于正軍

數(shù)學思考中的識記和重現(xiàn)是數(shù)學記憶的有效方式，而有效的數(shù)學記憶則是學生在數(shù)學活動中的思維起點。因而，在數(shù)學概念的建構過程中，需要適時引導學生開展有效的數(shù)學記憶。教學時筆者發(fā)現(xiàn)，一旦學生的認知不能直接觸摸已有的知識經(jīng)驗，他們的數(shù)學思維便無法順勢遷移，數(shù)學認知也無法有序推進，抑制了學生對新知識概念的直觀感知和數(shù)學意義的積極建構。此時需要教師在教學實踐中，適時引領學生捕捉生活中的直接經(jīng)驗，探尋直接經(jīng)驗中數(shù)學知識的思維“源頭”，刺激學生探尋新舊知識的思維連接點，使新知概念在已有知識經(jīng)驗的基礎上自然形成。如此識記知識，重現(xiàn)已有知識，學生在經(jīng)歷新知識形成的過程中，其思維才能“有源可思”“有據(jù)可思”，實現(xiàn)了數(shù)學記憶對數(shù)學思考的有效支撐。因此，數(shù)學記憶能在數(shù)學活動中有效點燃學生的思維，促使學生的數(shù)學思維方法自然起航。

一、從觀察到識記：認知中形成思維技能

【案例一】教學蘇教版《數(shù)學》四年級上冊“認識升”。

課堂上，教師根據(jù)教材的編排步驟引導學生認識了“升”后，創(chuàng)設如下練習情境：

師：浴缸的容量大約是……

生：10升。（教師眉頭緊鎖，直搖頭。）

師：玻璃杯的容量會是多少？

生：10升。（學生是在回答浴缸容量10升老師直搖頭的情況下脫口而出的。）

師：（愕然……）

此案例反映出學生對10升容量的大小沒有一點認知，折射出學生對1升的數(shù)學概念還未建立。由此，“升”的教學需要教師引導學生在觀察中識記，在識記中認知，在認知中形成思維技能。

1.數(shù)學感知，需從“無形”走向“有形”

在數(shù)學思維活動中，學生通過直觀觀察而直接感知事物的特征，會表現(xiàn)出一種可知性思維。此時，事物往往呈現(xiàn)出一種有形狀態(tài)，刺激學生對事物的感知形成思維邊界，并逐步建立感知對象的思維直觀。而一旦呈現(xiàn)在學生面前的事物或認識對象是一種無形狀態(tài)，學生對事物的認知便無法直接感知，其直觀形象思維難以激活，思維會表現(xiàn)出不可知性。此時學生的數(shù)學思考缺乏思維支撐，無法延續(xù)，找不到新事物的特征與學生認知經(jīng)驗的連接點，無法對所學新概念的內(nèi)涵進行表征與建構。因而，對數(shù)學概念的直觀感知，需要從概念表征的“無形”走向“有形”，學生才能捕捉認知對象的參照物，找到認識新概念的思維“燃點”，繼而開展有序的數(shù)學思考。

在“認識升”的例題主題圖中，在量杯中倒入1升的水，然后全部倒入棱長為1分米的正方體容器中。這一操作過程實際上僅能幫助學生認識到“1升水的容量等于1立方分米空間的大小”，而未能對學生建構“1升水有多少”的概念起到促進作用，反而增加了“認識”的難度。因為學生直接觀察到1升的水是“無形”的，要想在腦海里建立“1升水”的概念表象，學生需要捕捉到1升水容量的“空間輪廓”，但水的“空間輪廓”會隨著不同容器的形狀而隨之發(fā)生改變，導致“1升水的容量究竟有多少”留在學生的腦海里總是無形的，是記住1升量杯里的水，還是記住1立方分米正方體容器里的水？而且1立方分米正方體容器的空間大小在學生的腦海里又是陌生的，學生還未積累這方面的認知經(jīng)驗，難以形成積極的意義建構和記憶理解，學生對“升”的認識開始迷茫，此時學生的數(shù)學感知是模糊的。因此，教學時理應從兒童的認知現(xiàn)實出發(fā)，讓1升水的“無形”找到“有形”，找到學生熟悉的1升容量的有形容器，激活學生的認知經(jīng)驗，繼而幫助學生建立掌握1升水容量大小的思維依據(jù)和思維支撐。

