物盡其用，變“廢”為“寶”

沈亞芳

摘 要：學(xué)生的學(xué)習(xí)是一個從不懂到懂，從不會到會的過程，在這個過程中，無論是哪個年齡段的學(xué)生，都會出現(xiàn)這樣或那樣的錯誤，這些都是正?，F(xiàn)象。錯誤并不可怕，可怕的是面對錯誤時學(xué)生陷入“一錯再錯”的困境，教師困于“一講再講”的局面。這就要求教師在平時的課堂教學(xué)和作業(yè)批改中，要善于找出學(xué)生錯誤的真正原因，并且能有效篩選錯誤資源，物盡其用，達(dá)到以“錯”治“錯”，變“廢”為“寶”的效果，使學(xué)生真正領(lǐng)悟數(shù)學(xué)知識的真諦，促進(jìn)思維的進(jìn)一步發(fā)展，從而使學(xué)生的學(xué)習(xí)負(fù)擔(dān)和教師的教學(xué)負(fù)擔(dān)都得到一定的減輕。

關(guān)鍵詞：物盡其用；以“錯”治“錯”；變“廢”為“寶”；減輕負(fù)擔(dān)

從教以來，聽了很多公開課。發(fā)現(xiàn)在許多課堂中，我們老師往往滿足于學(xué)生的一路凱歌，陶醉于學(xué)生的盡善盡美，而視學(xué)生的差錯為洪水猛獸，因而也常常容易忽略另一種精彩：“教與學(xué)錯誤碰撞的火花。”新的課堂提出了大量新的理念，而理想的課堂應(yīng)該是真實的課堂，真探究必然伴隨著大量差錯的生成，“錯誤”具有刺激、醒悟、陪襯、免疫的功能。利用課堂上和作業(yè)批改中的錯誤資源發(fā)揮錯誤的價值，將使課堂因差錯而更精彩。

一、以“錯”為起點，分析錯誤原因，提高錯誤免疫力

錯誤并不可怕，可怕的是面對錯誤時學(xué)生陷入“一錯再錯”的困境，教師困于“一講再講”的局面。如果我們關(guān)于“錯”之所以“錯”了解得越深，那么關(guān)于“對”之所以“對”也就認(rèn)識得越“透”。

1.學(xué)生對基本概念理解不透徹而產(chǎn)生的錯誤

數(shù)學(xué)概念是數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識的重要組成部分，要求學(xué)生能夠不同程度上進(jìn)行記憶、了解、理解、運用。在解題過程中，直接考查概念的很少，絕大部分是在考查概念的內(nèi)涵和外延，要求學(xué)生對數(shù)學(xué)概念不只是記憶，更要理解。學(xué)生在解題過程中所出現(xiàn)的由于對概念、規(guī)律的內(nèi)容認(rèn)識不清或不能正確理解它們的確切含義而產(chǎn)生的一些錯誤就是概念性錯誤。例如，有三個表達(dá)式y(tǒng)=x，y=x2，x=y2，問其中哪個表達(dá)式的圖形是拋物線？很多學(xué)生都認(rèn)為只有y=x2是拋物線，但其實不然。這反映出的就是學(xué)生對拋物線的概念掌握不清晰，因而容易在這類題中出現(xiàn)錯誤。

2.學(xué)生的知識建構(gòu)不完善而產(chǎn)生的錯誤

學(xué)習(xí)不是簡單的知識傳遞，而是學(xué)生建構(gòu)知識經(jīng)驗的過程。學(xué)生的知識建構(gòu)不完整，往往會導(dǎo)致學(xué)習(xí)中出現(xiàn)錯誤。例如，求函數(shù)y=kx2+（k+2）x+1與x軸的交點個數(shù)時，很多學(xué)生往往一看有x2就認(rèn)為是二次函數(shù)，然后利用Δ=k2+4>0得出與x軸有2個交點，卻不知自己遺漏了當(dāng)k=0時為一次函數(shù)與x軸只有1個交點的情況。這種情況就屬于學(xué)生對知識的建構(gòu)不完善導(dǎo)致的錯誤。

