◇張齊華

給學(xué)生搭建直觀的思維『腳手架』
——關(guān)于『小數(shù)的初步認(rèn)識(shí)』教學(xué)的一點(diǎn)思考

◇張齊華

對(duì)于小學(xué)生而言，數(shù)無(wú)疑是抽象的。借助直觀來(lái)把握抽象，已是多數(shù)教師的教學(xué)共識(shí)。比如，認(rèn)識(shí)整數(shù)時(shí)，我們常借助實(shí)物、小棒、點(diǎn)子圖、計(jì)數(shù)器等，理解并抽象出整數(shù)的意義；認(rèn)識(shí)分?jǐn)?shù)時(shí)，我們常借助具體的物體、圖形或計(jì)量單位，有時(shí)則是一些物體組成的整體，引導(dǎo)學(xué)生在折一折、分一分、涂一涂等具體的數(shù)學(xué)活動(dòng)中，感受分?jǐn)?shù)的內(nèi)涵、理解分?jǐn)?shù)的意義。相對(duì)而言，小數(shù)的意義則更抽象，日常教學(xué)中，我們能給學(xué)生提供的直觀支撐也更為貧乏。如何借助具體、直觀的載體，給學(xué)生搭建思維的“腳手架”，幫助學(xué)生在畫一畫、分一分、想一想、說一說等數(shù)學(xué)活動(dòng)中，建立小數(shù)和十進(jìn)分?jǐn)?shù)之間的聯(lián)系，自主建構(gòu)小數(shù)的含義，是筆者教學(xué)這一課重要的嘗試。

最初的選擇是數(shù)軸。在筆者看來(lái)，數(shù)軸是一種介于直觀和抽象之間，又非常具有結(jié)構(gòu)化功能的優(yōu)質(zhì)數(shù)學(xué)模型。如果能夠引導(dǎo)學(xué)生在思考、研究、交流的過程中，在數(shù)軸上找到小數(shù)的位置，那么，建立小數(shù)和十進(jìn)分?jǐn)?shù)的關(guān)聯(lián)，進(jìn)而理解每一個(gè)具體小數(shù)的含義，也就水到渠成了。

然而，教師的想象畢竟不能替代學(xué)生的真實(shí)思考。嘗試教學(xué)時(shí)，盡管筆者已經(jīng)將數(shù)軸具體化為帶單位的“數(shù)量軸”——給數(shù)軸上的數(shù)標(biāo)上了具體的單位名稱，以便于學(xué)生更直觀地理解0.3元、0.5米的含義。然而，在實(shí)際操作時(shí)，學(xué)生仍舊困難重重。首先，要在數(shù)軸上找到小數(shù)，先要學(xué)會(huì)在數(shù)軸上找到分?jǐn)?shù)，畢竟，有限小數(shù)是十進(jìn)分?jǐn)?shù)的另一種表達(dá)形式。但是，之前學(xué)生所認(rèn)識(shí)的分?jǐn)?shù)，都建立在面積模型基礎(chǔ)之上；即便是借助線段，把線段看作單位“1”，那么分?jǐn)?shù)表示的也只是線段中的一小段，而不是某一個(gè)點(diǎn)。這樣的經(jīng)驗(yàn)顯然無(wú)法幫助學(xué)生在數(shù)軸上找到小數(shù)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)。想要借助數(shù)軸上的點(diǎn)來(lái)理解小數(shù)的含義，更是無(wú)從談起。此外，由于數(shù)軸上不只有0和1這兩個(gè)數(shù)之間的一個(gè)單位格，2、3、4這些數(shù)的存在，又給學(xué)生如何確立單位“1”帶來(lái)了困惑。比如，在學(xué)習(xí)過程中，有的學(xué)生提出，把0～2這一段平均分成10份，其中的3份就是0.3元，學(xué)生的思維更是由此陷入困頓?？磥?lái)，想借助數(shù)軸為直觀媒介，幫助學(xué)生通過找小數(shù)在數(shù)軸上的位置來(lái)理解小數(shù)的含義，顯然是教師的一廂情愿。

把握了真實(shí)學(xué)情后，我們把目光重新聚焦到平面圖形上，由于在平面圖形上表示分?jǐn)?shù)是學(xué)生已有的經(jīng)驗(yàn)，一旦學(xué)生能夠在0.3元和3角之間建立聯(lián)系，他們就有可能通過平均分表示出0.3元的含義，進(jìn)而在小數(shù)和十進(jìn)分?jǐn)?shù)之間建立聯(lián)系，小數(shù)的含義便由此得以建構(gòu)。

事實(shí)證明，這樣的思路是可行的。平面圖形的確是學(xué)生理解小數(shù)含義的有效載體和腳手架，在學(xué)生認(rèn)識(shí)和思考的過程中，它的確起到了良好的直觀支持作用。對(duì)此，前文已有充分闡述，這里不再贅言。需要補(bǔ)充的，還有如下幾點(diǎn)思考。