2.數(shù)學技能，需從識記走向思考

有效的數(shù)學思考、有序的數(shù)學思維理應從學生已有的知識經(jīng)驗出發(fā)，因為已有的知識經(jīng)驗在學生的腦海里已經(jīng)內(nèi)化為一種學習能力和思維技能。因此，有效的數(shù)學活動需要適時回歸兒童的現(xiàn)實生活，激活兒童的認知經(jīng)驗，激發(fā)兒童的思維靈感，繼而形成有效的數(shù)學識記，促進學生由數(shù)學記憶走向數(shù)學思考，形成相應的解決問題的數(shù)學思維方法和數(shù)學技能。

“升”的認識對于四年級學生來說是抽象的，不可捉摸的，因為作為容量單位，它是無形的，學生無法直接感知它，而作為“1升”的水也是無形的，它會隨容器的形狀而發(fā)生改變，方形容器的容量可以是1升，圓形容器的容量可以是1升，其他任何形狀容器的容量也可以是1升。所以，課堂上教師需要引導學生在觀察的基礎上適時記憶，讓學生對自己熟悉的“1升容器”在頭腦中形成“腦象圖”，使“1升”這一概念的表象得到及時表征，從而有效支撐學生對容量數(shù)量關系問題的分析和解決。

教學時，可以讓學生課前帶一個1升的飲料瓶。課堂上發(fā)現(xiàn)，有學生帶的是1升的匯源果汁方盒，有學生帶的是1升的冰紅茶瓶，還有學生帶的是其他一些接近1升的飲料瓶。這些飲料都是學生生活里愛喝的飲料，平時經(jīng)常接觸，對這些容器的空間大小以及形狀已經(jīng)有了深刻的感知，對它們的空間大小已形成認知經(jīng)驗。課堂上讓學生把這些1升容器的樣子順勢記憶在腦海里，這樣學生就能深刻體會到“1升”的大小，把自己熟悉的1升容器的空間大小作為一種特定的容量測量標準，每當解決與“升”有關的實際問題時，學生就會自然地從這個“標準”出發(fā)觀察分析、甄別比較。長此以往，學生對1升的容量大小就會從無形的迷茫，找到有形的抓手，扎實掌握1升的容量大小，建構了1升的概念意義。如此記憶1升的概念意義，會自然成為學生去判斷其他容器容量的思維原點，從而避免諸如“浴缸的容量是10升”“酒杯的容量是10升”的認知嚴重偏離的錯誤現(xiàn)象了。

二、從經(jīng)驗到重現(xiàn)：運用中形成思維方法

【案例二】教學蘇教版《數(shù)學》一年級下冊“十幾減6、5、4、3、2”。

課堂上，教師教學12-3創(chuàng)設如下教學情境：

師：12-3等于多少？可以怎樣想？

生齊答：想加算減。（平時教師一定是統(tǒng)一強調(diào)。）

師：誰能說說3加幾等于12呢？（課堂上鴉雀無聲，無人回答。）

教師追問（有點著急）：那12-3等于幾呀？

生齊答：等于9。

教師繼續(xù)問：你們說說3加幾等于12 呀？學生還是一臉茫然……

由此分析，教師在課堂上強加給學生的“想加算減”的方法，與學生實際計算過程中的思維方法不一致，學生在計算過程中所表現(xiàn)出來的“言行不一”，凸顯了對20以內(nèi)加法記憶的一種缺失，這種記憶缺失，導致學生無法對加法結果的瞬間重現(xiàn)，因而無法支撐學生用“想加算減”的思維進行減法口算。因此，數(shù)學教學理應在運用中記憶，在記憶中形成技能，繼而形成數(shù)學思維方法，使經(jīng)驗得以重現(xiàn)，推動學生的認知由數(shù)學記憶走向數(shù)學思考。

1.方法建構，源于兒童的思維現(xiàn)實

在數(shù)學方法的形成過程中，兒童的理解與成人不一樣，解決問題的過程更加凸顯兒童化的思維路徑。因而，教師的教學必須要符合兒童的思維現(xiàn)實，即要順應兒童的思維經(jīng)驗和知識基礎。無論教材中的教學方法，還是教師個體成人化的教學經(jīng)驗，均不能在探索新知識的過程中直接“移植”給學生，以防形成無效的數(shù)學記憶，而應在建構數(shù)學方法的過程中回歸兒童的思維，讓兒童的思維自然催生學習需求和求知欲望，從而探索出兒童化的數(shù)學思維方法。

