常見(jiàn)的證明三角形重心的方法

云南省德宏州盈江縣第一高級(jí)中學(xué) 尤廷田

一、引言

三角形是幾何中的基本圖形，三角形的重心是關(guān)于三角形的重要定理，于是證明三角形重心的存在性能夠給學(xué)習(xí)者提供一個(gè)展示自身才華的機(jī)會(huì)，提高知識(shí)的應(yīng)用能力，還能加深學(xué)習(xí)者對(duì)重心的理解程度，更好地認(rèn)識(shí)三角形，同時(shí)也從一個(gè)側(cè)面反映數(shù)學(xué)知識(shí)的嚴(yán)謹(jǐn)性。

二、三角形重心的證明

三角形的重心：三角形三條中線(xiàn)相交于一點(diǎn)，這點(diǎn)叫做三角形的重心

證明：

法一：如圖一設(shè)AD、BECF分別是?ABC的邊BC、CAAB的中線(xiàn)，則

由塞瓦定理得AD、BECF、三線(xiàn)平行或相交于一點(diǎn)。而AD、BE相交于G點(diǎn)，故AD、BECF三線(xiàn)相交于G點(diǎn)。

命題得證[2]。

法二: 如圖二設(shè)AD、BECF分別是?ABC的邊BC、CAAB的中線(xiàn)。設(shè)AD與BE相交于G，AD與CF相交于H，

設(shè)

則

故

于是得

即

同理

從而知?ABC的三條中線(xiàn)相交于一點(diǎn)。命題得證。

法三：如圖三設(shè)AD、BECF分別是的邊B、CCAAB的中線(xiàn)，設(shè)A、DBE相交于G.建立仿射坐標(biāo)系則A(0,0),B(1,0),C(0,1)D(0.5,0.5),E(0,0.5),C(0.5,0.)設(shè)G分有向線(xiàn)段AD成定比x,

故

設(shè),G分有向線(xiàn)段BE成定比y,故由點(diǎn)的唯一性得

即G點(diǎn)在CF上，從而知?ABC的三條中線(xiàn)相交于一點(diǎn)。命題得證。

法四：設(shè)AD、BECF分別是?ABC的邊B、CCAAB的中線(xiàn)，以BC所在的直線(xiàn)為x軸，BC邊上的高AO所在直線(xiàn)為y軸，OC的長(zhǎng)度為1個(gè)單位長(zhǎng)度建立直角坐標(biāo)系（如圖四），則C(1,0).設(shè)A(0,a),B(b,0),則D(0.5+0.5b，0),

E(0.5,0.5a),F( 0.5b, 0.5a),AD、BECF

所在直線(xiàn)方程分別為：

方程組

故AD、BECF相交于一點(diǎn)。命題得證。

法五：?ABC是任意一個(gè)三角形，?A1B1C1是一個(gè)正三角形，A1D1,B1E1,C1F1,是?A1B1C1的三條中線(xiàn)（如圖五），設(shè)A1D1,B1E1,相交于O1，C1F1,A1D1相交于O2.由正三角形的三線(xiàn)合一的性質(zhì)可得

故O1與O2重合，即正三角形的三條中線(xiàn)交于一點(diǎn)。

由平面仿射幾何基本定理，存在唯一的仿射變換T將?A1B1C1變?yōu)?ABC.由于仿射變換保同素性和接合性，得D1、E1、F1的象D、E、F分別在BC、CA和AB上。O1的象O就是AD、BE、CF三線(xiàn)的交點(diǎn)。由仿射變換保簡(jiǎn)比，可得D、E、F分別是BC、CA和AB的中點(diǎn)，即AD、BE、CF是?ABC的中線(xiàn)。命題得證。

法六：?ABC是任意一個(gè)三角形，?A1B1C1是一個(gè)正三角形，A1D1、B1D1分別是 ?A1B1C1的邊B1C1、A1C1的中線(xiàn)，設(shè)A1D1、B1E1相交于O1，過(guò)O1作O1F1⊥A1B1垂足為F1，連結(jié)C1F1（如圖六）.由正三角形的三線(xiàn)合一的性質(zhì)可得

故以O(shè)1為圓心O1D1為半徑可作一圓內(nèi)切于?A1B1C1（如圖七），切點(diǎn)分別為D1、E1、F1.由布利安雙定理可得A1D1、B1E1、C1F1相交于一點(diǎn)O1.又，是B1D1=B1F1,D1是B1C1的中點(diǎn)，且B1C1=A1B1，故F1是A1B1的中點(diǎn)。

由平面仿射幾何基本定理，存在

唯一的仿射變換T將?A1B1C1變?yōu)?ABC.由于仿射變換保同素性和接合性，得D1、E1、F1的象D、E、F分別在BC、CA和AB上，O1的象就是AD、BE、CF三線(xiàn)的交點(diǎn)O.由仿射變換保簡(jiǎn)比，可得D、E、F分別是BC、CA和AB的中點(diǎn)，即AD、BE、CF是?ABC的中線(xiàn)。命題得證。

法七:?ABC是任意一個(gè)三角形，AD、BE、CF分別是BC、CA、AB邊的中線(xiàn)。連結(jié)DE、DF、EF（如圖八）.

由三角形的中位線(xiàn)定理可得DE∥AB，DF∥AC,EF∥BC即DE與AB，DF與CA，EF與BC分別相交于無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)G、H、I.無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)G、H、I在無(wú)窮遠(yuǎn)直線(xiàn)上。由代沙格定理的逆定理可得AD、BE、CF相交于一點(diǎn)。又AD、BE相交于普通點(diǎn)O，故CF過(guò)點(diǎn)O。命題得證。

綜上所述：第一，向量方法很簡(jiǎn)捷、方便，因?yàn)樗畲蟮膬?yōu)勢(shì)是運(yùn)算，在共面向量中取兩個(gè)不共線(xiàn)的向量，以它們作為基，通過(guò)很流暢的運(yùn)算把其余向量都用它們表示出來(lái)，然后對(duì)所得的向量進(jìn)行比較，根據(jù)唯一性，令對(duì)應(yīng)系數(shù)相等即可把有關(guān)系數(shù)確定出來(lái)，使問(wèn)題得到解決或有所進(jìn)展。此外，如果把向量運(yùn)算和數(shù)值（坐標(biāo)）運(yùn)算結(jié)合起來(lái)就能更多地使用代數(shù)方法，因而具有一般性的優(yōu)點(diǎn)。它作為解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的強(qiáng)有力的工具，優(yōu)勢(shì)是不言而喻的。

第二，在仿射幾何中可以相互轉(zhuǎn)化的圖形叫做仿射等價(jià)圖形。在仿射等價(jià)圖形中，所有的圖形具有相同的仿射性質(zhì)。因此，只要我們知道了哪些圖形是仿射等價(jià)圖形后，我們就可以在這些圖形中找出最簡(jiǎn)單或比較簡(jiǎn)單的圖形，只要將它們的不變性及不變量弄清楚了，也自然把這些仿射等價(jià)圖形的性質(zhì)弄清楚了。例如，所有的三角形是仿射等價(jià)圖形，其中最簡(jiǎn)單的三角形是正三角形，所以，為了證明任意三角形具有某種仿射性質(zhì)，我們只須證明正三角形具有這種性質(zhì)就可以了。