等比累進(jìn)還款法與等額累進(jìn)還款法的數(shù)學(xué)模型

朱江紅

(滄州師范學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，河北滄州061001)

等比累進(jìn)還款法與等額累進(jìn)還款法的數(shù)學(xué)模型

朱江紅

(滄州師范學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，河北滄州061001)

利用金融數(shù)學(xué)中的年金理論建立了等比累進(jìn)還款法和等額累進(jìn)還款法的數(shù)學(xué)模型，根據(jù)數(shù)學(xué)模型編制了這兩種還款方法的excel計(jì)算器，并分析了這兩種還款方式的優(yōu)缺點(diǎn).這有助于借款人做出最佳的還款決策.

年金；還款法；數(shù)學(xué)模型

在生活中貸款消費(fèi)方式逐漸被老百姓所接受.在我國(guó)常見(jiàn)貸款還款方式有一次性還本付息法、等額本息還款法、等額本金還款法，在文章[1]中給出了它們的數(shù)學(xué)模型并對(duì)其進(jìn)行了分析比較.除了上述常見(jiàn)的三種還款方式之外，國(guó)際上通用的還有等比累進(jìn)還款法、等額累進(jìn)還款法，這兩種還款方式雖然在我國(guó)較少被銀行所采用，但是在個(gè)人貸款業(yè)務(wù)開(kāi)展興旺的國(guó)家卻是十分通行的兩種消費(fèi)信貸還款方式.本文利用金融數(shù)學(xué)中的年金理論建立了等比累進(jìn)還款法和等額累進(jìn)還款法的數(shù)學(xué)模型，并分析了這兩種還款方式所適合的人群.

1 相關(guān)預(yù)備知識(shí)

1.1 總量函數(shù)

在一般的金融活動(dòng)中常見(jiàn)的模式是：某一方先投資一定量的貨幣于某種業(yè)務(wù)，這先投資的一定量的貨幣稱(chēng)之為本金或原始投資，記為A(0).原始投資A(0)經(jīng)過(guò)一段時(shí)間t的運(yùn)作后會(huì)達(dá)到一個(gè)新的價(jià)值A(chǔ)(t).這是關(guān)于時(shí)間t的函數(shù)，稱(chēng)之為總量函數(shù).

1.2 實(shí)際利率

實(shí)際利率是指單位本金在單位時(shí)間(可以是一年，半年，一個(gè)季度，一個(gè)月，一天等)內(nèi)所賺取的利息，用符號(hào)i表示.

某項(xiàng)投資期的第t個(gè)計(jì)息期的實(shí)際利率為：

1.3 名義利率

1.4 年金

年金是相等時(shí)間間隔的一列的收付款項(xiàng).時(shí)間間隔可以是一年、半年、一個(gè)季度、一個(gè)月等等[2](P40).年金按不同的標(biāo)準(zhǔn)可以進(jìn)行不同的分類(lèi)，如年金按在每個(gè)給付周期的期初給付還是期末給付分為期初付年金和期末付年金.

1.5 現(xiàn)值與終值

由于貨幣是有時(shí)間價(jià)值的，所以相同數(shù)額的貨幣在不同的時(shí)刻具有不同的價(jià)值.為了實(shí)現(xiàn)貨幣在不同時(shí)刻的可比性，引入現(xiàn)值與終值的概念.

現(xiàn)值是未來(lái)某一時(shí)刻的一定數(shù)量貨幣值在現(xiàn)在時(shí)刻的價(jià)值.終值是現(xiàn)在時(shí)刻的一定數(shù)量貨幣值在未來(lái)某一時(shí)刻的價(jià)值.

1.6 期末付、n年定期單位年金

期末付、n年定期單位年金就是每年末付1元，共付n年，若每年實(shí)際利率為i,用a?n，s?n分別表示該年金的現(xiàn)值與終值,該年金的時(shí)間流程圖如圖1所示.

