球體在肥皂泡體中的運(yùn)動(dòng)

王心華， 金 武， 李博斌， 盛英卓

(蘭州大學(xué) 物理科學(xué)與技術(shù)學(xué)院， 蘭州 730000)

球體在肥皂泡體中的運(yùn)動(dòng)

王心華， 金 武， 李博斌， 盛英卓

(蘭州大學(xué) 物理科學(xué)與技術(shù)學(xué)院， 蘭州 730000)

肥皂泡體作為非線性流體，對(duì)于外界的作用有著極其復(fù)雜的非線性響應(yīng)。研究肥皂泡體中運(yùn)動(dòng)物體的動(dòng)力學(xué)行為能夠解釋和解決生產(chǎn)和生活中的很多相關(guān)問題。通過理論建模、實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)和數(shù)值模擬對(duì)于小而輕且與肥皂泡大小相差不大的球體在與肥皂泡體中的運(yùn)動(dòng)過程進(jìn)行研究。首先從統(tǒng)計(jì)力學(xué)的系綜角度給出了三維肥皂泡體動(dòng)力學(xué)行為的理論解釋，再?gòu)膶?shí)驗(yàn)上驗(yàn)證了在重力場(chǎng)作用下，小球在肥皂泡中的動(dòng)力學(xué)行為關(guān)系式，具有普遍性。

重力場(chǎng)； 肥皂泡體； 球體； 統(tǒng)計(jì)描述

0 引 言

肥皂泡體類似于普通的流體，但又有普通流體無法相比擬的特性。近年來，肥皂泡體常用于粉體礦物分離、消防器材、工業(yè)清潔、交通工具的生產(chǎn)和油井中原油的回收等[1-5]。同時(shí)，肥皂泡體作為復(fù)雜流體介質(zhì)的典型例子，普遍受到國(guó)內(nèi)外理論研究領(lǐng)域的關(guān)注，尤其是肥皂泡體對(duì)其中運(yùn)動(dòng)物體的動(dòng)力學(xué)行為的影響[6-10]。然而，肥皂泡體作為非線性流體，其對(duì)于外界的作用有著極其復(fù)雜的非線性響應(yīng)，從而導(dǎo)致動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)近乎無規(guī)律的隨時(shí)演化行為，這是肥皂泡體對(duì)動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)的影響描述的困難所在。對(duì)此無序三維肥皂泡體的研究，國(guó)內(nèi)外的研究人員大多并未從理論上進(jìn)行系統(tǒng)的描述，而是從實(shí)驗(yàn)的角度，采取唯象的研究策略，從而得到描述三維肥皂泡體對(duì)動(dòng)力學(xué)的經(jīng)驗(yàn)關(guān)系[11-13]。本文論述了在重力場(chǎng)作用下球體在肥皂泡體中的運(yùn)動(dòng)現(xiàn)象，從統(tǒng)計(jì)力學(xué)的系綜角度上給出理論的解釋，并從實(shí)驗(yàn)上證明其合理性。

1 理論分析

由于肥皂泡體結(jié)構(gòu)的復(fù)雜性，而本文研究的對(duì)象是肥皂泡體中和肥皂泡大小差不多的小而輕的球體在重力場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng),這導(dǎo)致系統(tǒng)更加復(fù)雜。面對(duì)如此復(fù)雜的過程，我們放棄對(duì)于小球在肥皂泡體之中的精確運(yùn)動(dòng)描述，轉(zhuǎn)而從統(tǒng)計(jì)的系綜角度描述小球在肥皂泡體之中的運(yùn)動(dòng)。

肥皂泡因其內(nèi)部含水量的不同而呈現(xiàn)完全迥異的形態(tài)和完全不同的物理特性。在此引入物理量液相比Φ，定義：

其中：σf是肥皂泡體的傳導(dǎo)性度量；σl是流體中無氣體時(shí)的傳導(dǎo)性[14]。

肥皂泡具有獨(dú)特的可以發(fā)生形變和流動(dòng)的網(wǎng)狀結(jié)構(gòu)(見圖1)；而肥皂泡體是具有彈性體與流體雙重結(jié)構(gòu)的連續(xù)媒質(zhì)。所以把小球在肥皂泡中的受力分為由泡沫的網(wǎng)狀結(jié)構(gòu)和黏滯作用兩大類因素引起。這也是肥皂泡體對(duì)其中運(yùn)動(dòng)小球的相互作用的基本分類。

