◇馬麗麗

“以形助數(shù)”，賦予“種子”生長的力量
——聽張齊華老師“小數(shù)的初步認(rèn)識(shí)”一課有感

◇馬麗麗

“數(shù)的認(rèn)識(shí)”這一部分內(nèi)容的核心是理解意義、發(fā)展數(shù)感。從整數(shù)到小數(shù)，既是數(shù)系的一次擴(kuò)充，也標(biāo)志著學(xué)生的數(shù)概念從具有離散性的整數(shù)向具有稠密性的有理數(shù)發(fā)展。這樣看來，真正理解小數(shù)還是有一定困難的。這就需要教師充分挖掘和利用小數(shù)概念中的直觀成分，把抽象的數(shù)學(xué)知識(shí)與具體的圖形結(jié)合起來，從而有效降低教學(xué)難度。所以，“數(shù)形結(jié)合”無疑是本節(jié)課突破難點(diǎn)的重要思路。張老師在“小數(shù)的初步認(rèn)識(shí)”這節(jié)課中更是一次又一次地“以形助數(shù)”，關(guān)注了小數(shù)的前生、今世、后延，層層推進(jìn)、追本溯源，指向數(shù)的本質(zhì)。

一減鼓勵(lì)創(chuàng)意表達(dá)，實(shí)現(xiàn)從生活經(jīng)驗(yàn)走向數(shù)學(xué)理解

盡管這是數(shù)學(xué)教材中第一次編排小數(shù)的認(rèn)識(shí)，但生活早已在教材之前將小數(shù)帶到了學(xué)生的身邊，其中“用小數(shù)表示物品價(jià)格”就是學(xué)生十分熟悉的生活體驗(yàn)。張老師精心選取了這一素材，鼓勵(lì)學(xué)生自由畫圖、創(chuàng)意表達(dá)，畫出他們心中所理解的“0.3元”。同時(shí)，這也讓教師了解到學(xué)生內(nèi)心深處最本真的想法，從而更有效地為他們的學(xué)習(xí)、生長提供支持。

從課堂交流中可以看出，學(xué)生對(duì)于小數(shù)原生態(tài)的認(rèn)識(shí)與理解是有一些偏頗的：有些學(xué)生雖樸素地感覺到分?jǐn)?shù)與小數(shù)存在著某種聯(lián)系，卻誤以為0.3元是元；還有些學(xué)生在畫圖時(shí)，關(guān)注的是數(shù)量的多少，而不是0.3元的數(shù)學(xué)意義，這就有了諸如“0.3元不到1元的一半，所以畫出了一小半”“一個(gè)長方形平均分成3份，每份是3角3分還多一些，再從1份中去掉一小塊”等解釋。即便是畫圖正確的那些孩子，他們所畫出的圖形也各有特色、不盡相同。

面對(duì)豐富的生成性素材，張老師處理得智慧且自然，尊重學(xué)生創(chuàng)意表達(dá)的同時(shí)，又適時(shí)介入、有效聚焦——“想到分是對(duì)的，但怎么分還需要思考”“為什么要平均分成10份呢”……用問題引領(lǐng)學(xué)生把關(guān)注的重點(diǎn)落在0.3元的數(shù)學(xué)意義上，并在交流碰撞中對(duì)0.3元的含義達(dá)成共識(shí)。至此，“0.3元”對(duì)他們來說，已經(jīng)不僅僅是生活中的“3角錢”了，而是從數(shù)學(xué)的角度去解釋它，“把1元平均分成10份，其中的3份就是0.3元”。

第一次畫圖，引領(lǐng)學(xué)生由生活走向數(shù)學(xué)，實(shí)現(xiàn)了由外向內(nèi)的華麗轉(zhuǎn)身。

二減辨析變與不變，實(shí)現(xiàn)從具體的量走向抽象的數(shù)

數(shù)學(xué)概念一般以“靜態(tài)”的方式呈現(xiàn)，然而概念的獲得卻是一個(gè)由具體形象思維到抽象概括思維的“動(dòng)態(tài)”過程。盡管學(xué)生對(duì)0.3元的圖示達(dá)成了共識(shí)，但這并不意味著學(xué)生已經(jīng)理解了一位小數(shù)的意義，要想準(zhǔn)確概括出一位小數(shù)的意義，還需要更多例證的支撐，以便突出概念的本質(zhì)屬性，進(jìn)一步地“去偽存真”。

因此，張老師進(jìn)一步啟發(fā)學(xué)生變換計(jì)量單位并思考“把這個(gè)長方形看作1米，涂色的這3份表示多少”“這個(gè)長方形還可以看作什么”……

