◇江春蓮 劉付茵

揭示數(shù)學教學工作的特殊性
——ICME-13 中波爾教授的報告及其啟示

◇江春蓮 劉付茵

2016年7月24—31日，第13屆國際數(shù)學教育大會（ICME-13）在德國漢堡召開。本文主要介紹來自美國密歇根大學的德博拉·羅文堡·波爾（Deborah L?wenberg Ball）教授的大會報告“揭示數(shù)學教學工作的特殊性”。我們先介紹該報告的主要內容，再結合我國中小學數(shù)學教學實際情況進行反思。

一、研究旅途的開始

波爾教授用講故事的方式組織她的演講。故事是這樣開始的：很久以前，數(shù)學教育研究者、數(shù)學家和政策制定者在討論如何把數(shù)學教學變得更好時，一致認為教師所擁有的數(shù)學知識很重要，因為教師只有自己懂得要教授的數(shù)學內容，才能教好。如果教師的數(shù)學知識儲備不足，他就應當修讀更多的數(shù)學或學習更多的課程。

但隨后的研究表明，雖然數(shù)學教師需要較多的數(shù)學知識，但是教師學習數(shù)學的數(shù)量（如修讀數(shù)學課程的科目數(shù)）并不能確保數(shù)學教學的高質量，新的問題也隨之產生：究竟數(shù)學教師還需要哪些數(shù)學技能和洞察力呢？為了回答這個問題，數(shù)學教育研究者從多種不同的角度進行了研究，如國際教育成就評價協(xié)會（IEA）組織的數(shù)學教師教育和發(fā)展研究及它的后續(xù)研究，德國旨在研究教師教學能力的COACTIV項目及其后續(xù)研究，美國密歇根州立大學教育學院開展的教學所需要的數(shù)學知識項目（LMT）研究等。

后來，對數(shù)學教師知識的研究逐漸從“數(shù)學教師需要什么樣的數(shù)學知識”發(fā)展到“數(shù)學教師如何在課堂上使用數(shù)學知識”，如安妮·思韋茨（Anne Thwaites）等人的發(fā)展數(shù)學教師內容知識的知識結構（如圖1），吉爾·阿德勒（Jill Adler）和艾琳娜·隆達（Erlina Ronda）關于教學中的數(shù)學對話的研究，LMT項目中的數(shù)學教學中的任務研究等。波爾教授指出，這些數(shù)學教學研究已經(jīng)越來越接近實際運用的層面。

圖1

二、研究旅途中的迷失

有一段時間，教育測量成為研究的熱點，如設計評估任務評估教學、研究教學好壞與學生學習成績之間的關系等。研究的重點是建立測量和評估的工具來測量教師的數(shù)學知識。

這些教育測量對數(shù)學教學研究有哪些影響呢？波爾教授認為，發(fā)展和使用這些測評工具的好處是讓我們認識到好的數(shù)學教學需要綜合運用多種不同的知識，并且發(fā)展了一些方法來研究教師教育和專業(yè)發(fā)展的成果。但其缺點也不少，具體體現(xiàn)在：（1）將研究的重點從教學實踐又拉回到知識層面，也就是從社會文化層面又回到認知層面；（2）不能生動地呈現(xiàn)教師在教學實際中應該怎么做，特別是從數(shù)學的角度；（3）教學被分成不同的部分，忽視了教育公平，如在數(shù)學課堂上，當學生在做課堂練習時，教師會關注哪些學生的作業(yè)？如何對這些學生的作業(yè)進行形成性評估？

三、使用工具和地圖，找到正確的路

波爾教授將對數(shù)學教師如何運用他們的數(shù)學知識、教學知識組織數(shù)學課堂教學活動，幫助學生學好數(shù)學的研究稱為數(shù)學教學工作的研究，這樣的研究才能真實地描述數(shù)學教學工作，幫助我們理解數(shù)學教學工作的本質。