圖1 年金的時(shí)間流程圖

該年金的現(xiàn)值為：a?n=v+v2+v3+…+vn-1+vn.

該年金的終值為：s?n=(1+i)n-1+(1+i)n-2+…+(1+i)+1.

利用等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式得期末付、n年定期單位年金的現(xiàn)值與終值公式分別為

年金的時(shí)間單位也可以為月、季度等等，例如一般每月還貸款就可以看成期末付、定期年金.

2 等比累進(jìn)還款法與等額累進(jìn)還款法

2.1 等比累進(jìn)還款法

2.1.1 等比累進(jìn)還款法定義

等比累進(jìn)還款法就是將整個(gè)還款期按一定的時(shí)間段劃分，每個(gè)時(shí)間段比上一時(shí)間段多(少)還約定的固定比例，但每個(gè)時(shí)間段內(nèi)每月須以相同的償還額歸還貸款本息的一種還款方式.

2.1.2 等比累進(jìn)還款法數(shù)學(xué)模型

第二段借款人每個(gè)月的還款可以看成延期K個(gè)月的K個(gè)月期的期末付年金，每個(gè)月的還款額為P2=P1q，此年金在貸款時(shí)刻的現(xiàn)值為：P1qvKa?K.

第三段借款人每個(gè)月的還款可以看成延期2K個(gè)月的K個(gè)月期的期末付年金，此年金在貸款時(shí)刻的現(xiàn)值為：P1q2v2Ka?K.

……

第L段借款人每個(gè)月的還款可以看成延期(L-1)K個(gè)月的K個(gè)月期的期末付年金，此年金在貸款時(shí)刻的現(xiàn)值為：P1qL-1v(L-1)Ka?K.

根據(jù)平衡原理得：這L個(gè)年金在貸款時(shí)刻的現(xiàn)值之和為A(0).

P1a?K+P1qvKa?K+P1q2v2Ka?K+…+P1qL-1v(L-1)Ka?K=A(0)

(1)

Pi=P1qi-1,(i=1,2,…,L).

(2)

根據(jù)公式(1)與(2)，可以利用Excel計(jì)算每個(gè)時(shí)間段內(nèi)每個(gè)月的還款額.

例1 一購(gòu)房者向銀行貸款20萬(wàn)元，貸款期10年，貸款年利率為i(12)=4.9%，他選擇“等比累進(jìn)還款法”，2年為一個(gè)周期，每一個(gè)周期的月付款比上一個(gè)周期月付款上浮50%，求每個(gè)周期內(nèi)月還款額以及總的還款額為多少元？

據(jù)公式(1)和(2)得五個(gè)周期內(nèi)每月的還款額分別為：

P1=863.51，P2=1295.26，P3=1942.90，P4=2914.35，P5=4371.52.

總還款額為：273300.89元，如表1所示.

表1 excel等比累進(jìn)還款法計(jì)算

2.2 等額累進(jìn)還款法

2.2.1 等額累進(jìn)還款法定義

等額累進(jìn)還款法也稱(chēng)等額遞增(減)還款法，其與“等比累進(jìn)還款法”類(lèi)似，就是將整個(gè)還款期按一定的時(shí)間段劃分，每個(gè)時(shí)間段每個(gè)月比上一時(shí)間段每個(gè)月多(少)還約定的固定額度，同樣在每個(gè)時(shí)間段內(nèi)每月須以相同的償還額歸還貸款本息的一種還款方式.

2.2.2 等額累進(jìn)還款法數(shù)學(xué)模型

第二段借款人每個(gè)月的還款可以看成延期K個(gè)月的K個(gè)月期的期末付年金，每個(gè)月的還款額為P2=P1+d，此年金在貸款時(shí)刻的現(xiàn)值為：(P1+d)vKa?K.

第三段借款人每個(gè)月的還款可以看成延期2K個(gè)月的K個(gè)月期的期末付年金，每個(gè)月的還款額為P3=P1+2d，此年金在貸款時(shí)刻的現(xiàn)值為：(P1+2d)v2Ka?K.

