李霞+徐鐸厚

摘 要：從核心素養(yǎng)形成的角度出發(fā)，設(shè)計并實施“多邊形及其內(nèi)角和”一節(jié)的教學(xué)，需要讓學(xué)生在思辨中形成概念，在化歸中探尋策略，在類比中突破重點，在發(fā)散中豐富智慧，以此使學(xué)生學(xué)會用數(shù)學(xué)的眼光看世界，為終身發(fā)展而學(xué)習(xí).

關(guān)鍵詞：多邊形內(nèi)角和；教學(xué)設(shè)計；構(gòu)想

“中國學(xué)生發(fā)展核心素養(yǎng)”所指向的“學(xué)生應(yīng)具備的能夠適應(yīng)終身發(fā)展和社會發(fā)展需要的必備品格和關(guān)鍵能力”的意蘊和旨趣，彰顯教師的教育智慧.數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)要從教學(xué)行為與習(xí)慣的培養(yǎng)著手.

就拿“多邊形及其內(nèi)角和”來說，不論是概念的得出，還是公式的形成，都蘊含眾多“關(guān)鍵能力”的形成要素.更進一步說，若教師舍棄“抓干的、來實的”的習(xí)慣做法，力透紙背，深入挖掘教材內(nèi)容所承載的“關(guān)鍵能力”素材，將教學(xué)按照學(xué)生的認知邏輯展開，在“去粗取精、去偽存真、由表及里、由此及彼”的過程中，達成核心素養(yǎng)指向下的學(xué)生發(fā)展目標，課堂就會充溢智慧的霞光，絢麗而多姿.

一、在思辨中形成概念

本節(jié)課涉及眾多相關(guān)概念，但“萬物生長靠太陽”，再多的概念總有源頭，這里的源頭就是“多邊形”，其關(guān)鍵點就是“多”.眾所周知，“多”與“少”是相對的，此刻就需要教師指導(dǎo)學(xué)生認識“多”與“少”的辯證關(guān)系.多邊形是新學(xué)內(nèi)容，多到什么程度暫且不論，但“少”要少到什么程度呢？這就牽扯概念中的另一個關(guān)鍵字“邊”.本節(jié)課是從“邊”的多少出發(fā)研究圖形，無邊不成形，因此，從理論上講，邊（亦即線段）的數(shù)量最少是1，可以是2，學(xué)生也學(xué)過邊數(shù)為3的三角形和邊數(shù)為4的四邊形.邊數(shù)為1和2時，是開放式圖形，屬于“線段（直線、射線）”和“角”，三角形、四邊形等才屬于“多邊形”意義下的“形”.從“少”出發(fā)，學(xué)生就會發(fā)現(xiàn)：多邊形中的“邊”，是線段；多邊形是封閉圖形；邊數(shù)最少的多邊形是三角形.

從“多”出發(fā)，學(xué)生就會發(fā)現(xiàn)，隨著邊數(shù)的增加，多邊形中的一些元素也會發(fā)生一些變化：頂點增加；內(nèi)角的個數(shù)增加；內(nèi)角和會發(fā)生怎樣的變化？有沒有規(guī)律可循？（此時，學(xué)生的經(jīng)驗是三角形的內(nèi)角和為180°，四邊形的內(nèi)角和為360°）由內(nèi)及外，那外角和會發(fā)生怎樣的變化？到此，又會牽扯出另一個問題：當多邊形的邊數(shù)無窮多時，多邊形會發(fā)生什么樣的變化？相關(guān)的要素又會發(fā)生怎樣的變化？顯然，這樣的思考又是形成和發(fā)展極限思想的良好素材.

這樣展開的教學(xué)，對學(xué)生發(fā)展來說因嵌入了學(xué)生的思考與發(fā)現(xiàn)，會比單純按照學(xué)科邏輯（逐一交代概念）展開更使學(xué)生興趣盎然.如果給予學(xué)生預(yù)習(xí)、討論等“自由”的時間足夠長，抑或是讓每一個學(xué)生都把自己獨立而獨特的思考展示出來，說不定還能在凸多邊形與凹多邊形的比較中有更多的發(fā)現(xiàn)，求異思維的能力也會順勢得以培養(yǎng).

有了這樣的思考，學(xué)生理解教材中的多邊形的概念及其相關(guān)內(nèi)容——“在平面內(nèi)，由一些線段首尾順次相接組成的封閉圖形叫作多邊形.多邊形按組成它的線段的條數(shù)分為三角形、四邊形、五邊形、六邊形……由n條線段組成的多邊形就叫作n邊形”，就會更透徹.同樣，多邊形的角——內(nèi)角、外角——連同內(nèi)角和、外角和以及正多邊形、多邊形的對角線等，也不會存在理解的難度了.此處不再贅述.

二、在化歸中探尋策略

從上述分析可以看出，三角形是邊數(shù)最少的多邊形，隨著邊數(shù)的增多，相關(guān)要素都會發(fā)生變化.從變化的觀點出發(fā)，有兩種可能：有規(guī)律的變化和無規(guī)律的變化.這就會生發(fā)“多邊形的內(nèi)角和與邊的數(shù)量”之間存有什么樣的關(guān)系的思考.對于這樣的問題，學(xué)生可能會有無從下手的思維癥結(jié)，就需要從思維的角度出發(fā)，找到突破的辦法.從思維角度來講，不論哪個學(xué)科，哪個領(lǐng)域，遇到復(fù)雜問題的時候，都會采用“復(fù)雜問題簡單化”這一策略.在科學(xué)實驗中經(jīng)常運用的“控制變量法”，就是將復(fù)雜問題簡單化處置的典型.面對“多邊形”這一復(fù)雜問題，就要思考“最簡單的多邊形是什么圖形”.前已述及，三角形就是最簡單的多邊形.這就找到了破解多邊形相關(guān)問題的思維原點——三角形，這也是解決問題的出發(fā)點，由此引發(fā)學(xué)生去思考“如何將多邊形變?yōu)槿切巍钡膯栴}.