圖1 肥皂泡網(wǎng)狀結(jié)構(gòu)

由肥皂泡體的物理特性分析可直接得到，小球在肥皂泡氛圍之中的受力分為黏滯作用和彈性作用。黏滯作用一般同流體一樣，與小球下落的速度成冪次關(guān)系；彈性作用源于肥皂泡的網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)形變，與小球下落速度無關(guān)，即該作用是單向的。小球的動(dòng)力學(xué)行為不會(huì)影響肥皂泡，首先得到量化關(guān)系：

(1)

(2)

式中：F為小球所受到肥皂泡體的總作用；F0是肥皂泡體由于網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)形變而引起的彈性作用；χ·vn項(xiàng)為小球受到的黏滯作用。由分析可知，χ·vn項(xiàng)中的χ系數(shù)必定與小球的半徑R，表面浸潤(rùn)性A，肥皂泡體中肥皂泡的平均半徑r，液相比Φ等相關(guān)。而式(2)表示當(dāng)小球的重力小于F0時(shí)，小球?qū)⒈环试砼蒹w撐住而無法下落。

進(jìn)一步對(duì)彈性作用分析可知，彈性作用由兩部分組成，即由肥皂泡壁的表面張力的凈合力和球接觸的氣泡內(nèi)的擠壓凈合力組成(見圖2)。

圖2 肥皂泡受力情況

對(duì)于二維氣泡壁的凈合力的經(jīng)驗(yàn)關(guān)系為[15]：

對(duì)于研究的三維情況，由于物理情形的相似性,將其直接推廣為：

(3)

而對(duì)于氣泡內(nèi)的凈擠壓合力，選取球坐標(biāo)積分，面元方向?yàn)橥夥ㄏ颍?

(4)

由于球體周圍氣泡內(nèi)的氣壓分布極其復(fù)雜，故由統(tǒng)計(jì)系統(tǒng)的角度考慮，小球表面的氣壓分布可用模型替換,

(5)

該模型表明球表面的氣壓分布只與θ方向有關(guān)，而與φ向無關(guān)，氣壓的變化是余弦型，且在小球下面的氣泡的內(nèi)壓比球上大出1/n0。其中，P0為肥皂泡體所處大氣壓。由

積分可得

到此，可以得到由式(1)、(2)小球在肥皂泡體的動(dòng)力學(xué)方程：

(6)

此時(shí)選取小球的出發(fā)點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，則初始條件為：

小球在重力場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)與坐標(biāo)x以及y方向無關(guān)，所以可認(rèn)為肥皂泡體給小球的作用只在于坐標(biāo)正z方向，則由式(3)～(5)得：

(7)

因?yàn)榕cF0相關(guān)的參數(shù)在特定環(huán)境下不變,與小球的速度等均無關(guān)?？梢奆0在特定的實(shí)驗(yàn)環(huán)境之下是一個(gè)不變的矢量。而對(duì)于小球的動(dòng)力學(xué)方程(6),其有級(jí)數(shù)形式的解析解。但是這種解的證偽過程將給實(shí)驗(yàn)帶來諸多困難。但是仔細(xì)分析式(6)中的各項(xiàng)，可知其演化的解的形式必定為一個(gè)穩(wěn)定解。在物理過程上表現(xiàn)為，當(dāng)小球下落時(shí)間足夠長(zhǎng)時(shí)，小球在肥皂泡體中勻速下降，此時(shí)方程(6)的加速項(xiàng)為零，簡(jiǎn)化為代數(shù)方程，可直接解出小球在肥皂泡體之中下落的最終速度vmax滿足：

(8)

2 實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證

為了驗(yàn)證以上理論分析的正確性，實(shí)驗(yàn)上只需驗(yàn)證理論分析的最終結(jié)論式(8)所描述的關(guān)系。實(shí)際小球在運(yùn)動(dòng)時(shí)，式(6)所描述的加速階段的持續(xù)時(shí)間是非常短的。所以實(shí)驗(yàn)上觀察到的現(xiàn)象多為小球穩(wěn)定之后的狀態(tài)，即式(8)所描述的情況。