最初學(xué)生想到的是將長方形看作1分米、1厘米、1角，從而想到涂色部分表示0.3分米、0.3厘米、0.3角。此時(shí)，張老師并沒有急于“收網(wǎng)”、歸納。為了不讓正確的表象掩蓋學(xué)生或錯(cuò)誤或模糊的理解，他選擇了“等一等”。因?yàn)閷W(xué)生說出的都是米制系統(tǒng)或人民幣的例子，這不排除模仿的可能，是學(xué)生基于之前“0.3元”“0.3米”的范式來說的。果然，當(dāng)一個(gè)學(xué)生提出“把這個(gè)長方形看作1天”時(shí)，立即出現(xiàn)了反對(duì)的聲音，理由是“1天不能平均分成10份”。經(jīng)過一番討論，學(xué)生才真正達(dá)成共識(shí)——重要的不是平均分成10份后，每一份是多少，而是只要平均分成10份了，這樣的一份或幾份就可以用0.1或零點(diǎn)幾來表示。經(jīng)過了這樣一番“變與不變”的深度辨析，再引導(dǎo)學(xué)生“將所有單位都去掉，就把這個(gè)長方形看作1”，學(xué)生對(duì)小數(shù)的理解逐漸拋開具體的量，不知不覺中走向了抽象的數(shù)，水到渠成。

張老師的這一次“畫圖”，讓我想到了陳省身教授的一段演講。陳老曾說，三角形內(nèi)角和為180度，這種看問題的方法不對(duì)，應(yīng)當(dāng)說三角形外角和是360度，因?yàn)槿我鈔邊形外角和都是360度。這就把多種情形用一個(gè)十分簡單的結(jié)論概括起來，找到了更一般的規(guī)律。

第二次畫圖，不僅由“紙上有圖”發(fā)展為“心中有圖”，更是將孩子們看問題的目光由狹小的范圍引向更高遠(yuǎn)的空間，實(shí)現(xiàn)了由特殊到一般的質(zhì)的飛躍。

三三演繹小數(shù)歷史，實(shí)現(xiàn)從數(shù)的意義走向數(shù)的本質(zhì)

在本課初始，有學(xué)生提問：“生活中為什么會(huì)有那么多小數(shù)？”“小數(shù)和我們以前學(xué)習(xí)的數(shù)有什么關(guān)系？”無獨(dú)有偶，也有學(xué)生問過我類似的問題：“有了分?jǐn)?shù)，為什么還要小數(shù)？”

學(xué)生心中的疑問，也正是教師需要思考的：學(xué)生能理解一位小數(shù)表示十分之幾，就是真正理解了小數(shù)意義嗎？這樣的建構(gòu)是否也不過是在“初步認(rèn)識(shí)”上徘徊？推想到后續(xù)的學(xué)習(xí)，認(rèn)識(shí)兩位小數(shù)、三位小數(shù)，難道就這樣重復(fù)昨天的故事？

在教育形態(tài)的數(shù)學(xué)范疇里，小數(shù)與分?jǐn)?shù)是緊密聯(lián)系的，但數(shù)學(xué)史卻給出了不一樣的答案：小數(shù)似乎和十進(jìn)制計(jì)數(shù)法更有淵源！歷史上，小數(shù)的出現(xiàn)是基于十進(jìn)制表示數(shù)量的需要，是十進(jìn)制計(jì)數(shù)向相反方向延伸的結(jié)果。即便它是十進(jìn)分?jǐn)?shù)的簡寫形式，也絕不是分?jǐn)?shù)的附庸。它的誕生也積淀了人類共同的努力。

從這個(gè)視角來看張老師的“第三次畫圖”，就更有歷史的畫面感了：在認(rèn)識(shí)了一位小數(shù)之后，嘗試畫圖表示出老師的身高1.72米，學(xué)生想到“要表示2厘米，把1.7后面的0.1再平均分成10份，取其中的2份”，進(jìn)而推想到“1.725米中的5毫米，可以把1.72米后面最小的1份再平均分成10份”，依次類推……從而由衷地發(fā)出感慨：“小數(shù)就是這樣不斷地往下分出來的。”“每次分，都要平均分成10份?！薄@一過程，與劉徽所提出的“……求其微數(shù)，微數(shù)無名者以為分子，其一退以十為母，其再退以百為母，退之彌下，其分彌細(xì)……”有著異曲同工之妙呀！這一設(shè)計(jì)，再現(xiàn)了數(shù)學(xué)文化的理性之光。

第三次畫圖，突出了小數(shù)意義的本質(zhì)屬性，“滿十進(jìn)一、退一當(dāng)十”——整數(shù)、小數(shù)、分?jǐn)?shù)因?yàn)槭M(jìn)位值制而得到了貫通。將鏡頭拉遠(yuǎn)，跳出小數(shù)理解小數(shù)，用生長替代了重復(fù)。

學(xué)生經(jīng)歷不同的學(xué)習(xí)過程，將導(dǎo)致學(xué)生對(duì)概念的理解達(dá)到不同水平?！笆芙逃娜说拇_跟種子一樣，全都是有生命的，能自己發(fā)育、自己成長的；給他們充分的合適的條件，他們就能成為有用之材?！睆埨蠋煹倪@節(jié)課正是如此，不斷為學(xué)生的主動(dòng)建構(gòu)提供有力的、充分的支持，賦予學(xué)生向上生長、可持續(xù)發(fā)展的力量！

（作者單位：江蘇南京市同仁小學(xué)）