廣州市第八十中學(xué)(510660) 陳雪玲

基于變易圖式的“基本不等式”教學(xué)*

廣州市第八十中學(xué)(510660) 陳雪玲

在數(shù)學(xué)教學(xué)中,不但要關(guān)注教與學(xué)的方式、方法,更要關(guān)注學(xué)習(xí)的內(nèi)容,我們要理解一個(gè)概念或定理,關(guān)鍵在于我們審辨出概念定理的關(guān)鍵特征,而審辨必須通過變易.針對(duì)教學(xué)內(nèi)容及其關(guān)鍵特征的變易,保持某些特征或整體大致不變而只是變易某些特征或整體的情況,稱為“變易圖式”.變易圖式的重要功能有對(duì)照、區(qū)分、類合,這也正是我們學(xué)習(xí)的三個(gè)重要步驟,本文以基本不等式求最值為例,運(yùn)用變易圖式的功能,在基本不等式的關(guān)鍵特征上進(jìn)行變易,幫助學(xué)生更好地掌握學(xué)習(xí)內(nèi)容,引導(dǎo)學(xué)生更加主動(dòng)積極的參與到自主學(xué)習(xí)中來.

一、通過對(duì)照,辨析基本不等式概念

學(xué)習(xí)基本不等式之前,不等關(guān)系a,b∈R,a2+b2>2ab是學(xué)生熟悉的,可以由此引入,對(duì)這個(gè)不等式的條件進(jìn)行變易,變易圖式如下:

引導(dǎo)學(xué)生通過變易得到,a,b∈R+,a+b>2,也就是要學(xué)習(xí)的基本不等式.然后再將兩個(gè)不等式對(duì)照.

通過這樣的對(duì)照,可以很快地掌握新學(xué)習(xí)的基本不等式的形式和條件.a,b必須為正數(shù)記為條件A,a+b最小值為時(shí),ab必須為定值(最大值為a+b時(shí),a+b要為定值)記為條件B,等號(hào)能成立的條件是a=b,記為條件C,即“一正、二定、三相等”.

二、通過區(qū)分,突顯基本不等式關(guān)鍵特征

變易圖式中,變易哪個(gè)維度的量,不是隨意的,而是根據(jù)教學(xué)內(nèi)容的關(guān)鍵特征,對(duì)定理成立的三個(gè)條件“一正、二定、三相等”即條件A、B、C,進(jìn)行變易圖式的教學(xué),讓學(xué)生體會(huì)各個(gè)條件的影響,從而加深對(duì)整個(gè)概念的理解.在這里,變易的功能是為了區(qū)分和強(qiáng)調(diào)關(guān)鍵特征.

(一)利用基本不等式求和最小值.

為了辨析利用基本不等式求和最小值的條件,設(shè)計(jì)了如下的變易圖式.

目的是為了向?qū)W生強(qiáng)調(diào)定理中a,b為正數(shù)的條件,題目(2)不能直接用基本不等式,必須要添加負(fù)號(hào)后才能使用.

典型錯(cuò)解:因?yàn)?/p>

所以,最小值為8.

正解解法:

學(xué)生通過變易圖式和例題的對(duì)比可以很快發(fā)現(xiàn)三個(gè)重要的關(guān)鍵特征,通過教師的引導(dǎo),教會(huì)學(xué)生在學(xué)習(xí)中如何去改變關(guān)鍵特征來幫助自己理解新的知識(shí),這是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的一種有效的方法,也為學(xué)生獨(dú)立自主學(xué)習(xí)提供了方法指導(dǎo).

(二)利用基本不等式求乘積最大值

公式的應(yīng)用除正向應(yīng)用外,逆向使用也十分重要.

例:a>0,b>0,a+b=1,求ab的最大值.

利用基本不等式求“積的最大值”,關(guān)鍵是“和為定值”,讓學(xué)生逐步學(xué)會(huì)基本不等式求最值的逆用和變用,并初步感悟“二元”與“一元”相互轉(zhuǎn)化的思維過程.為了突出“和為定值”的條件,設(shè)計(jì)了如下的變易圖式.