根據(jù)式(8)，由分析知F0只與小球的半徑有關(guān)，控制球的半徑和材質(zhì)以及肥皂泡的特性不變。改變球的質(zhì)量，測(cè)量球的終速。由于最終球?qū)蛩傧侣?，由z=vt可得，測(cè)量小球運(yùn)動(dòng)等間距z時(shí)所用的時(shí)間t，從而測(cè)定vmax。

2.1 器 材

研究器材有泡沫塑料小球(參數(shù)見表1)、標(biāo)準(zhǔn)計(jì)時(shí)器、大口徑量筒(內(nèi)徑5.5 cm )、米尺、起泡劑(甘油，蒸餾水，液態(tài)洗滌劑)、蒸餾水。

表1 小球的參數(shù)

2.2 實(shí)驗(yàn)方案

使用流量為50 mL/min氮?dú)庥煽趶? mm的通氣孔充入以體積比V甘油∶V蒸餾水∶V洗滌劑≈ 14∶72∶14的盛入量筒的起泡劑中。小球從液面以v= 0自由下落,在量筒A、B、C、D、E處安置光電門(見圖3)，用來多次重復(fù)測(cè)量小球等間距的經(jīng)過AB、BC、CD、DE的時(shí)間值，然后對(duì)大量的數(shù)據(jù)進(jìn)行平均。當(dāng)D內(nèi)徑≈ 5.5 cm > 2d球時(shí)，小球在肥皂泡中的行為受到邊界的影響微乎其微，可不予考慮[16]。

圖3 實(shí)驗(yàn)裝置

2.3 結(jié)論分析

表2中，tAB、tBC、tCD、tDE分別為對(duì)各小球下落過程進(jìn)行了20次實(shí)驗(yàn)后，對(duì)小球經(jīng)過AB、BC、CD、DE的時(shí)間進(jìn)行統(tǒng)計(jì)平均的數(shù)據(jù)，其中，涂以顏色的表格是小球勻速運(yùn)動(dòng)的區(qū)域。vmax代表小球達(dá)到勻速運(yùn)動(dòng)后獲得的最大速度。

表2 統(tǒng)計(jì)平均之后所得到的實(shí)驗(yàn)值

將實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)依據(jù)式(8)在Matlab中使用非線性最小二乘法進(jìn)行擬合，得到如圖4的關(guān)系。從圖中可以看出，若將實(shí)際的測(cè)量誤差按照保守估計(jì)，則0.462

圖4 vmax-m實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)與擬合圖

為了進(jìn)一步驗(yàn)證理論關(guān)系的正確性，n分別取0.462、0.47、0.50、0.60、0.70進(jìn)行擬合，得到如圖5所示的結(jié)果。從圖中可以看出，擬合方程形式的最大范圍為0.462

圖5 不同n值時(shí)vmax-m實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)與擬合圖

表3給出了n取不同值時(shí)，式(8)中系數(shù)F0/g和χ/g的取值。

從圖4、5可以看出，當(dāng)改變擬合理論關(guān)系中的未知參量n時(shí)，得到幾乎重合的擬合方程。表4為n取不同數(shù)值時(shí)，實(shí)驗(yàn)參數(shù)和擬合曲線的均方誤差。從表4可見，當(dāng)n位于區(qū)間0.465～1之間時(shí)，實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)與擬合方程之間的差距非常小，而且各n值對(duì)應(yīng)的均方誤差同樣非常接近。這說明在給定的實(shí)驗(yàn)條件之下的肥皂泡體與球體的黏滯阻力關(guān)系呈現(xiàn)指數(shù)小于1的非線性關(guān)系。但對(duì)于具體的n值，可能像臨界雷諾數(shù)一樣是一個(gè)范圍而非一個(gè)固定的值。

表3 不同n下F0和 χ的取值

表4 不同n值時(shí)，實(shí)驗(yàn)參數(shù)和擬合曲線的均方誤差

將實(shí)際測(cè)量的誤差放到最大，則依據(jù)擬合方程(8)可以推導(dǎo)出當(dāng)n= 1時(shí),F0n

3 結(jié) 語(yǔ)

綜上所述，通過理論建模、實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證及數(shù)據(jù)模擬3種方式對(duì)小球在肥皂泡中的運(yùn)動(dòng)研究，得出了重力場(chǎng)作用下，小球在肥皂泡中運(yùn)動(dòng)的理論關(guān)系式，該式在0.462 1的情況研沒有得出很好的結(jié)論，對(duì)n> 1的情況下，小球在肥皂泡的運(yùn)動(dòng)規(guī)律的研究同樣具有不可估量的價(jià)值。

[1] 郭平波. 肥皂泡筏中的力律與肥皂泡半徑的關(guān)系 [D]. 重慶：重慶大學(xué), 2008.