她首先引入教學三角形的概念。教學三角形由教師、學生和教學內容三部分組成，這三個部分又與它所依存的外部環(huán)境相互作用（如圖2）。外部環(huán)境是指大的社會政治的、歷史的、經(jīng)濟的、文化的社群和家庭環(huán)境；教學通過教師、學生和教學內容間的解釋和互動來完成。盡管學習要靠學生自己，但是教師承擔著使這些互動的質量最優(yōu)化的責任，幫助學生學到盡可能多的知識，形成更強的能力，為學生的未來生活做準備。[1]

圖2

數(shù)學教學工作是一項特殊的教學工作，我們可以先看看研究者是如何研究一般的教學工作的。一般的教學研究是從社會文化的視角來觀察教學和學習的，如以色列海法大學的安娜·斯法德、南非金山大學的吉爾·阿德勒等關于教學對話的研究；教學又是多樣的，這源于語言、身份、種族、民族、階級和性別等的多樣性。所以，研究數(shù)學教學工作時，我們需要嘗試理解其中的數(shù)學互動、數(shù)學對話和數(shù)學行為表現(xiàn)等。除此之外，數(shù)學教學工作因為是數(shù)學學科的，所以又有其特殊性，特殊在哪兒呢？數(shù)學課堂上的聽、說、互動、動作、流暢性和操作等都是圍繞數(shù)學進行的，它們組成數(shù)學教學工作的一部分，而不只是教學的資源，這也是本次報告中“特殊的數(shù)學教學工作”的涵義。

波爾教授接下來展示了一個教學片段，該片段記錄的是美國五年級的學生（約10歲）學習如何用分數(shù)表示數(shù)軸上的一個點。該班有29名學生，其中21名是非洲裔學生，4名來自拉丁語國家，其余4名為白種人。這些學生來自低收入家庭，而且大部分學生的數(shù)學成績常常不合格。由于這些學生的背景不同，所以教學時，我們需要考慮這些差異（不同年齡、性別、種族、民族、文化、宗教、階級、語言和經(jīng)驗等）。所以教學工作很重要的一點是要根據(jù)教學對象的特點進行調整，根據(jù)學生的想法、思考與存在的方式進行調整。

在這個教學案例中，學生已經(jīng)學習了分數(shù)的定義，能將分數(shù)理解為整體的一部分，這里要學習把分數(shù)理解成一般的數(shù)，即數(shù)軸上的數(shù)。教師給出如下問題。

圖3中橙色（虛線）箭頭指的數(shù)是多少？解釋你是如何算出來的。

圖3

當學生在解答這個問題時，教師在教室里巡視，觀察學生是如何解答的，從而決定接下來如何進行討論。波爾教授舉出了幾名學生的錯誤回答，它們分別是：（1），因為圖中有4個相等的部分，箭頭指在第二個部分；（2），因為被分成4個單元格，它是其中的1份；（3），這里右邊有2段，加上左邊的1段，就等于3段。最后這個解釋其實不是數(shù)學的解釋。在29名學生中，只有5名給出了作為答案，其余的答案五花八門，甚至還有-2和0。

在這個教學片段中，教師從給出錯誤回答的學生中選取了阿尼亞板演自己的答案。阿尼亞寫出答案后，教師讓她解釋她的答案。她用手指著圖，說明自己從圖中看到了7個相等的部分。教師沒有馬上判斷阿尼亞是對還是錯，而是要求別的學生給她提問題，于是托尼問：“為什么你選？”教師肯定了托尼的問題是個好問題。于是阿尼亞重新數(shù)自己看到的相等的7份。

在這個教學片段中，盡管阿尼亞給出的答案是錯誤的，但通過她的解釋及演示我們不難發(fā)現(xiàn)，阿尼亞運用了分數(shù)的定義來解釋。她選取整條線段上0后面的部分作為整體，確定其中的間隔是等長的，她通過數(shù)間隔而不是數(shù)分隔線得到整體所分成的部分的數(shù)目，并寫出了。阿尼亞能清晰地表述自己的觀點并給出數(shù)學化的、有條理的解釋。而托尼認真傾聽同學的展示，并且基于分數(shù)的定義給阿尼亞提了一個數(shù)學問題，強調了7個部分。這個問題比較尖銳，而且是阿尼亞的錯誤所在。而對這種能力的判斷是教師通過瀏覽他們的解答就能得出的。