其一，放手讓學(xué)生自己借助圖形來(lái)表征小數(shù)的含義，除了考慮到圖形的直觀支持作用，還有一個(gè)重要的目的，即我們不希望重走教材“簡(jiǎn)單告訴”的老路子。在我們看來(lái)，盡管有限小數(shù)的確就是十進(jìn)分?jǐn)?shù)的另一種表達(dá)形式，其本身沒有多少道理可言，完全是一種數(shù)學(xué)上的規(guī)定。但是，由于學(xué)生在現(xiàn)實(shí)生活中已經(jīng)積累了豐富的經(jīng)驗(yàn)，他們?cè)缫言谌粘Ｇ榫持姓J(rèn)識(shí)到，0.3元就是3角，1.25米就是1米2分米5厘米。這些經(jīng)驗(yàn)，事實(shí)上已經(jīng)為學(xué)生主動(dòng)、自覺地建構(gòu)小數(shù)和分?jǐn)?shù)的聯(lián)系奠定了堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。以0.3元為例，既然0.3元就是3角，而3角就是把1元平均分成10份后的3份，也就是元，所以，0.3元其實(shí)就是元，小數(shù)和十進(jìn)分?jǐn)?shù)自然形成對(duì)接。鑒于這樣的理解，我們決定依托學(xué)生的生活經(jīng)驗(yàn)，借助平面圖形這一直觀的思維“腳手架”，引導(dǎo)學(xué)生自我建構(gòu)小數(shù)的含義，從而讓規(guī)定性數(shù)學(xué)內(nèi)容轉(zhuǎn)化為理解性數(shù)學(xué)內(nèi)容，讓被動(dòng)的接納轉(zhuǎn)化為主動(dòng)的意義建構(gòu)。這當(dāng)中，教學(xué)已經(jīng)超越了知識(shí)掌握本身，而更多地關(guān)注了學(xué)生的數(shù)學(xué)思考，關(guān)注了學(xué)生意義建構(gòu)，關(guān)注了學(xué)生核心素養(yǎng)的提升。

其二，以多大的開放度引導(dǎo)學(xué)生自主建構(gòu)意義，也是我們反復(fù)考量的內(nèi)容。事實(shí)上，我們嘗試了幾個(gè)不同的版本。版本一，直接出示已經(jīng)畫好的長(zhǎng)方形、圓和線段，引導(dǎo)學(xué)生在教師規(guī)定的平面圖形中表征對(duì)小數(shù)的理解。教學(xué)效果也不錯(cuò)，但總覺得留給學(xué)生的空間太小，學(xué)生呈現(xiàn)出的思維素材不夠多樣。版本二，完全放手，借助開放的問題“你是怎么理解0.3元的含義的？用你喜歡的方式表達(dá)出來(lái)”，引導(dǎo)學(xué)生自由表達(dá)對(duì)小數(shù)的理解。無(wú)疑，這樣的設(shè)計(jì)，思路是最開放的，空間也是最大的。但實(shí)際情況表明，沒有任何“腳手架”的思維攀爬，最終是徒勞的。絕大多數(shù)學(xué)生的理解僅僅停留在0.3元就是3角上，再想往前進(jìn)一步，相當(dāng)困難。所以，這一思路也被放棄。最終，我們選擇了折中的思路，也就是版本三，引導(dǎo)學(xué)生自己畫圖，并在圖形中表征0.3元。既留有適當(dāng)?shù)摹澳_手架”，給學(xué)生思維以方向和支持，也給學(xué)生留有適度的思維空間，并最終展現(xiàn)出思維的多樣性，為后續(xù)的師生、生生對(duì)話創(chuàng)造了條件。

其三，直觀只是一個(gè)“腳手架”，最終，我們還需要引導(dǎo)學(xué)生擺脫“腳手架”，從直觀回到抽象，在數(shù)學(xué)意義上把握小數(shù)的內(nèi)涵。所以，教學(xué)的最后，我們引導(dǎo)學(xué)生將單位從“元”轉(zhuǎn)換為“米”，進(jìn)而讓學(xué)生自由假設(shè)單位，并在不斷嘗試、調(diào)整的過程中體驗(yàn)到，用什么單位并不重要，關(guān)鍵還在于我們是否把1平均分成10份并表示了其中的若干份。至此，學(xué)生對(duì)小數(shù)的理解才真正由具體的量上升到抽象的數(shù)，由特殊的把握到達(dá)一般的理解，實(shí)現(xiàn)了數(shù)學(xué)教學(xué)的抽象。當(dāng)然，從核心素養(yǎng)的角度考量，這一過程，也是發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)抽象的契機(jī)，是學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)得以有效滲透的一種有益嘗試。

（作者單位：江蘇南京市北京東路小學(xué)）