例談對數(shù)函數(shù)中的典型錯解及教學建議

◎吳小麗

(西華師范大學，四川 南充 637002)

例談對數(shù)函數(shù)中的典型錯解及教學建議

◎吳小麗

(西華師范大學，四川 南充 637002)

對數(shù)函數(shù)是高中數(shù)學學習的一種重要函數(shù)，函數(shù)本身就綜合性、抽象性強，對于高一學生剛接觸到此種新型函數(shù)，難免會出現(xiàn)各式各樣的錯誤，研究解題中的錯誤、充分發(fā)揮錯解的潛在功能，對于提高教學質(zhì)量是十分有意義的.

對數(shù)函數(shù)；錯解；教學建議

一、忽視定義域而導致解題出錯

(一)利用單調(diào)性解不等式

例1 已知函數(shù)f(x)=lg(x+1)，解關(guān)于x的不等式0

(二)復合函數(shù)中的單調(diào)性與最值

例2 若y=loga(2-ax)在[0，1]上是減函數(shù)，則a的取值范圍是________.

錯解分析 大部分學生一看到底數(shù)是字母a，立刻想到分類討論，復雜易錯，還有很大一部分學生忽視了定義域為[0，1]，在[0，1]上要真數(shù)大于0.

正解 ∵a>0，∴-a<0，∴u=2-ax在[0，1]上為減函數(shù).又∵y=loga(2-ax)在[0，1]是減函數(shù)，∴y=lgau在[0，1]為增函數(shù)，即a>1且2-a×1>0，∴1

例3 已知f(x)=2+log3x，x∈[1，9].求函數(shù)y=[f(x)]2+f(x2)的最大值及y取得最大值時的x的值.

錯解分析 大部分學生能夠得出y=(log3x+3)2-3，令t=log3x，則y=(t+3)2-3，但直接認為定義域就為[1，9]，從而得到t∈[0，2]，進而得到錯誤答案.其實由1≤x≤9且1≤x2≤9得，函數(shù)y的定義域為[1，3]，從而t∈[0，1].用到換元時，一定要注意新元的取值范圍，因此，正確求得復合函數(shù)的定義域顯得尤為關(guān)鍵.

二、混淆定義域與值域而導致解題出錯

例4 (1)已知函數(shù)y=log2(x2-2kx+k)的值域為R，則k的取值范圍為________.

(2)已知函數(shù)y=log2(x2-2kx+k)的定義域為R，則k的取值范圍為________.

(1)錯解 由題意，x2-2kx+k>0在R上恒成立，所以Δ=4k2-4k<0，即0

正解 由題意，在定義域內(nèi)，真數(shù)x2-2kx+k能取得所有大于0的值，所以Δ=4k2-4k≥0，即k∈(-∞，0]∪[1，+∞).

(1)的錯解即為(2)的正解.

三、對分段函數(shù)的單調(diào)性考慮不全而出錯

錯解分析 在R上為增函數(shù)，很多學生考慮不全面，只考慮到每段為增，還要保證整體單調(diào)，即要考慮在分段點處的大小關(guān)系.實際上是學生對單調(diào)性的概念沒有真正理解.

四、不能數(shù)形結(jié)合而導致解題困難

五、教學建議

根據(jù)學生在對數(shù)函數(shù)相關(guān)習題中的錯解，可以發(fā)現(xiàn)大多數(shù)是因為對數(shù)函數(shù)的相關(guān)概念理解不透，其次，不能運用數(shù)形結(jié)合等數(shù)學思想方法來分析題意，數(shù)學思維能力比較薄弱.對此，提出以下幾點教學建議.(1)數(shù)學學習中，概念學習是基礎，教師應注重數(shù)學概念的教學.將抽象的數(shù)學概念與生活實際相結(jié)合，做到循序漸進，一點一點強化.(2)應加強學生作圖的訓練.很多題只要能快速畫出草圖，就能使本身抽象難懂的題目變得簡潔易懂，思路也會開闊許多，從而使解題更快捷簡便.(3)應加強數(shù)學思想方法的滲透.讓學生了解更多數(shù)學思想方法，可以從多角度去思考問題.(4)加強學生數(shù)學思維能力的培養(yǎng).很多高一學生數(shù)學思維還停留在初中，對于一些難度稍大的題目便束手無策，教師應適當引導，加強對其數(shù)學思維能力的培養(yǎng)，使其能更深地思考問題進而提高學習能力.

[1]鄭云霞.對數(shù)函數(shù)常見解題誤區(qū)[J].中學生數(shù)理化(高一版),2011(22)：17.

[2]王海清.發(fā)揮錯解潛在功能 提高數(shù)學教學質(zhì)量[J].湖州師范學院學報,1998(5)：74-81.