從上面的案例分析，在思維的難易程度上，12-3的思維難度要小于3+（ ）=12。因為12-3在學生的頭腦中，學生會用“去掉”的思維方法得到9，從12里去掉2，還剩10，再去掉1還剩下9，如此順勢思考，學生會很快得到12-3=9。而3+（ ）=12學生會在頭腦中用“慢慢湊”的思維方法：3+7=10，10+2=12，然后把先湊的7與后湊的2合起來是9，于是得出3+（9）=12，由此再想出12-3=9。這一思維過程已經(jīng)明顯脫離了兒童的思維現(xiàn)實。因而，教學時要尊重兒童的思維現(xiàn)實，否則學生不但不能主動接受 “想加算減”的口算方法，更無法理解加減法之間的運算聯(lián)系。

2.技能形成，依于兒童的已有經(jīng)驗

數(shù)學方法和技能形成的過程，必然是學生對已有知識經(jīng)驗進行有效遷移和再運用的過程，表現(xiàn)為學生數(shù)學思考過程中的思維創(chuàng)新和有效記憶的積累。只有當學生對已有知識實施了有效記憶，相應的學習經(jīng)驗才會悄然形成，新知才會在舊知的遷移過程中得以自然生長。因此，在幫助學生建構數(shù)學方法的過程中，開展有效的數(shù)學記憶會助推學生經(jīng)驗的再運用，促進學生由知識性技能向思維性技能的應然轉變，加深理解知識間的相互聯(lián)系，強化數(shù)學方法的靈活運用。

因此，基于兒童的心理特點和思維特征，學生在課堂上不會主動想“由3+（9）=12得出12-3=9”的口算方法，因為如此思考反而增加數(shù)學思維的復雜性和運算算理的繁瑣性。故而，要使學生在后續(xù)的減法計算過程中形成“想加算減”的計算技能，教師需要在引領學生學習20以內(nèi)加法口算時，實施有效的數(shù)學記憶。引導學生在記憶的過程中，進一步探索20以內(nèi)加法算式的特征，使20以內(nèi)數(shù)的分與合自然烙印在學生的腦海，初步感悟加減法算式之間的應然聯(lián)系。這樣，學生會在熟練記憶的基礎上，深刻領悟20以內(nèi)加法的結果，當熟練到一定程度時，學生對于20以內(nèi)的加法口算方法會自然積累為計算經(jīng)驗，繼而形成相應的數(shù)感，從而形成對加法計算的知識性技能。計算技能一旦形成，學生只要看到20以內(nèi)的加法算式，便會形成條件反射，其算式中的“加數(shù)”和“結果”就會同時浮現(xiàn)在學生的腦海。所以，當學生對于20以內(nèi)加法口算記憶猶新的時候，實際上就已經(jīng)形成了“想加算減”口算技能了。因為在算減法的時候，加法形成的計算技能已經(jīng)自然成為學生計算減法的思維起點，只要遇到十幾減幾的減法算式的時候，學生的腦海即會浮現(xiàn)相應的加法算式，此時學生就不會再滋生“去掉”的思維去慢慢算減法了。如此從兒童的已有知識經(jīng)驗出發(fā)，實施有效的數(shù)學記憶，既順應了兒童的認知思維，又迎合了學生的認知特點，有效促進學生數(shù)學技能的形成。

綜上所述，在數(shù)學知識和數(shù)學思維方法的建構與形成過程中，開展有效的數(shù)學記憶，并不是對數(shù)學知識的機械灌輸和數(shù)學方法的被動接受，而是促進學生思維的應然激活和數(shù)學意義的自然建構，助推學生數(shù)學思維方法的形成和數(shù)學思維的提升。因此，有效的數(shù)學記憶會自然開啟學生的數(shù)學思維，使之成為學生數(shù)學思考的思維起點，有效幫助學生實現(xiàn)了從低級思維的機械重復向高級思維的綜合運用的應然轉變，促進學生數(shù)學核心素養(yǎng)的形成和數(shù)學思想的感悟。[責任編輯：陳國慶]