“知識溯源”驅(qū)動解題教學(xué)
——以證明兩線垂直為例

◎劉錦梅

(南京師范大學(xué)附屬蘇州石湖中學(xué)，江蘇 蘇州 215100)

“知識溯源”驅(qū)動解題教學(xué)
——以證明兩線垂直為例

◎劉錦梅

(南京師范大學(xué)附屬蘇州石湖中學(xué)，江蘇 蘇州 215100)

解題教學(xué)是數(shù)學(xué)教學(xué)的重要組成部分，是學(xué)以致用的一個重要環(huán)節(jié).在解題教學(xué)中，教師如何幫助學(xué)生快速找到解題的突破口是一項重要任務(wù).多數(shù)情況下，對于要解答的一個數(shù)學(xué)問題，探尋真正解法的過程并非一帆風(fēng)順，而是曲折起伏，但是探尋正確解法的思路卻“有規(guī)可依”“有序可循”：那就是從分析題目的已知和所求入手，看看條件能想到什么？看看所求需要什么？通過“知識溯源”式的問題驅(qū)動開展教學(xué)，引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會從“怎樣做”轉(zhuǎn)向“怎樣想”，從而從根本上提高學(xué)生分析問題和解決問題的綜合能力.本文以一道證明題為例，談?wù)劰P者在教學(xué)中探究該題解法的心路歷程.

一、題目呈現(xiàn)

如圖1，△ABC，△ACD，△BDE均是等腰直角三角形，AC與BD相交于點(diǎn)F，連接EF交AD于點(diǎn)M，連接EC交BD于N點(diǎn).求證：MN⊥BD.

圖1

圖2

二、證法展示

圖3

圖4

三、證法分析

教師在啟發(fā)學(xué)生解題的過程中，不但要引導(dǎo)學(xué)生“怎樣做”，還要分析“怎么想到這樣做”.教師要一一呈現(xiàn)其思路的形成過程和必然性，僅僅引導(dǎo)學(xué)生掌握基本的分析模式，并由此指望學(xué)生自悟并有效遷移，當(dāng)然只能取決于學(xué)生的頓悟了.

鑒于以上分析，筆者從知識溯源角度切入，以培養(yǎng)學(xué)生怎樣想為前提，通過下列驅(qū)動問題逐步展開教學(xué).

問題1：解題目標(biāo)是什么？(證明兩線垂直.)

設(shè)計說明：許多學(xué)生做了半天的題不知道要干什么，缺少目標(biāo)分析意識，只一味地從條件入手聯(lián)想，只有堅持從條件和結(jié)論兩方面入手，方能得心應(yīng)手.

問題2：本題是求證MN⊥BD，那么初中階段學(xué)過的證明兩線垂直的知識源有哪些？

主要有：(1)垂直的定義——證明兩線所成角為直角；(2)等腰三角形三線合一；(3)勾股定理逆定理；(4)逆用中垂線的性質(zhì)；(5)圓的切線垂直于經(jīng)過切點(diǎn)的半徑，等等.

設(shè)計說明：通過問題2驅(qū)動，意在培養(yǎng)學(xué)生靈活處理兩線垂直問題的能力.

問題3：結(jié)合條件，本題應(yīng)該選用哪個知識源來證明MN⊥BD？

本題直角比較多，易想到用垂直的定義證明，但直接證明這些直角與MNF相等卻又不易；而由△BDE為等腰直角三角形，就不難想到構(gòu)造輔助線，取BD的中點(diǎn)O，連接EO(如圖2)，并利用MN∥EO來證明垂直了.

設(shè)計說明：上述兩個問題的主要目的是通過知識溯源(即從知識轉(zhuǎn)化的角度)引導(dǎo)學(xué)生掌握解決證明兩線垂直的思考方向和處理策略，即先回顧某類問題的相關(guān)知識點(diǎn)，再結(jié)合題設(shè)確定解決具體問題所適用的知識點(diǎn)，從而明確解題方向.

問題4：證明兩線平行有哪些知識源？本題適合用哪一種方法證明MN∥EO？

主要有：(1)平行線的判定定理(同位角相等、內(nèi)錯角相等、同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行)；(2)平行于同一直線的兩條直線平行；(3)平行四邊形的對邊平行(含矩形、菱形與正方形)；(4)三角形(梯形)中位線定理；(5)平行線分線段成比例定理的逆定理，等等.本題從MN與EO的位置特征和要證角相等的目的來看，宜選擇最后一個知識源證明.

設(shè)計說明：此問題的目的在于讓學(xué)生掌握證明兩線平行的幾種方法.

問題5：如何證明四條線段成比例式(即比例的來源有哪些)？

主要有：(1)平行線分線段成比例；(2)相似三角形對應(yīng)邊成比例；(3)計算.

設(shè)計說明：意在培養(yǎng)學(xué)生證明對應(yīng)線段成比例的能力.

一點(diǎn)建議：鑒于原題難度之大，添加輔助線之多，對于普通學(xué)生來說，其教學(xué)價值必將大打折扣.

不妨做如下修改：

圖5

如圖5，在矩形ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)，G，H分別為邊AB，BC，CD，DA上一點(diǎn)，且△CEH，△EFG和△FCG均為等腰直角三角形.設(shè)CE與GF相交于點(diǎn)K，連接HK交GE于點(diǎn)M.若CG=6.(1)求線段DH的長；(2)求KM∶MH的值；(3)設(shè)HF與CE交于點(diǎn)N，連接MN，求證：MN⊥CE.

四、兩點(diǎn)感悟

從知識溯源角度切入，引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會從“怎樣做”轉(zhuǎn)向“怎樣想”.其優(yōu)越性在于：

第二，提升學(xué)生的遷移能力.由于知識溯源是把解決此類問題的知識點(diǎn)一一呈現(xiàn)，不僅從中探求出解決本問題的策略，而且也為處理同類問題提供了思考方向，從而達(dá)到了“以題會類”的效果，提升了學(xué)生的遷移能力(見文獻(xiàn)[1]).

總之，通過“知識溯源”驅(qū)動解題教學(xué)，不僅明確了解題方向，提升了遷移能力，更關(guān)鍵的是引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會了“怎樣想”，從而在真正理解的基礎(chǔ)上達(dá)到靈活應(yīng)用的境界.

[1]劉華為.從教“怎樣做”到教“怎樣想”[J].中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考：中旬，2016(6)：26-28.