從這個教學片段可以看出，教師的數(shù)學教學工作包括如下方面。（1）在實際教學中，教師需要傾聽、觀察和讀懂學生，如在課堂討論、課堂計算和讀學生寫的東西時。（2）確定學生的數(shù)學能力，具體包括以下三個部分：①拓寬并定義數(shù)學能力，如對在數(shù)軸上表示的分數(shù)的理解，可以用部分-整體關系來解釋，但不能用數(shù)點的個數(shù)的方法；②在數(shù)學課堂上，根據(jù)學生的回答，很快確定哪些學生具備上述確定的數(shù)學能力；③支持各個學生發(fā)展他們的數(shù)學能力和學術水平。（3）為幫助學生理解，教師需要將教學內容翻譯成學生可以理解的語言。美國州際核心數(shù)學課程標準關于分數(shù)的學習目標中有兩點：一是理解分數(shù)（把整體分成b等份，其中1份的數(shù)量），理解是表示a個所得的量；二是理解分數(shù)可以是數(shù)軸上的數(shù)，能在數(shù)軸上表示分數(shù)。而在數(shù)學實踐能力方面，美國州際核心數(shù)學課程標準要求學生能理解問題，在解決問題的過程中，能堅持不懈；構建可行的論證，評判他人的推理。這些內容不能直接教給學生，必須先轉換成學生能理解的語言。在上述片段的分數(shù)定義中，需要進行的轉換包括：①找出整體是什么；②判斷整體是否被分成相等的部分，如果不是，則需要先將整體分成相等的部分；③數(shù)出總共有多少份相等的部分；④用來表示其中的1份，這是一個單位分數(shù)；⑤如果取了a份，就用表示；⑥b≠0；⑦b是一個整數(shù)。

波爾教授總結道，數(shù)學教學工作包括以下五個方面：（1）傾聽并讀懂學生；（2）跨越差異，把教學的內容翻譯成學生能理解的語言；（3）流利地用數(shù)學表達；（4）建立學生的數(shù)學身份認同；（5）使用數(shù)學任務作為學生學習的工具。

由上可見，要真實地描述數(shù)學教學工作，理解其本質，需要集體的努力，而不是靠一兩個課題就能完成的。我們需要更多研究者的加入，特別是眾多年輕學者的加入，以提高對教學和學習的理解，進而提出改進措施。波爾教授列出了可以研究的領域，具體包括：研發(fā)共同的語言體系，對課堂活動和課堂規(guī)范的研究，對實施的課程的研究，建立數(shù)學對話研究的理論并用于實踐，數(shù)學教師專業(yè)知識和能力、數(shù)學課堂國際比較研究，追求公平、反種族主義、自由的教學法。這些研究可以幫助我們更好地理解相同文化或不同文化下的教學工作。

最后，波爾教授指出，全球18歲以下的人口數(shù)量約為26億，其中19億在學校讀書，差不多是全球人口總數(shù)的40%，這些人將是未來生活的主人，所以教育對人類的發(fā)展起著重要的作用。波爾教授引用麥莎·溫（Maisha Winn）的問題讓我們思考：如何教數(shù)學才能使人類停止互相殘殺？波爾教授的回答是：熟練的、充滿關心的數(shù)學教學！

四、啟示

波爾教授強調數(shù)學教學研究應當關注教學的實踐層面，即在數(shù)學課堂上，教師如何運用自己的數(shù)學知識、數(shù)學教學知識組織課堂教學活動、討論等。無論是一線教師還是數(shù)學教育研究者，在討論教學時，除了充分了解學習目的，還應問自己：我們對學生了解多少？學生相關知識和能力的準備情況如何？如何將教學目的細化到課堂上每個問題的討論中，翻譯成學生可以理解的語言，并讓學生學會使用這種語言，逐步學會數(shù)學地表達，從而提高學生的數(shù)學學習信心，讓他們感覺到“我是可以學好數(shù)學的”？

[1]Cohen D.K.，Raudenbusch S.&Ball D.L..Resources，instruction，and research[J].Educational Evaluation and Policy Analysis，2003，25（2）.

（作者單位：澳門大學教育學院）