……

第L段借款人每個(gè)月的還款可以看成延期(L-1)K個(gè)月的K個(gè)月期的期末付年金，每個(gè)月的還款額為PL=P1+(L-1)d，此年金在貸款時(shí)刻的現(xiàn)值為：[P1+(L-1)d]v(L-1)Ka?K.

根據(jù)平衡原理，這L個(gè)年金在貸款時(shí)刻的現(xiàn)值之和為A(0).

P1a?K+(P1+d)vKa?K+(P1+2d)v2Ka?K+…+[P1+(L-1)d]v(L-1)Ka?K=A(0)

P1a?K[1+vK+v2K+…+v(L-1)K]+da?K[vK+2v2K+…+(L-1)v(L-1)K]=A(0)

P1(1-vLK)(1-vK)+d[vK-LvLK+(L-1)v(L+1)K]=A(0)i(1-vK)

(3)

Pi=P1+(i-1)d>0,(i=1,2，…，L)

(4)

根據(jù)公式(3)與(4)可以利用Excel計(jì)算每個(gè)時(shí)間段內(nèi)每個(gè)月的還款額.

例2 一購(gòu)房者向銀行貸款20萬(wàn)元，貸款期10年，貸款年利率為i(12)=4.9%，他選擇“等額累進(jìn)還款法”，2年為一個(gè)周期，每一個(gè)周期的月付款比上一個(gè)周期月付款多100元，求每個(gè)周期內(nèi)月還款額以及總的還款額為多少元？

據(jù)公式(3)(4)得：

P1=1931.03，P2=2031.03，P3=2131.03，P4=2201.03，P5=2331.03.

總還款額為255723.29元,如表2所示.

表2 excel等額累進(jìn)還款法計(jì)算

3 總結(jié)

等比累進(jìn)還款法與等額累進(jìn)還款法由于目前在我們國(guó)家貸款業(yè)務(wù)中不太常用，這兩種還款方法主要適用于未來(lái)收入預(yù)期有較大變動(dòng)(或逐漸增多，或逐漸減少)的人群，例如新婚夫婦和開(kāi)始創(chuàng)業(yè)的年輕人預(yù)計(jì)未來(lái)收入有較大提高，可以采用q>1的等比累進(jìn)還款法或d>0的等額累進(jìn)還款法；再例如年長(zhǎng)的人們?nèi)纛A(yù)計(jì)未來(lái)收入有所減少，則可以采用q<1的等比累進(jìn)還款法或d<0的等額累進(jìn)還款法.可以根據(jù)個(gè)人情況來(lái)設(shè)定q或d的值，還款段數(shù)L、q或d的值不同直接影響著每一個(gè)周期內(nèi)月還款額.

[1] 朱江紅.關(guān)于不同還貸方式的數(shù)學(xué)模型研究[J].滄州師范學(xué)院學(xué)報(bào)，2016，(1)：20-23.

[2] 熊福生，沈治中.壽險(xiǎn)精算基礎(chǔ)[M].武漢：武漢大學(xué)出版社，2006.

[責(zé)任編輯：劉秀敏]

Mathematical Models of Graduate Payment Mortgage and Constant Progressive Mortgage

ZHU Jiang-hong

(College of Mathematics and Statistics, Cangzhou Normal University, Cangzhou, Hebei 061001, China)

This paper establishes mathematical models of graduate payment mortgage and constant progressive mortgage based on annuity theory of financial mathematics, works out excel calculators for the two methods of payment according to mathematical models, and clarifies their advantages and disadvantages. It is expected to help the borrower to make the best decision of repayment.

annuity; repayment; mathematical model

2016-12-23

朱江紅(1969-)，女，河北保定人，滄州師范學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院副教授，研究方向：金融數(shù)學(xué)、基礎(chǔ)數(shù)學(xué).

F832.4

A

2095-2910(2017)02-0006-04