汕頭市潮陽區(qū)棉光中學(515100) 黃桂南

空間向量在立體幾何中的應用

汕頭市潮陽區(qū)棉光中學(515100) 黃桂南

向量進入高中數(shù)學教材,為用代數(shù)方法研究幾何問題提供了強有力的工具,促進了高中幾何的代數(shù)化.向量是幾何的,又是代數(shù)的,可以直接描述、想象、替代立幾中的點、線、面等對象,又可以通過向量的計算,對它進行加、減、乘、數(shù)乘、數(shù)量積,豐富了立體幾何的運算模式,使立體幾何中的抽象概念有了具體的形式,讓學生可以更直觀地觀察到立體幾何中各種位置關系的性質,能更加深刻理解立體幾何中的定理,有利于學生突破空間向量想象力薄弱的學習難點,同時以運算為載體,發(fā)揮空間想象力就可以對立體幾何中的角度、距離問題進行實際運算與演繹.這就為空間想象能力較弱的學生解題提供了新的出路,降低了其學習的難度,提高了學生的學習興趣.

立體幾何是高中數(shù)學的重點和難點之一,很多學生一提到立體幾何就會“談虎色變”,教師也普遍認為立體幾何教學是吃力不討好的事.向量法正是解決這一現(xiàn)實問題的行之有效的方法.立體幾何的計算和證明常常涉及到二大問題:一是位置關系,它主要包括線線垂直,線面垂直,線線平行,線面平行;二是度量問題,它主要包括點到線、點到面的距離,線線、線面所成角,面面所成角等.其中比較多的主要是用向量證明線線、線面垂直及計算空間角與空間距離.下面我主要就近年國卷高考題來舉例其應用,希望能起到一個拋磚引玉的作用.

一、建立坐標系的常用方法

我們通過一個高考試題的立幾問題的例子總結建立空間直角坐標系的一般方法.

例1(2015高考新課標 1,理 18)如圖,四邊形ABCD為菱形,∠ABC=120?,E,F 是平面ABCD同一側的兩點,BE⊥平面ABCD,DF⊥平面ABCD,BE=2DF,AE⊥EC.

圖1

(1)證明:平面AEC⊥平面AFC

(2)求直線AE與直線CF所成角的余弦值.

試題分析理數(shù)第二問一般考查角度問題,多用空間向量解決,關鍵是正確建系.本題正是利用“菱形對角線互相垂直”找到底面直角建系.

圖2

(I)連接BD,設BD∩AC=G,連 接 EG,FG,EF,在菱形ABCD 中,不 妨設GB=1易證EG⊥AC,通過計算可證EG⊥FG,根據(jù)線面垂直判定定理可知EG⊥平面AFC,由面面垂直判定定理知平面AFC⊥平面AEC.(也可以先建空間直角坐標系由兩個平面的法向量互相垂直去證明兩個平面垂直.)

建系原則遵循“右手原則”,如下圖用常見正方體舉例.

圖3

1)直接運用現(xiàn)有的垂直關系建系,如正方體、長方體、直棱柱等.

2)利用性質關系建系,如等腰三角形、菱形對角線、正棱錐等.

3)利用題中的已知條件建系,如點在平面內的射影在某條直線上.

4)若沒有以上三種關系,則先確定底面“直角”,再建系.

總之,一定要選取適當?shù)淖鴺嗽c及坐標軸,使得數(shù)值計算更簡潔,有利于提高解題效率.

二、應用空間向量求解立體幾何中的空間角問題

1．求異面直線所成的角

分別在直線m,n上取兩個定向量a,b,則異面直線m,n所成的角β等于向量a,b所成的角或其補角θ,則cosβ =|cosθ|=特殊情形:a⊥b ?? a·b=0,即異面直線a垂直于b.

例2(2014新課標2,理11)直三棱柱ABC?A1B1C1中,∠BCA=90?,M,N 分別是 A1B1,A1C1的中點,BC=CA=CC1,則BM與AN所成的角的余弦值為( )

解析以C為原點,直線CA為x軸,直線CB為 y軸,直線 CC1為 z軸,則設 CA=CB=1,則B(0,1,0),M,故=所 以 cos=,故選C.

評注應用空間向量法解此類題避開了作平移及復雜的邏輯推理.

2．求直線與平面所成的角

圖4

例3(2013新課標1,理18)如圖,三棱柱 ABC?A1B1C1中,CA=CB,AB=AA1,∠BAA1=60?.

圖5

(I)證明AB⊥A1C;

(II)若平面ABC⊥平面AA1B1B,AB=CB,求直線A1C與平面BB1C1C所成角的正弦值.

