基本的生活能力，直觀想象與邏輯推理等亦是生活中常常需要的一種能力，因此當數(shù)學學習中形成的能力遷移到生活中時，就是數(shù)學學科表現(xiàn)其素養(yǎng)的一面的時候.

從這兩點可以看出，高中階段的數(shù)學運算與數(shù)學核心素養(yǎng)密切相關(guān)，而數(shù)學運算能力的培養(yǎng)策略亦可因核心素養(yǎng)之高屋而建瓴.

[?] 基于數(shù)學核心素養(yǎng)激發(fā)學生運算需要

在我們的研究中發(fā)現(xiàn)，學生運算能力差的首要原因，就在于自身缺乏對數(shù)學運算的科學認識.如文章開頭所說，不少學生將數(shù)學學習的重心放在知識建構(gòu)上，而對運算則顯得有些不屑. 于是在實際教學中，筆者考慮到高中學生的理性認知需要，嘗試從激發(fā)運算需要的角度形成數(shù)學運算能力培養(yǎng)的基本策略.

學生的運算需要如何激發(fā)？第一步，在學生的學習成就感中提取運算需要. 筆者在研究中重點實施的一個策略，就是在課堂教學或者是考試評價中，當學生成功地攻克某個難點或者更深一步認識某個規(guī)律時，筆者總會引導學生去反思：之所以能夠突破思維的難點，其原因是什么？這樣的學習反思，總能夠讓學生在其中發(fā)掘到數(shù)學運算的影子. 筆者總結(jié)了學生在學習反思中的一些認識，發(fā)現(xiàn)有一個基本規(guī)律，那就是學生的表達實際上總能夠在數(shù)學核心素養(yǎng)的六個方面尋找到痕跡，比如說在函數(shù)相關(guān)運算中，定義域之于單調(diào)性的作用是不言而喻的，而學生在多次出錯之后獲得成功，就能夠通過對自己學習過程的對比，發(fā)現(xiàn)定義域的重要性，這其中實際上學生已經(jīng)用到了對比的邏輯思維，用到了對自己錯誤思維的深入分析. 再加上學生從分析問題到通過運算成功地求得問題之解，總會以數(shù)學抽象為基礎(chǔ)，以數(shù)學建模為突破，進而打開數(shù)學運算的思路. 一旦學生通過反思獲得這樣的認識，他們常常就有一種豁然開朗的感覺，這就是一種成就感，在這種成就感中認識到運算所具有的重要性，是激發(fā)運算需要的重要基礎(chǔ).

第二步，運用專題運算訓練的策略. 專題訓練是鞏固運算積極性的重要舉措，研究表明，高中學生通常都有著很強的自我實現(xiàn)的需要，在學生認識到運算的重要性之后，通過不同題型（筆者通常是根據(jù)知識類型和運算類型來遞進進行的）去讓學生進行運算的訓練，而待學生的運算結(jié)果達到一定的合格率之后，就給予他們以積極的評價，同時在日常的考試評價中需要有意識地滲透一些類似的題型，以進一步鞏固學生的成就感. 這里所說的專題訓練與常規(guī)的習題專題并不完全相同，其訓練的目的不是學生的綜合性的解題能力，因此通常需要淡化分析這個環(huán)節(jié)，也就是說不需要通過過于復雜的分析以避免占用運算所用的時間，但如果過于簡單又不大可能具有真正的訓練運算的功能.因此筆者所用的專題習題，常常是通過需要數(shù)學建模與邏輯推理的方式建立等量關(guān)系，同時又具有一定運算量的習題，這樣既能在建模環(huán)節(jié)培養(yǎng)學生的數(shù)學核心素養(yǎng)，同時又能夠培養(yǎng)學生的運算能力，因此可以說是一種能夠在運算能力與學科核心素養(yǎng)方面兼顧的有效策略.

這兩步相對于傳統(tǒng)的策略而言，其目標直接指向?qū)W生的一種內(nèi)在的動力，相比較外驅(qū)力而言，這一策略更具效果.

[?] 高效運算策略背后數(shù)學核心素養(yǎng)理解

在本問題研究的過程中，筆者有一個重要的發(fā)現(xiàn)，那就是教師根據(jù)學生的考試情況或?qū)W習情況所總結(jié)出來的運算能力培養(yǎng)策略，有時候與學生的學習需要差距是很大的，教師的努力總不能獲得學生的認同，因而常常勞而無功. 反之，如果真正理解了數(shù)學核心素養(yǎng)，就知道數(shù)學核心素養(yǎng)的六個方面其實都是以學生為中心的，只有學生學會了數(shù)學抽象與數(shù)學建模，只有學生會進行邏輯推理與直觀想象，只有當學生在數(shù)學分析的基礎(chǔ)上進行正確的數(shù)學運算時，才能說學生真正具有了數(shù)學核心素養(yǎng).

其實，從另一個方面來看，學生的運算能力確實就是數(shù)學核心素養(yǎng)的重要體現(xiàn)，因為運算的過程實際上就是數(shù)學運算規(guī)則運用的過程，尤其是高中階段的數(shù)學運算，遠不是加減乘除那樣簡單，其中涉及數(shù)據(jù)處理的許多技巧，涉及豐富的邏輯思維的運用，特別是對于直覺思維能力的要求非常高，一個等式出現(xiàn)之后如何迅速準確地尋找到解題的思路，往往都是由直覺思維決定的，這種直覺思維本身就是數(shù)學核心素養(yǎng)的一個重要組成部分，因此從這個角度理解數(shù)學核心素養(yǎng)，其就不是一個生疏的概念，也不是一個與傳統(tǒng)教學思路格格不入的概念，完全可以在已有教學經(jīng)驗的基礎(chǔ)上去構(gòu)建新的關(guān)于核心素養(yǎng)的理解.

因此，對于數(shù)學運算能力的培養(yǎng)策略，最根本的就是激發(fā)學生對數(shù)學運算的積極態(tài)度，并通過學生所生成的成就感以形成內(nèi)驅(qū)力，這是高中學生運算能力形成的最根本的途徑.