陳飛龍
【摘要】 本文在初中數(shù)學(xué)因式分解疑難點(diǎn)透析基礎(chǔ)上,緊扣因式分解方法,對(duì)因式分解規(guī)律化教學(xué)進(jìn)行探討,總結(jié)出一套行之有效的方法,提高課堂教學(xué)效果。
【關(guān)鍵詞】 因式分解 規(guī)律化教學(xué) 提公因式法 公式法 綜合化
【中圖分類號(hào)】 G633.6 【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】 A 【文章編號(hào)】 1992-7711(2017)06-133-010
因式分解有什么意義呢?為什么要進(jìn)行因式分解呢?因式分解其實(shí)是整式乘法的逆運(yùn)算,是分式約分、化簡的基礎(chǔ),是一些日常簡便運(yùn)算的一種重要思路……既然因式分解這么重要,我們?cè)诮虒W(xué)過程中就不能掉以輕心,必須認(rèn)真對(duì)待。
一、提公因式法分解因式
什么是公因式?我們通常把多項(xiàng)式各項(xiàng)都含有的相同因式,叫做這個(gè)多項(xiàng)式各項(xiàng)的公因式。在因式分解的過程中如何找準(zhǔn)、找全公因式?找到之后又如何去分解因式?
勿庸置疑,若一個(gè)多項(xiàng)式中各項(xiàng)系數(shù)為1或-1的,找起來是很容易的。如ab+bc的公因式是b;x3y-x2y的公因式是x2.若多項(xiàng)式中各項(xiàng)系數(shù)并不是1或-1的,那還要找各項(xiàng)數(shù)字因數(shù)的最大公約數(shù)來充當(dāng)公因式的一部分因數(shù)。如:24a2b+36ab2c的公因式是6ab,這是因?yàn)?4與36的最大公約數(shù)是6;24a2b與36ab2c這兩項(xiàng)中,以a為相同底數(shù)的冪的最低次數(shù)是1,以b為相同底數(shù)的冪的最低次數(shù)是1。因此,它們的公因式就是6ab.這樣我們就知道公因式是怎么回事了,它就是各項(xiàng)數(shù)字因數(shù)的最大公約數(shù)與各項(xiàng)同底數(shù)冪的最低指數(shù)冪的組合因式。它是由數(shù)字因數(shù)與最低指數(shù)冪兩部分組合而成。
弄清這一點(diǎn)后,提公因式時(shí)就要注意了。先找數(shù)字因數(shù)部分的公因式,再找相同底數(shù)冪的公因式,組合寫在一起,就是這個(gè)多項(xiàng)式的公因式。如:8a2b2-12ab2c+4ab,8,12,4這幾個(gè)數(shù)字的公因式是4;a2b2,ab2c,ab這幾個(gè)字母部分的公因式是ab,因此整個(gè)式子的公因式是4ab.另外,還有一些多項(xiàng)式中又含有多項(xiàng)式的式子,如a(x-3)+2b(x-3),它的公因式是(x-3).這個(gè)與上面所述的方法大同小異,在此就不作贅述。如果把學(xué)到這一點(diǎn)就已理解了公因式的真諦,那就錯(cuò)了。還有一種情況,如多項(xiàng)式-24x3+12x2-28x,按照上面的理解,該多項(xiàng)式的公因式就是4x,但按照北師大版2016版的教科書的理解及一些資料如南方出版社的《學(xué)考精練》的理解,該多項(xiàng)式的公因式是-4x。
只找準(zhǔn)了公因式,還未學(xué)會(huì)如何去分解,當(dāng)然是不夠的。如何去分解呢?我們還是先從簡單的入手。如上面提到的式子分解如下:
8a2b2-12ab2c+4ab=4ab(2ab-3bc+1).