3.學(xué)生的思維定式而產(chǎn)生的錯誤

數(shù)學(xué)思維的培養(yǎng)是非常有必要的，但是教師也要時常注意學(xué)生思維的引導(dǎo)，從而更好地讓學(xué)生利用舊知識，靈活地應(yīng)對新知識習(xí)題；但是很多學(xué)生并沒有做好心理防備，形成了古板、機械化的解題思維，利用以往的知識詮釋新知識，必然會導(dǎo)致習(xí)題解釋的缺陷，從而出現(xiàn)錯題的情況。例如有一次我批改作業(yè)發(fā)現(xiàn)有這樣一個題目錯誤率有點高?！靶∶鲄⒓鱼U球比賽，鉛球飛行的高度y與水平距離x之間的函數(shù)關(guān)系式為y=-■x2+■x+■，求小明這次擲鉛球的成績?yōu)槎嗌?？鉛球出手時的高度是多少？”因為二次函數(shù)以往的許多練習(xí)題要我們算的都是拋物線截x軸的線段長和頂點坐標(biāo)居多，所以不少學(xué)生也把擲鉛球的成績算成了拋物線截x軸的線段長，把鉛球出手時的高度算成了拋物線頂點的縱坐標(biāo)。這種錯誤就是由思維定式造成的。

4.學(xué)生的實際生活經(jīng)驗不足而產(chǎn)生的錯誤

對于初中學(xué)生而言，數(shù)學(xué)知識很多并非“新知識”，在他們的生活中會有許多與數(shù)學(xué)知識相關(guān)的經(jīng)驗。因為學(xué)生生活在信息豐富的社會里，無處不在的生活現(xiàn)象時時刻刻會進(jìn)入他們的認(rèn)知領(lǐng)域，成為他們的生活經(jīng)驗，并作為學(xué)習(xí)者原有經(jīng)驗的一部分構(gòu)成進(jìn)一步學(xué)習(xí)新知的“數(shù)學(xué)現(xiàn)實”。學(xué)生已有的數(shù)學(xué)知識或生活經(jīng)驗不足，就會引發(fā)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的錯誤。例如，用一個鐵圈在一個地球儀的赤道上圍一圈，如果將其半徑增加1米，則一共需增加m米長的鐵絲；現(xiàn)假設(shè)在地球的赤道上用鐵圈圍一圈，同樣將其半徑增加1米，共需增加n米長的鐵絲。那么m與n的大小關(guān)系如何？在看到這道題目時，很多學(xué)生都會想到在實際生活中地球儀比地球小很多，因而認(rèn)為n肯定比m大，但其實這是錯誤的思維。如果我們設(shè)地球儀和地球的半徑分別為r和R則m=2π（r+1）-2πr=2π，n=2π（R+1）-2πR=2π，所以正確答案是m與n一樣長。

二、以“錯”為轉(zhuǎn)折點，改進(jìn)教學(xué)策略，提升思維品質(zhì)

1.正視錯誤，包容學(xué)生“課堂出錯”