三、在類比中突破重點

從三角形出發(fā)考慮多邊形問題，就要找到多邊形轉(zhuǎn)化為三角形的辦法.其實，學(xué)生在這之前已經(jīng)接觸到解決這一問題辦法，那就是求四邊形內(nèi)角和時所采用的“通過連接對角線將一個四邊形變?yōu)閮蓚€三角形”，用這種類比的思想，不難發(fā)現(xiàn)，把四邊形的對角線一連，就會出現(xiàn)兩個三角形，那四邊形的內(nèi)角和就是兩個三角形的內(nèi)角和，即360°；對于五邊形，可以通過連接對角線的方式，變?yōu)槿齻€三角形，其內(nèi)角和就是540°；以此類推，個數(shù)有限的多邊形，其內(nèi)角和的度數(shù)是可以計算出來的.從以上解決方式可以看出，“對角線”以及通過連接對角線而形成的“三角形”，就是解決多邊形內(nèi)角和問題的關(guān)鍵，對角線則是撬動多邊形內(nèi)角和問題的支點.

有了以上分析作鋪墊，再讓學(xué)生完成表1中的要求，學(xué)生自然興趣盎然.

當學(xué)生完成這個表格后，多邊形內(nèi)角和的公式也就得到了：n邊形的內(nèi)角和等于（n-2）×180°.

四、在發(fā)散中豐富智慧

一個問題的解決，不會只有一個辦法，否則，就不會有“條條大路通羅馬”之說.唯有從多個角度探尋解決同一個問題的辦法，學(xué)生的思維才能發(fā)散開來，并不斷促使學(xué)生窮盡思維，進而理順思維，優(yōu)化思維，實現(xiàn)由解決一個問題向解決一類問題的突變，達到思維躍遷、智慧豐富之目的，生發(fā)不斷創(chuàng)新的力量.

前述方法是從對角線出發(fā)，找到了一個解決多邊形內(nèi)角和的辦法，再探尋其他辦法，又應(yīng)該如何思考呢？這還要回到幾何圖形的構(gòu)成要素上尋找突破.

構(gòu)成幾何圖形的基本要素，無非就是點、線、面.有的要素一目了然，比如，多邊形中的邊、頂點，有的要素則隱含在圖形中，需要思考才能找到，比如剛才用過的對角線，類似的還有一些圖形的高、角平分線、中線等等.上述解決問題的過程中，就是從多邊形的一個頂點出發(fā)，在不相鄰的另一個頂點間畫出對角線，從而化歸到三角形而找到了解決問題的支點.如此，同樣從“點”這一思考原點出發(fā)，只是改變“點”的原始位置，比如，選擇一條邊的任意一個點構(gòu)造出三角形，或者在多邊形內(nèi)（外）任意一個點構(gòu)造三角形，都不失為可以采用的辦法.這樣，原來的“固定點”就會變?yōu)椤耙苿狱c”“任意點”，而中考題中的重頭戲，也往往如此選擇.限于篇幅，簡述如下：

方法二：在n邊形的一邊上任取一點，把這一點與各頂點聯(lián)結(jié)，把n邊形分割為（n-1）個三角形，這些三角形的內(nèi)角和比n邊形的內(nèi)角和多出了一個平角，因此，n邊形的內(nèi)角和=（n-1）×180°-180，即為：（n-2）×180°.

方法三：在n邊形內(nèi)任取一點，然后把這一點與各頂點聯(lián)結(jié)，將n邊形分割為n個三角形，這n個三角形的內(nèi)角和比n邊形的內(nèi)角和恰好多了一個周角360°，因此n邊形的內(nèi)角和=180°×n-360°，即為：（n-2）×180°.

方法四：在n邊形外任取一點，然后把這一點與各頂點聯(lián)結(jié)，將n邊形分割為n個三角形，這n個三角形的內(nèi)角和比n邊形的內(nèi)角和恰好多出了兩個三角形內(nèi)角和，因此n邊形的內(nèi)角和=n×180°-2×180°，即為：（n-2）×180°.

形成了這樣的思維習(xí)慣，學(xué)生在今后的學(xué)習(xí)、工作、生活中，也會主動尋求“由靜到動”“由此及彼”的途徑，豁然開朗的就不僅是學(xué)習(xí)過程，會更多地表現(xiàn)在人生的幸福中.

從以上分析可以看出，本節(jié)內(nèi)容涉及眾多利于學(xué)生核心素養(yǎng)發(fā)展的要素，諸如對立統(tǒng)一、量變質(zhì)變、有限與無限、個性與共性、一般與特殊、絕對與相對等，都極富哲學(xué)意味，若一一展開，必定是一幅幅美麗的風(fēng)景.

從核心素養(yǎng)形成的角度來說，學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的一個重要目的是要學(xué)會數(shù)學(xué)的思考，用數(shù)學(xué)的眼光去看世界.這就需要教師在數(shù)學(xué)教學(xué)中應(yīng)當從邏輯的、歷史的、關(guān)系的等方面去展開，以“提出目標，創(chuàng)設(shè)情境，設(shè)計環(huán)節(jié)，窮極思維，形成技能，造就智慧”為終極追求，奠定學(xué)生終身發(fā)展的良好基礎(chǔ).

可見，充溢著思辨的學(xué)習(xí)，不僅有茍且，還有詩和遠方！