首先把公因式寫在前面,緊接著加一個(gè)括號(hào),里面就收拾原式中除去公因式后剩余的部份就行了,原先的符號(hào)不變。如:8a2b2中的8除去了數(shù)字因數(shù)4,還剩一個(gè)因數(shù)2. a2b2除去了因式ab,還剩下因式ab,因此該項(xiàng)就剩下2ab,其它項(xiàng)類同。值得一提的是:當(dāng)多項(xiàng)式中有與公因式相同的項(xiàng)時(shí),要用1去代替而不能認(rèn)為它什么都沒有了。收拾殘留時(shí),符號(hào)是不變的。如上面式子中的4ab,已全部提出去了,所以用1代替,有不少同學(xué)就錯(cuò)誤地分解如下:8a2b2-12ab2c+4ab=4ab(2ab-3bc).但若遇到前面提到過的-24x3+12x2-28x,這個(gè)多項(xiàng)式第一項(xiàng)為負(fù)的時(shí),又該如何去進(jìn)行分解呢?若一步到位地將公因式-4x提出來,那么每項(xiàng)的殘留都會(huì)涉及到符號(hào)問題,非常的不方便。這時(shí)我們可把負(fù)號(hào)先提出,各項(xiàng)變號(hào)后,就不需要再在提公因式時(shí)考慮負(fù)號(hào)了。因此該式可以這樣分解:
-24x3+12x2-28x=-(24x3-12x2+28x)
=-4x(6x2-3x+7)。
還有一種變式的公因式,可能會(huì)有一些同學(xué)所識(shí)別不出來。那就是互為相反數(shù)的式子可以形變成公因式。例如將下列各式因式分解:
(1)a(x-y)+b(y-x); (2)6(m-n)2-12(n-m)3。
我們可以不難發(fā)現(xiàn)(x-y)與(y-x)不是公因式,但他們互為相反數(shù)。同理(m-n)與(n-m)也是互為相反數(shù)。教學(xué)時(shí),我們不妨先舉個(gè)簡單顯淺的相反數(shù)形變來講解一下其中的奧妙之處。如:1的相反數(shù)是-1,1是不等于-1的。但我們?cè)俅握?1的相反數(shù),把它寫成-(-1);那么1=-(-1);這就告訴我們,我們可以通過偶數(shù)次變換相反數(shù)來獲得與原數(shù)等值的形變。因而上面兩道式子可以分解如下:
(1)a(x-y)+b(y-x)=a(x-y)-b(x-y)
=(a-b)(x-y);
(2)6(m-n)2-12(n-m)3=6(n-m)2-12(n-m)3
=6(n-m)2[1-2(n-m)]
=6(n-m)2(1-2n+2m)。
從上面兩式的分解來看,我們不難想象:如果是冪的底數(shù)互為相反數(shù),那么選擇指數(shù)為偶數(shù)的冪來進(jìn)行形變比較方便。
二、公式法分解因式
1.平方差公式。(a+b)(a-b)=a2-b2,這是整式乘法的特例公式。逆過來運(yùn)算才是分解因式:a2-b2=(a+b)(a-b)。我們不難發(fā)現(xiàn),要運(yùn)用這道公式分解因式,前提條件是:
a.這個(gè)多項(xiàng)式是由兩大項(xiàng)組成;
b.這兩大項(xiàng)必須是平方項(xiàng)或可以改寫成平方項(xiàng)。不能是部分平方而是整大項(xiàng)的平方;
c.這兩個(gè)平方項(xiàng)必須是異號(hào)的(因?yàn)楫愄?hào)才可以寫成差的形式)。
分解方法:用這兩大項(xiàng)的底數(shù)進(jìn)行相加、相減然后再把結(jié)果相乘。在教學(xué)過程中,我們應(yīng)該告誡學(xué)生切勿操之過急,胡亂套用公式。如:
25-16x2=52-(4x)2
=(5+4x)(5-4x)。
錯(cuò)例分析:
(1)m2-9n2=(m+9n)(m-9n),這是錯(cuò)誤的。
正確的答案是m2-9n2=(m+3n)(m-3n)。因?yàn)?n2這一項(xiàng)只有n在平方,而9并未加入到平方的行列。應(yīng)先將9n2變成(3n)2,這樣才符合是整項(xiàng)的平方。
(2)-x2-y2=-(x+y)(x-y),這是也錯(cuò)誤的。
在教學(xué)過程中,要提點(diǎn)學(xué)生不要以為有個(gè)-號(hào)就是差。真正的差的概念是兩項(xiàng)異號(hào)。
2.完全平方公式。(a±b)2=a2±2ab+b2,這也是整式乘法的特例公式。逆過來運(yùn)算才是分解因式:a2±2ab+b2=(a±b)2;經(jīng)觀察找規(guī)律后,我們不難發(fā)現(xiàn),要運(yùn)用這道公式分解因式,前提條件是:
a.這個(gè)多項(xiàng)式由三大項(xiàng)組成;
b.其中有兩大項(xiàng)是平方項(xiàng)且是同號(hào)的;
c.這兩大項(xiàng)底數(shù)乘積的2倍(不限正負(fù))要出現(xiàn)。
分解方法:兩底數(shù)相加或相減(原式中2倍底數(shù)積項(xiàng)是正的就相加,是負(fù)的就相減)后再平方,這種分解最后的形式一般都是括號(hào)括住后再平方的。
三、綜合化分解因式
因式分解是多變的,靈活的,有時(shí)還會(huì)是綜合的。如:x4-x2;這道式子綜合了提公因式法分解因式與運(yùn)用平方差公式法分解因式,分解如下:
x4-x2=x2(x2-1)
=x2(x+1)(x-1)
因此,我們?cè)诜纸鈺r(shí),應(yīng)當(dāng)遵守以下原則:(1)對(duì)于第一項(xiàng)為負(fù)的多項(xiàng)式,優(yōu)先考慮將負(fù)號(hào)提出(尤其是三項(xiàng)以上的);(2)能夠用提公因式法分解的,先用提公因式法分解;(3)分解之后能夠化簡的要化到最簡,分解之后還可以再進(jìn)一步分解的還要繼續(xù)分解。
綜上所述,在教學(xué)因式分解時(shí),我們就應(yīng)當(dāng)不斷地引導(dǎo)學(xué)生挖掘分解因式中所蘊(yùn)含的規(guī)律,讓學(xué)生對(duì)規(guī)律變化進(jìn)行由淺入深、循序漸進(jìn)地探討,總結(jié)出一套行之有效的方法,提高課堂教學(xué)效果。