俗話說：“失敗是成功之母?！币还?jié)真實的課堂教學(xué)，學(xué)生不可能不出現(xiàn)錯誤，就因為有了這種、那種錯誤，才使我們的教學(xué)環(huán)節(jié)更精彩。學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中，正確很可能是一種模仿，可錯誤絕對是一種經(jīng)歷，并且真實而自然。它是通往正確和成功的必經(jīng)之路。作為教師要認(rèn)可學(xué)生的錯誤，也允許學(xué)生出錯，錯誤出現(xiàn)后，關(guān)鍵在于要讓學(xué)生意識到錯誤，找到原因，以后避免犯同樣的錯誤。有時學(xué)生的錯誤不可能單純依靠下面的示范和反復(fù)練習(xí)得以糾正，而必須是一個自我否定的過程，因此，教師就必須幫助學(xué)生進(jìn)行有意義的“自我否定”。教學(xué)中，我們這樣告訴學(xué)生：“課堂是你出錯的地方，不管是多么簡單幼稚的問題，只要你敢提出來，就是好樣的！”給學(xué)生制造一張營造寬松氣氛、構(gòu)建良好師生關(guān)系的“保險單”。在課堂上我們有幾個允許：錯了允許重答；答得不完整的允許再想；不同意見的允許隨時爭論……這張“保險單”使廣大學(xué)生的自尊心得到了切實保護(hù)，人格得到了充分尊重。在這樣的課堂上，學(xué)生沒有答錯題被老師斥責(zé)的憂慮，更沒有被同學(xué)恥笑的苦惱，他們在民主的氣氛中學(xué)習(xí)，思維活躍，敢說敢做敢問、勇于大膽創(chuàng)新，以健康向上的情感態(tài)度投入學(xué)習(xí)，師生間有了認(rèn)識上的溝通和心靈上的對話，才會出現(xiàn)“忽如一夜春風(fēng)來，千樹萬樹梨花開”那樣一幅生機勃勃、生動活潑的教育畫卷。

【案例1】有一次學(xué)了冪的乘方后，我讓學(xué)生計算：（-1）2016-23-（-3）2，我叫了一位后進(jìn)生上來板演：（-1）2016-23-（-3）2解：原式=1-6-9=-14。他回座位的時候，好多學(xué)生在說：“錯了錯了……”他回到座位上很失落，耷拉著頭。我發(fā)現(xiàn)他雖然錯了但板書時也反復(fù)檢查了好幾遍，說明他也很希望能做對。為了尊重他的人格，不打擊他學(xué)習(xí)的積極性，我先叫了一位班級里成績和他不相上下的同學(xué)回答，湊巧這位學(xué)生居然也找不到他錯在哪里。這時我發(fā)現(xiàn)他坐直了，眼睛看著我。于是我先對他的解題格式和（-1）2016能做對加以贊賞，并指出其他學(xué)生可能也不一定能做對，他頓時感到受寵若驚，更專注了。然后我讓另一名學(xué)生對23的意義作解釋，表示3個2相乘，再邀請他自己糾錯，這之后這位學(xué)生在以后的課堂上專注多了，當(dāng)然學(xué)習(xí)成績也進(jìn)步了。

其實，一些學(xué)困生在課堂上出差錯是常見的現(xiàn)象，我們在教學(xué)過程中巧妙利用這些錯誤資源，不僅能增強他們學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的信心，還能給其他學(xué)生起到加深印象的作用，一舉兩得。

2.預(yù)設(shè)錯誤，提高學(xué)生思辨力

數(shù)學(xué)家波利亞說過：“錯誤中往往孕育著比正確更豐富的發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)造因素，發(fā)現(xiàn)的方法就是試錯的方法?！彼栽诮虒W(xué)中，教師可以在易錯的環(huán)節(jié)中設(shè)置“陷區(qū)”，故意使學(xué)生“落入陷阱”，再引導(dǎo)學(xué)生“走出誤區(qū)”，從而有助于學(xué)生鞏固正確的解題思路和方法，培養(yǎng)學(xué)生思維的嚴(yán)謹(jǐn)性，預(yù)防錯誤的再次出現(xiàn)。

【案例2】在剛學(xué)完勾股定理第一課時后，一般會先出現(xiàn)一組簡單的練習(xí)題來鞏固公式：a2+b2=c2，而筆者在教學(xué)中則是先出示這樣一道題：已知直角三角形一邊長為3，另一邊長為4，求第三邊長。

學(xué)生一般會馬上說出答案是5。理由∵根據(jù)題意可知，a=3，b=4，三角形又是直角三角形，∴第三邊長c=■=■=5。

筆者沒有說什么，只是分成小組，在小組內(nèi)進(jìn)行討論：第三邊長5到底對不對？為什么？

教師通過這樣一討論，一下子引起了學(xué)生的進(jìn)一步思考：難道答案5有問題嗎？為什么會有問題呢？他們只能去回顧老師在引入勾股定理這個公式時的一些場景。知道了“在直角三角形中，兩直角邊的平方和等于斜邊的平方”。當(dāng)3和4是直角三角形的兩直角邊時，第三邊長才是5，于是答案就有兩種情況：