解析(1)取AB的中點O,連接OC、OA1、A1B,因為CA=CB,所以 OC⊥AB,由于 AB=AA1,∠BAA1=60?,故△AA1B為等邊三角形,所以OA1⊥AB,所以AB⊥平面OA1C,因為A1C?平面OA1C,所以AB⊥平面A1C;

圖6

(2)由 (1)知 OC⊥AB,OA1⊥AB,又 平 面 ABC⊥ 平面,故OA,OA1,OC兩兩相互垂直.以O為原點,OA為x軸,OA1為 y軸,OC 為 z軸,為單位,建立如圖所示的空間直角坐標系O?xyz.由題設知A(1,0,0),(x,y,z)為平面BB1C1C的法向量,則,即所以n=設直線A1C與平面BB1C1C所成角為α則:sinα所以直線A1C與平面BB1C1C所成角的正弦值

評注找直線的方向向量與平面的法向量,轉化為向量的夾角問題,注意線面角與兩向量所在直線夾角互余.

3．求二面角

圖7

圖8

方法一構造二面角α?l?β的兩個半平面α,β的法向量n1,n2(都取向上的方向,如圖7所示),則

①若二面角α?l?β是“鈍角型”的如圖8,那么其大小等于兩法向量的夾角的補角,即cosθ=

②若二面角α?l?β是“銳角型”的如圖9,那么其大小等于兩法向量的夾角,即cosθ=

圖9

方法二在二面角的棱l上確定兩個點A,B,過A,B分別在平面α,β內求出與l垂直的向量n1,n2,則二面角α?l?β的大小等于向量n1,n2的夾角,即cosθ=

說明通過法向量的方向來求解二面角,兩個法向量的方向是“一進一出”,所求的二面角的平面角就等于兩法向量的夾角,如果是“同進同出”,所求的二面角的平面角就等于兩法向量的夾角的補角.

以上方法在處理二面角是銳角還是鈍角問題時,可能會遇到方向判斷困難問題,所以在計算之前不妨先依題意直觀判斷一下所求二面角的大小,然后根據(jù)直觀圖取“相等角”或取“補角”.

以上方法在處理二面角問題時,可能會遇到二面角的具體大小問題,所以在計算之前不妨先依題意直觀判斷一下所求二面角的大小,然后根據(jù)計算取“相等角”或取“補角”.

例4(2016新課標1,理18)如圖,在以A,B,C,D,E,F為頂點的五面體中,面ABEF為正方形,AF=2FD,∠AFD=90?,且二面角D?AF?E與二面角C?BE?F都是60?.

圖10

(I)證明:平面ABEF⊥平面EFDC;(II)求二面角E?BC?A的余弦值.

解 (I)由已知可得AF⊥DF,AF⊥FE,所以AF⊥平面EFDC.又AF?平面ABEF,故平面ABEF⊥平面EFDC.

圖11

(II)過 D 作 DG⊥EF,垂足為G,由(I)知DG⊥平面ABEF.以 G 為坐標原點,的方向為x 軸正方向,為單位長,建立如圖所示的空間直角坐標系G?xyz.由(I)知∠DFE為二面角 D?AF?E的平面角,故 ∠DFE=60?,則 |DF|=2,|DG|=3,可得 A(1,4,0),B(?3,4,0),E(?3,0,0),D.由已知,AB//EF,所以AB//平面EFDC.又平面ABCD∩平面EFDC=DC,故AB//CD,CD//EF.由 BE//AF,可得 BF⊥平面 EFDC,所以∠CEF為二面角C?BE?F的平面角,∠CEF=60?.從而可得√設 n=(x,y,z)是平面BCE的法向量,則可取n=.設m是平面ABCD的法向量,則,同理可取m=.如圖二面角的平面角為鈍角,則cos?n,m?=.故二面角E?BC?A的余弦值為

例 5(2014新 課標1,理19)如圖三棱柱 ABC?A1B1C1中,側面BB1C1C為菱形,AB⊥B1C.

圖12

(I)證明:AC=AB1;

(II)若AC⊥AB1,∠CBB1=60?,AB=BC,求二面角A?A1B1?C1的余弦值.

證明(I)連接BC1,交B1C于點O,連接AO,因為側面BB1C1C為菱形,所以B1C⊥BC1,且O為B1C及BC1的中點.AB⊥B1C,所以B1C⊥平面ABO.由于AO?平面ABO,故B1C⊥AO.又 B1O=CO,故AC=AB1.

