廣州大學(xué)數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院(510006) 鐘木超

例談解析幾何問題的平面幾何解法

廣州大學(xué)數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院(510006) 鐘木超

法國著名數(shù)學(xué)家笛卡爾17世紀創(chuàng)立解析幾何以來,有一類幾何問題可以代數(shù)化,運用代數(shù)的方法研究其幾何性質(zhì),從而得到解決這類問題的通法,極大地促進了代數(shù)與幾何的發(fā)展.其中獲益最大的無疑是圓錐曲線問題.這類問題的解法幾乎都是通過將幾何條件代數(shù)化來完成的,從而成為了解析幾何的重要內(nèi)容.但是解析幾何問題本質(zhì)是幾何問題,它們本身就包含一些很重要的幾何性質(zhì).如果我們可以充分利用這些幾何性質(zhì),它們其實就是純幾何問題,完全可以借助平面幾何的知識加以解決.這樣不但能避開繁瑣的代數(shù)運算,使解決問題的過程得到簡化,而且更好地揭示這些問題的幾何本質(zhì).例如三類圓錐曲線的定義及其光學(xué)性質(zhì)本身就是極其重要的幾何性質(zhì).下面筆者通過一些例子展示如何運用平面幾何解法解決解析幾何問題,希望可以達到拋磚引玉的效果.

一、圓錐曲線的光學(xué)性質(zhì)

定理1從橢圓的一個焦點處發(fā)出的光線照射到橢圓上,經(jīng)橢圓反射后,反射光線通過另一個焦點,且經(jīng)過反射點的鏡面所在的直線為橢圓的切線.

定理2從雙曲線的一個焦點處發(fā)出的光線照射到雙曲線上,經(jīng)過雙曲線反射后,反射光線的反向延長線通過另一個焦點,且經(jīng)過反射點的鏡面所在的直線為雙曲線的切線.

定理3從拋物線的焦點處發(fā)出的光線照射到拋物線上,經(jīng)過拋物線反射后,反射光線平行于拋物線的軸,且經(jīng)過反射點的鏡面所在的直線為拋物線的切線.

注 這三個定理分別描述了橢圓、雙曲線、拋物線的光學(xué)性質(zhì).其證明讀者可參閱文[1].

二、用平面幾何方法解解析幾何問題的例子

圖1

證 如圖1,設(shè)F1,F2分別是橢圓的左右兩個焦點,分別作F1,F2關(guān)于切線MA,MB的對稱點P,Q,連結(jié)MP,MQ,PA,QB,AF1,AF2,

注 此例是2014年廣東數(shù)學(xué)高考圓錐曲線壓軸題(第20題文理共用)的推廣,原題如下:已知橢圓=1的一個焦點為

(I)求橢圓方程;

(II)若動點P(x0,y0)為橢圓外一點,且點P到橢圓的兩條切線相互垂直,求點P的軌跡方程.

圖2

證 如圖2,設(shè)F1,F2分別是雙曲線的左右兩個焦點,分別作F1,F2關(guān)于切線MA,MB的對稱點P,Q,連結(jié)MP,MQ,PA,QB,AF1,PF2,QF1,BF2,MF1,MF2,OM.由定理2易得A,P,F2;B,Q,F1分別三點共線,所以PF2=AF2?AP=AF2?AF1=2a,同理QF1=2a=PF2,又因為MF2=MQ,MP=MF1,所以

圖3

即M的軌跡方程為x2+y2=a2?b2.

例3 M是拋物線C:y2=2px(p>0)的準線l上的一點,過點M 的直線與拋物線相切于A,B,分別過A,B作l的垂線,垂足分別為P,Q,設(shè)拋物線的焦點為F,連結(jié)PF,QF,MF,AF,BF,求證:(1)MF⊥AB;(2)PF⊥QF;(3)AM⊥BM;(4)A,F,B三點共線.

證 如圖3,作射線PA,QB,由定理3易得∠CAH=∠MAF=? ∠MAF= ∠CAH= ∠MAP. 又因為AP=AF,AM=AM,所以 △AMP ～= △AMF=?∠AFM= ∠APM=90?,MF=MP,∠PMA= ∠FMA.同理 ∠BFM= ∠BQM=90?,MF=MQ,∠QMB=∠FMB.所以 MF⊥AB,MF=MP=MQ,∠AMB=∠AMF+ ∠BMF=∠QMF=90?=?AM⊥BM,F在以 PQ為直徑的圓上,即 PF⊥QF.由AP=AF,PM=FM 得 ∠AFP= ∠APF,∠MPF=∠MFP.同理 ∠BFQ= ∠BQF,∠MQF= ∠MFQ.所以∠AFP+∠MFP+∠MFQ+∠BFQ=∠APF+∠MPF+∠MQF+∠MFQ=180?,即A,F,B三點共線.

例4 證明:橢圓的焦點在橢圓切線上的射影的軌跡是以橢圓的中心為圓心,且過長軸頂點的圓.

證 先證左焦點的情形.如圖

圖4

在△MF1F2中,由余弦定理得2MF1·MF2·cos∠F1MF2①+②并整理得在△MF1F2中,由中線長公式得

故M的軌跡為以O(shè)為圓心,a為半徑的圓.

對于右焦點的情形,同理可證,不再贅述.

注 此例是《數(shù)學(xué)通報》2012年第11期刊登的第2087號問題.供題人用解析法證明了該問題.

類似的性質(zhì)對于雙曲線和拋物線也成立,從而得到下面的定理5和定理6,因為其證明根據(jù)前四例的方法容易給出,有興趣的讀者可以嘗試自己給出證明,這里就不再贅述.

定理5雙曲線的焦點在雙曲線切線上的射影的軌跡是以雙曲線的中心為圓心,且過實軸頂點的圓.

定理6 拋物線的焦點在拋物線切線上的射影的軌跡是經(jīng)過拋物線的頂點且垂直于其對稱軸的一條直線.

圖5

解 如圖5,連結(jié)AF2,OA,OM,設(shè)AF1=x,則AF2=2a?x.在Rt△OAM 中,由中線長定理可得,

即AM=a?x.所以AF1+AM=a.同理BF1+BM=a.從而△ABF1的周長為2a.

三、總結(jié)反思

上面五個例子可以看出,利用平面幾何知識解決解析幾何問題,不但可以避開繁瑣的代數(shù)運算,簡化解題過程,而且解法簡潔優(yōu)美,更好地體現(xiàn)了圓錐曲線的幾何性質(zhì).因此對于解析幾何問題,不應(yīng)一味地運用解析法,而應(yīng)該將解析法和平面幾何方法相結(jié)合,從而得到解決問題的最優(yōu)解法,同時可以更好地提高解題能力.

[1]郇維中.同一法證明圓錐曲線光學(xué)性質(zhì)及應(yīng)用舉例[J].數(shù)學(xué)通報,2011,6;46 53.