（1）當(dāng)兩條直角邊為3，4時，則第三邊為斜邊等于5。

（2）當(dāng)一條直角邊為3，斜邊為4，則第三邊為直角邊等于■。

我們知道，這個題目在許多考試中頻頻出現(xiàn)，而大部分老師在上課時一般先舉一些常規(guī)題，如“在直角三角形中，兩條直角邊為3，4，求第三邊長?！边@樣的題目反復(fù)強化訓(xùn)練以后，在學(xué)生的思維中占據(jù)了很大的成分，時間一長，形成了思維定式。再出一道題“直角三角形一邊長為3，另一邊長為4，求第三邊長。”一般都會出錯的，任憑教師作多么艱辛的解釋，學(xué)生在下一次考試出錯的幾率依然很高。因為當(dāng)時可能聽懂了，但由于“先入為主”思維的影響，一段時間過后又忘記了。而筆者的做法避開了學(xué)生產(chǎn)生思維定式的條件，先打“預(yù)防針”，那么“犯病”的可能性就會大大降低。

3.捕捉錯誤，培養(yǎng)學(xué)生思維品質(zhì)

隨著課程改革和課堂的開放，學(xué)生在自主學(xué)習(xí)、探究學(xué)習(xí)、小組合作學(xué)習(xí)中，質(zhì)疑、爭論、反駁的機會大大增強，隨之出現(xiàn)的信息量也大增，師生、生生在交流互動的過程中，出錯是不可避免的。教師要善于及時捕捉錯誤，把錯誤當(dāng)作難得的生成資源加以開發(fā)利用，將錯就錯地引導(dǎo)和化解，那么課堂就會碰撞出智慧的火花。

【案例3】在“用字母表示數(shù)”一課的教學(xué)中，出示題目：“一輛長途客車上有乘客a人，途中下車15人，又上車18人，這時車上還有幾人？”其中我不小心把問題“這時車上還有幾名乘客？”誤寫成“這時車上還有幾人？”片刻后，許多學(xué)生報出答案為（a+3）人，我便追問：怎么做？大部分學(xué)生是通過列式計算或直接觀察上下車人數(shù)差而得。我及時肯定了學(xué)生的想法，話音剛落。生1：我有不同意見。條件中說的是乘客，而問題中說的是車上有多少人？那么就應(yīng)該再加上司機和售票員，這樣車上應(yīng)該有（a+5）人。此時我才發(fā)現(xiàn)自己寫錯了問題，剛想改正，又有學(xué)生發(fā)言了。生2：也不一定呀！現(xiàn)在許多車子是無人售票，這時車上應(yīng)該有（a+4）人。生3：老師，這題有3種答案，我們該怎么辦？我將錯就錯，發(fā)自內(nèi)心地表揚他們。師：你們真棒，想得非常完整。以后做作業(yè)或考試，只要你寫清楚了，每種都對。沒想到此次錯誤，錯的那么有價值，開拓了學(xué)生的思維。

【案例4】如教學(xué)“平行與相交”后，單元練習(xí)中出現(xiàn)這樣一道選擇題：“在同一平面內(nèi)，兩條直線的位置關(guān)系有（ ）A.相交與垂直，B.垂直與平行，C.相交與平行。結(jié)果發(fā)現(xiàn)學(xué)生的答案大體分成兩大派，有選B的，也有選C的。評講時，我沒有直接評價對錯，而是讓學(xué)生針對自己的選擇開展小小的“辯論賽”，必須用有力的數(shù)學(xué)語言證明自己的選擇是正確的。同學(xué)們躍躍欲試、斗志昂揚，他們開展了激烈而深入的思考辨析活動。選擇B的論證是：“兩條直線互相平行就是不相交的，而兩條直線互相垂直時就相交了?！边x擇C的馬上反駁道：“兩條直線的位置關(guān)系要么相交要么不相交，互相平行就是不相交，而相交里面不僅僅是互相垂直，還有一種一般相交的（跑上來在黑板上畫出了這種情況），垂直只是其中的一種情況，如果選B的話，就把一般相交這種情況丟掉了”……在聽了雙方的辯論之后，我讓學(xué)生再一次選擇，結(jié)果剛才選B的同學(xué)紛紛“投降”了?？梢?，讓學(xué)生經(jīng)歷錯誤又何妨？學(xué)習(xí)是從問題開始的，甚至是從錯誤開始的。