圖13

(II)因為AC⊥AB1,且O為B1C的中點,所以AO=CO.又因為AB=BC,所以△BOA ～= △BOC,故 OA⊥OB,從 而OA,OB,OB1兩兩相互垂直以O為坐標原點,OB為x軸,OB1為 y軸,OA 為 z軸,|??→OB|為單位長度,建立如圖所示的空間直角坐標系O?xyz.因為∠CBB1=60?,所以△CBB1為等邊三角形.又AB=BC,則A設n=(x,y,z)是平面AA1B1的法向量,則即所以可取n=.設m是平面A1B1C1的法向量,則同理可取 m=如圖二面角的平面角為銳角,則cos?n,m?=.所以二面角A?A1B1?C1的余弦值為

評注 1)應用空間向量法解此類題避開了找二面角的平面角及復雜的邏輯推理,只須求出兩個半平面的兩個法向量,應用向量內積即可求二面角.所以求二面角的關鍵在于找到兩個半平面各自的一個法向量,在利用公式即可.

2)大多數(shù)情況下,兩個半平面的兩個法向量n1,n2一個是顯向量,一個是隱向量.顯向量可直接寫結果,而隱向量需要求.

3)如果能用常規(guī)法較容易求出二面角的平面角,則用常規(guī)法求解.

異面直線所成的角、直線與平面所成的角和二面角是立體幾何中空間角的三種類型.傳統(tǒng)綜合推理法的三步是“作— 證— 算”,但作這幾個角的過程對空間想象能力和邏輯推理能力的要求比較高,而利用向量法解此類問題就可以避開抽象、復雜地尋找角的過程.只要能夠熟練應用公式,就可以避煩就簡,從而順利地解決問題.

三、應用空間向量求解立體幾何中的空間距離問題

1．點到點、點到線的距離

2．求點到平面的距離(推廣到線面、面面之間的距離)

圖14

方法如圖,易知:點P到平面 α的距離 d=cosθ,而 cosθ=,所以 d=其中n是平面α的一個法 向 量,是 平 面 α 的 斜 向 量 則點P到平面α的距離d等于在n上的射影長,即點P到平面α的距離為:

例6如圖,在三棱椎P?ABC中,平面ABC,D,E,F分別是棱 AB、BC、CP的中點,AB=AC=1,PA=2,

(I)求直線PA與平面DEF所成角的大小;

圖15

(II)求點P到平面DEF的距離.

評注求點到平面的距離,關鍵是找到平面的法向量及這點與平面內一點構成的向量.我們利用這公式,不僅可解決點到平面的距離,還可推廣到直線與平面的距離,平行平面間的距離問題.

3．求異面直線距離

方法如圖,d是異面直線a與b的距離,是直線a與b的一個法向量A、B分別是直線a,b上的點,顯然:又 cosθ =,所以 d=

圖16

例7如圖,在正三棱柱A1B1C1?ABC中,D,E分別是棱 BC、CC1的中點,AB=AA1=2,求異面直線AB1與BE的距離.

圖17

解如圖建立空間直角坐標系設n=(x,y,z)是AB1與BE的法向量,又因為=,可得:則取 y=3,可知n=(0,0,2),所以 d=

評注求異面直線的距離,關鍵在于求出異面直線的一個公共法向量和與兩異面直線相交的線段的向量.

四、向量法解決立體幾何問題的步驟

用向量法解決立體幾何問題的方式有兩種:一是直接用向量的代數(shù)式運算,二是用向量的坐標運算.一般來說,向量的坐標運算,思維量更少,運算技巧更低,更容易掌握,因此這也是我們常用的向量方法.若所給圖形不容易建立空間直角坐標系,我們也可以用向量的代數(shù)式運算來解決問題,但其技巧性相對較高,對學生邏輯推理能力的要求也提高了.用向量坐標運算解題步驟:

(1)建立空間直角坐標系.注意盡可能用已經存在的過同一個點的兩兩垂直的三線,如果沒有三線,也盡量找兩線垂直,然后作出第三線和兩線垂直,按右手系建立坐標系.注意所寫點的坐標要與所建立的坐標系相一致.

(2)寫出需要用到的點的坐標.注意要仔細再仔細,此步若錯,全題皆錯.

(3)寫出所要用到的向量坐標.注意必須終點坐標減始點坐標.

(4)通過計算解決具體問題.注意公式要記對,運算要仔細.

向量在立體幾何中的應用為我們解決立體幾何問題提供了新的解題思路和方法,打破了傳統(tǒng)解法“一作、二證、三計算”的模式,突破了傳統(tǒng)解法中“添置輔助線”的難點,將立體幾何中“形”的問題轉化為“數(shù)”的問題,開創(chuàng)了解決立體幾何問題的新模式.

五、“向量法”在立體幾何教學中的教學策略

(1)強化空間向量的教學

向量運算可以有效地將代數(shù)問題和幾何問題進行相互轉化,實現(xiàn)數(shù)與形的統(tǒng)一,是數(shù)形結合的典型,從而解決相關立體幾何問題,“向量法”作為解決立體幾何問題有效工具,尤其是那些綜合性較強的題型,利用“向量法”可以很好地將問題轉化,在立體幾何問題中運用向量運算避免學生對圖形的邏輯思考,從而降低學生對立體幾何圖形的空間想象難度.