[2] 張 力，盧乾波，石 戈. 實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證肥皂膜與肥皂泡的兩個(gè)物理特性 [J]. 大學(xué)物理實(shí)驗(yàn)，2013，26(1):55-58.

[3] 游少平. 肥皂泡與建筑[J]. 華中建筑，2008，26:20-23.

[4] 冷文秀，胡家晨，張?chǎng)谓?，? 肥皂泡的光學(xué)和力學(xué)性質(zhì) [J]. 物理實(shí)驗(yàn)，2013，33(2):29-33.

[5] 唐玄之，王 琦，魏良淑，等. 大小肥皂泡聯(lián)通后的討論與計(jì)算[J]. 大學(xué)物理，2007,26(10):20-23.

[6] Hassan A, Dmitri L Vainchtein. The equation of state of a foam[J]. Physics of Fluids, 2000, 12(1):23-28.

[7] Vainchteina D L, Arefb H. Morphological transition in compressible foam[J]. Physics of Fluids, 2001, 13(8):2152-2160.

[8] Saugey A, Drenckhan W, Weaire D. Wall slip of bubbles in foams[J]. Physics of Fluids, 2006, 18,053101:1-12.

[9] Jose′ A Zapataa. Continuum spin foam model for 3d gravity[J]. Journal of Mathematical Physics, 2002, 43(11):5612-5623.

[10] Davies I T, Cox S J. Sedimenting discs in a two-dimensional foam [J]. Colloids and Surfaces A: Physicochem Eng Aspects, 2009, 344:8-14.

[11] Besson S, Debre′Geas G. Dissipation in a sheared foam: From bubble adhesion to foam rheology [J]. Physical Review Letter, 2008, 101,214504: 1-4.

[12] Taccoen N, Lequeux F, Gunes D Z,etal. Probing the mechanical strength of an armored bubble and its implication to particle-stabilized foams [J]. Physical Review X, 2016, 6,011010: 1-11.

[13] Burnett G D, Chae J J, Tam W Y. Structure and dynamics of breaking foams [J]. Physical Review E, 1995, 51(6):5788-5796.

[14] Weaire D, Phelan R. The physics of foam [J]. Journal of Physics Condensed Matter, 1999, 47(8):9519-9524.

[15] Dollet B，Elias F，Quilliet C M,etal. Aubouy two-dimensional flow of foam around an obstacle: Force measurements [J]. Physical Review E Statistical Nonlinear & Soft Matter Physics, 2005, 71:142-154.

[16] John R, de Bruyn. Transient and steady-state drag in foam [J]. Rheologica Acta, 2004, 44(2):150-159.

·名人名言·

科學(xué)實(shí)驗(yàn)是科學(xué)理論的源泉，是自然科學(xué)的根本，也是工程技術(shù)的基礎(chǔ)。

——張文裕

A Study on the Movement of the Sphere in Soap Bubbles

WANGXinhua,JINWu,LIBobin,SHENGYingzhuo

(School of Physical Science and Technology, Lanzhou University, Lanzhou 730000, China)

The soap bubble, as a nonlinear fluid, has a very complex non-linear response to external actions. This paper attempts to give a theoretical explanation to this process by a small and light sphere which has similar size of soap bubble and travels in suds, from the view point of statistics. The experiments show that the original description thought is reasonable.

gravity field; soap bubbles; spheres; statistical description

2016-09-12

中央高?；究蒲袠I(yè)務(wù)費(fèi)專項(xiàng)資金項(xiàng)目(lzujbky-2016-117)

王心華(1979-)男，青海海東人， 實(shí)驗(yàn)師，從事大學(xué)物理實(shí)驗(yàn)教學(xué)及磁性納米材料研究。

Tel.:18919999598; E-mail:xhwang@lzu.edu.cn

O 351.2

A

1006-7167(2017)05-0028-04