在這一教學(xué)過程中，教師沒有輕易地否定學(xué)生出現(xiàn)的錯誤，而是讓學(xué)生充分地展示了思維過程，把解決問題的主動權(quán)還給學(xué)生，引導(dǎo)他們比較、思辨，體驗知識的內(nèi)在聯(lián)系與區(qū)別，深化知識的內(nèi)在本質(zhì)。

4.暴露錯誤，培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)現(xiàn)意識

俗話說：“金無足赤，人無完人?！痹趯W(xué)習(xí)中出錯是難免的，當(dāng)學(xué)生出錯時，教師不要急于指出錯誤，說明正確答案。如果直接給出正確答案，可能造成學(xué)生一聽就懂，一過就忘，一用就錯。若教師把學(xué)生的錯誤暴露出來，讓學(xué)生自我發(fā)現(xiàn)錯誤，并找到致錯的原因，可以充分發(fā)揮學(xué)生在學(xué)習(xí)中的主體作用。暴露錯誤自我發(fā)現(xiàn)是學(xué)生對自己錯誤的一種反思，同時也是教師對自己教學(xué)的一種反思。從心理學(xué)的角度來說，反思是一種主動“再認(rèn)識”的過程，是思維的高級形式。課堂教學(xué)中積極培養(yǎng)學(xué)生的反思習(xí)慣，讓學(xué)生在自我發(fā)現(xiàn)的過程中，放松思維，體驗成功。

【案例5】學(xué)生在學(xué)習(xí)解一元一次方程時，我發(fā)現(xiàn)許多學(xué)生解方程總是解不對，我把學(xué)生在平時做錯的解方程題一一作了記錄，并總結(jié)歸納出了學(xué)生在解含有分母的方程時主要出現(xiàn)如下錯誤：（1）漏乘；（2）去括號時符號出錯；（3）去分母時忘記加上括號；（4）分配律使用時，分配不公。我針對以上問題，設(shè)計了下面的題目。

判斷下列解方程的過程是否正確？說出錯誤原因并訂正。

■

■

學(xué)生對于這些錯誤表現(xiàn)得有點害怕、討厭、不喜歡，沒有頭緒。他們感到似對非對，很不自信。我從學(xué)生的心理因素入手，先給他們充足的時間思考，讓學(xué)生自己找錯，再分小組讓學(xué)生評析產(chǎn)生錯誤的原因。學(xué)生各抒己見，很快就找到了原因并進(jìn)行了訂正。我沒有就此打住，教育學(xué)生應(yīng)把粗心的原因去掉，體現(xiàn)錯題的價值所在，告訴他們學(xué)會從錯題中找到知識漏洞，避免下次再犯。使學(xué)生在自我發(fā)現(xiàn)錯誤的過程中總結(jié)經(jīng)驗，養(yǎng)成良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣。

這節(jié)課我始終圍繞錯誤展開，并時時關(guān)注學(xué)生的心理變化，讓學(xué)生在糾錯改錯、自我發(fā)現(xiàn)的過程中感受學(xué)習(xí)的成功和快樂。

5.反思錯誤，師生共同提高

美國心理學(xué)家波斯納曾提出成長的公式是：經(jīng)驗+反思=成長。沒有反思的經(jīng)驗是狹隘的經(jīng)驗，只能形成膚淺的知識，學(xué)習(xí)需要反思，沒有反思的學(xué)習(xí)是不可能深刻的。在平時的教學(xué)中，大部分老師都有一種感受，同一類型題，甚至同樣一道題，做了好幾遍，但過段時間再拿來做，還是有很多學(xué)生會做錯。究其原因，就在于學(xué)生對已出現(xiàn)的錯誤，只會訂正，不會反思，也沒有反思的習(xí)慣，從而不清楚自己的錯因，以至于在往后的做題中一錯再錯。針對這種情況，“糾錯本”是不錯的選擇。