教師通過強化對學生的“向量法”教學,可以幫助學生就數(shù)與形的關系建立正確的認識,體驗立體幾何圖形的創(chuàng)造過程,利用代數(shù)方法處理幾何圖形的問題,塑造學生數(shù)形統(tǒng)一的思想方法,學生可以通過向量的運算,進而揭示立體幾何圖形之間的數(shù)量關系,解決立體幾何問題.

(2)加深學生對公式的理解

“向量法”運算公式很多是和學生之前學習的知識有很大區(qū)別的,學生對這些“變形”公式比較陌生,因為對公式不熟悉,很多學生都是死記硬背,很可能對公式的遺忘,這樣在運用過程中就會出現(xiàn)很大的問題,這對應用“向量法”是非常不利的.因此在教學中,教師應盡可能地加深學生對公式的理解,讓學生知道向量公式的來源,公式怎么用等,構建向量知識的內在聯(lián)系以及向量和其他知識點的聯(lián)系,讓學生形成對“向量法”公式的理解記憶,時而靈活運用公式.

(3)對比綜合法與向量法的利弊

綜合法-不使用其他工具,對幾何元素及其關系直接進行討論.其優(yōu)點是注重培養(yǎng)學生的空間想象能力、邏輯推理能力以及轉化化歸的數(shù)學思想.缺點是有時解決問題時的技巧性過強,而且沒有一般規(guī)律可循,常常讓學生感覺“高不可攀”,從而“望而卻步”.

向量法-以向量和向量的運算為工具,對幾何元素及其關系進行討論.其優(yōu)點是注重培養(yǎng)學生的數(shù)形結合、轉化化歸的數(shù)學思想以及代數(shù)計算能力的同時也使立體幾何問題的解決過程變得數(shù)量化、程序化,易于學生學習.缺點是計算量相對較大,對于計算能力較弱的學生,很容易算錯.

如果學生在解決立體幾何問題時,能夠具體情況具體分析,將綜合法與向量法這兩種方法綜合運用,那樣將會使得立體幾何問題得到更完美的解決.

六、教學實踐成果

在課題研究過程中,我們以教師自編教、學案的模式,分別在兩個研究階段共開設了16節(jié)公開課、觀摩課,針對2016年的全國卷備考方向,以立體幾何中的“三大角度”求解為主要核心內容,開展教學實踐研究,其中同時對高二理科兩個教學班開展“同課異構”對比式的教學實驗,在教學實踐中進一步驗證研究的理論成果.通過對比式教學模式及課后的教學效果反饋,我們發(fā)現(xiàn),高二理科實驗班在使用了“向量法”的教學后,相比普通班的“綜合法”教學,實驗班的學生學習興趣、學習效果有明顯的提高,成績的優(yōu)秀率達到30%,明顯優(yōu)于普通班.另一方面,“學案”為輔助的課堂教學使學生的學習方式得到了較大的轉變,增強了學生學習的主動性,提高了學生的學習興趣及數(shù)學運用意識,逐漸地學會用“向量法”解決“三大角度”問題的方法,并將“向量法”作為解決相關問題的工具.

綜上所述,借助空間向量作為解題工具,解決高中數(shù)學立體幾何中的空間角,空間距離的問題,顯然與傳統(tǒng)法相比有明顯的優(yōu)勢,從學生的學習效果來看,學生較易于接受其解題原理,從根本上可以幫助學生克服空間想象力較弱的困難,但它也對學生的計算能力也需要有較高的要求,因此,在常規(guī)的課堂教學過程中,在鞏固學生對空間向量概念的理解的基礎上,必須通過有效的訓練逐步提高學生的計算能力.向量確實是解決立體幾何、解析幾何強有力的工具.所以在整個高中的數(shù)學學習中,如能學會用向量方法處理數(shù)學問題,這不僅可使相應問題的解法簡潔漂亮、獨特、一題多解,而且反復的應用能幫助學生深入理解向量概念,熟練掌握向量的運算,更能叢中學到數(shù)形結合、轉化變形等重要的數(shù)學思想,能明顯減輕學生和教師的負擔.

因此,向量是解決立體幾何問題的實用工具.

[1]林沛玉.運用向量的數(shù)量積解幾何題[J].中學數(shù)學研究,2005(5)

[2]謝朝軍.平面的法向量及其應用[J].中學數(shù)學研究,2006(4)

[3]陳升裕.向量在解立體幾何題中的應用[J].中學數(shù)學研究,2007(5)

[4]崔敬賽,何小亞.2011年廣東高考理科立體幾何評[J].中學數(shù)學研究,2011(9)