給出題目(6)求函數(shù)y=x(1?2x)(00,1?2x>0,但因?yàn)閤+(1?2x)不為常數(shù),所以題目要變?yōu)?/p>

通過變易圖式引導(dǎo)學(xué)習(xí),讓學(xué)生對(duì)定理的理解更有目標(biāo)性,更清楚三個(gè)條件對(duì)定理的影響.像這種,部分的變化影響著整體的情況,都適合利用變易圖式的區(qū)分功能把變易維度和關(guān)鍵特征顯現(xiàn)出來,發(fā)現(xiàn)整體和部分之間的關(guān)系.

三、利用類合,總結(jié)基本不等式求和最小值的主要類型及方法

學(xué)習(xí)不能止于審辨的階段,要培養(yǎng)學(xué)生的高級(jí)思維,必須要讓學(xué)生自己總結(jié)或推論出規(guī)律或定理.透過聚焦于什么是不變,推導(dǎo)出結(jié)論,稱為類合.教學(xué)上通過變易圖式,發(fā)揮類合功能,引導(dǎo)學(xué)生對(duì)知識(shí)規(guī)律進(jìn)行總結(jié)和應(yīng)用.

(一“)一元”的情況

當(dāng)t=1,x=0時(shí)等號(hào)成立,ymin=1.換元后即可化為基本類型,利用基本不等式求解.

同樣令x+1=t(t>0),得到

當(dāng)t=1,x=0時(shí)等號(hào)成立,ymax=1.

通過這樣設(shè)計(jì)圖式,引導(dǎo)學(xué)生尋找題目間的聯(lián)系,學(xué)生也可以根據(jù)圖式自己來設(shè)計(jì)題目,從而自己去發(fā)現(xiàn)(或的內(nèi)在關(guān)系,通過換元,在條件符合的情況下利用基本不等式解決這一類的最值問題.

(二)“二元”的情況

利用基本不等式求和最小值的題型中,除了上面的只含一個(gè)未知量的類型外,還有含兩個(gè)未知量的,基本題型為:xy等號(hào)成立(記為類型二).哪些也可以化成這種基本類型求解,學(xué)生并不清楚,給出題目(10)已知x>0,y>0且=1,求x+y的最小值.解法一:(化為類型二)因?yàn)閤>0,y>0,所以

解法二:(化為一元,轉(zhuǎn)化為類型一)因?yàn)閤>0,y>0且

給出題目(11)已知x+y=2xy,x>0,y>0,求x+y的最小值.

同樣的,學(xué)生可以根據(jù)變易圖式自己設(shè)計(jì)題目,自己去發(fā)現(xiàn)已知ax+by=c,求的最小值(或已知=c,求dx+ey的最小值),在條件符合的情況下可轉(zhuǎn)化為類型二來求解.

利用變易圖式類合的功能,對(duì)教學(xué)內(nèi)容進(jìn)行設(shè)計(jì),學(xué)生可以很快地發(fā)現(xiàn)規(guī)律,理解這些“變中不變”的關(guān)系之后,學(xué)生再解決相關(guān)的題目方能游刃有余、從容不迫.

變易圖式主要是從學(xué)習(xí)內(nèi)容上進(jìn)行變易,通過對(duì)內(nèi)容進(jìn)行變易,使概念的關(guān)鍵特征更清晰,同時(shí)把不同的關(guān)鍵特征對(duì)照起來,通過類合,找出不變的整體和規(guī)律.以變易貫穿課堂教學(xué)設(shè)計(jì),有助于教師引導(dǎo)學(xué)生審辨學(xué)習(xí)內(nèi)容的關(guān)鍵特征,構(gòu)建及表達(dá)出恒常的數(shù)學(xué)規(guī)律,從而提高學(xué)習(xí)效率與質(zhì)量.

[1]梁玉麟,勞傅燕華,江巧妍.數(shù)學(xué)課堂學(xué)習(xí)研究實(shí)踐與數(shù)學(xué)基本概念的教學(xué)[M].安徽教育出版社,2011.

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[3]顧泠沅,黃榮金,李業(yè)平.數(shù)學(xué)課堂教學(xué)研究[M].上海教育出版社,2010.

[4]皮連生,教育心理學(xué)[M].上海教育出版社,2011.

*本文為廣東省教育研究院教育研究課題《基于變易圖式下的高中數(shù)學(xué)概念教學(xué)研究》(課題編號(hào)GDJY-2015-A-b233)成果之一.