“糾錯本”是實實在在的錯誤的整理、解題的反思、方法的積累。教師要引導(dǎo)學(xué)生將錯題摘抄到“糾錯本”上，在出錯的地方進(jìn)行標(biāo)注，并將正解用紅筆寫在一旁，詳細(xì)分析錯誤的原因，還要求學(xué)生定期翻看自己的錯誤反思，不斷地總結(jié)反思，感悟新方法，達(dá)到自主建構(gòu)數(shù)學(xué)知識和思維方法的目的。不僅學(xué)生要準(zhǔn)備糾錯本，教師也要準(zhǔn)備一本糾錯本：教師每批改一次作業(yè)或試卷，都要對學(xué)生中的典型錯題做摘錄，整理在教師自己的糾錯本上。

例如下面是教師糾錯本的某一頁：

解方程2x-■=0.4-■

錯解1：2x-■=0.4-■

錯解2：20x-■=4-■

錯解3：2x-■=4-■…

分析：在解分母中含有小數(shù)的一元一次方程時，應(yīng)先利用分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)將小數(shù)分母轉(zhuǎn)化為整數(shù)分母，而此時要與利用等式的基本性質(zhì)去分母加以區(qū)分，不能混淆。

試行此教學(xué)研究后，對學(xué)生的錯誤有了系統(tǒng)的記錄，整理有了第一本資料，在教學(xué)方式上可以及時調(diào)整，對癥下藥，有的放矢，教師從題海戰(zhàn)術(shù)中解脫出來，同時也減輕了學(xué)生的負(fù)擔(dān)，減少了自己的壓力，使自己有更多的時間與機會真正準(zhǔn)備好每堂課。

當(dāng)前，不少人都認(rèn)為，現(xiàn)在的課難上，在沒有教學(xué)前，有些學(xué)生的錯誤是你根本預(yù)料不到的。因此，當(dāng)課堂上出現(xiàn)來不及處理的錯誤時，教師需要在課后認(rèn)真反思，尤其是帶有普遍性的錯誤。大面積學(xué)生的錯誤在一定程度上折射出教師教學(xué)方法的偏差。反思是為了更好地解決教學(xué)中的失誤，尋找存在的問題，發(fā)現(xiàn)留下的遺憾，這是教師自我教育、不斷成長的最佳途徑，從而追求教學(xué)水平的提升、完善，最終形成自己獨特的教學(xué)風(fēng)格。

總之，在新課程的數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中，我們時時都會遭遇“錯誤”的伏擊。教師應(yīng)用資源的眼光看待學(xué)生的錯誤，精心預(yù)設(shè)錯誤，篩選錯誤，充分利用學(xué)生在學(xué)習(xí)中出現(xiàn)的錯誤，因勢利導(dǎo)，變“錯誤”為重要的學(xué)習(xí)資源，物盡其用，以“錯”治“錯”，變“廢”為“寶”，使課堂因錯誤而更加精彩、更加有效。使學(xué)生和教師一起在“糾錯”“思錯”“改錯”的過程中不斷進(jìn)步，并在一定程度上減輕學(xué)生的學(xué)習(xí)負(fù)擔(dān)和教師的教學(xué)負(fù)擔(dān)。

參考文獻(xiàn)：

[1]張久仁.初中數(shù)學(xué)教學(xué)中易錯問題探究[J].數(shù)理化解題研究，2016（32）.

[2]沈佳艷.善用錯題資源提升初中科學(xué)解題能力[J].數(shù)理化解題研究，2016（23）.

[3]黎美艷.淺談小學(xué)數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中錯誤資源的有效利用[J].教學(xué)參考，2011（10）.