甘肅臨澤一中(734200) 魏正清

突破三棱錐外接球半徑的六種策略*

甘肅臨澤一中(734200) 魏正清

三棱錐的外接球問題中,如何以三棱錐為載體求解外接球半徑,解法靈活多變,對(duì)空間能力想象的要求非常高.若能利用長(zhǎng)方體、三棱錐的性質(zhì)、三棱錐底面外心或側(cè)面外心、過三棱錐的底面上一邊作對(duì)棱的截面,則可極大的簡(jiǎn)化運(yùn)算,巧妙探索外接球球心或半徑.

三棱錐,外接球,半徑,策略

三棱錐的外接球問題,可較好的考查學(xué)生的空間想象能力,邏輯推理能力和運(yùn)算求解能力,它既是教學(xué)的難點(diǎn),也是高考經(jīng)久不衰的熱點(diǎn).如何巧妙的尋找球心、探索球半徑,突破這一解題瓶頸,是解決此類問題的關(guān)鍵.本文給出六種策略,旨在拋磚引玉.

1.利用長(zhǎng)方體的面對(duì)角線探索外接球半徑

例1三棱錐中則三棱錐的外接球的表面積為___.

圖1

分析如圖(1),在長(zhǎng)方體中,設(shè)AE=a,BE=b,CE=c.則S C=AB=從而a2+b2+c2=14=(2R)2,可得S=4πR2=14π.故所求三棱錐的外接球的表面積為14π.

評(píng)注三棱錐的相對(duì)棱相等,探尋球心無從著手,注意到長(zhǎng)方體的相對(duì)面的面對(duì)角線相等,可在長(zhǎng)方體中構(gòu)造三棱錐,從而巧妙探索外接球半徑.

2.利用長(zhǎng)方體的體對(duì)角線探索外接球半徑

例2在正三棱錐S?ABC中,點(diǎn)M是SC的中點(diǎn),且 AM⊥SB,AB=則正三棱錐的外接球的表面積為( ).

A.6π B.12π

C.32π D.36π

圖2

分析如圖(2),因三棱錐S?ABC是正三棱錐,知SB⊥AC.又AM⊥SB,知SB⊥平面SAC,從而SB⊥SA,SB⊥SC.同理SA⊥SC,知SA,SB,SC為某長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高且SA=SB=SC=2.于是(2R)2=3×22=12,可得S=4πR2=12π.故所求三棱錐的外接球的表面積為12π.

評(píng)注利用正三棱錐中相對(duì)棱互相垂直這一性質(zhì),可巧妙的探索側(cè)面三角形的頂角特征,進(jìn)而構(gòu)造長(zhǎng)方體,利用長(zhǎng)方體的面對(duì)角線,化繁為簡(jiǎn),探索外接球半徑.

3.利用底面三角形的外心構(gòu)三角形探索外接球半徑

圖3

分析如圖(3),依題意AC=CB=R,設(shè)點(diǎn)O1為△ABC的外心,則OO1⊥底面ABC.依

則

可得球半徑R=1.

評(píng)注 利用球心與三棱錐底面三角形外心連線垂直于底面這一性質(zhì),可構(gòu)造直角三角形,有的放矢,巧求外接球半徑.

4.利用底面三角形與側(cè)面三角形的外心探索球心

例4√平面四邊形ABCD中,AB=AD=CD=1,BD=2,BD⊥C 其沿對(duì)角線BD折成四面體A′BCD,使平面 A′B 平面 BCD. 若四面體 A′BCD的頂點(diǎn)在同√一個(gè)球面上,則該球的體積√為( ).

圖4

分析 如圖(4),設(shè)BD,BC的中點(diǎn)分別為E,F.因點(diǎn)F為底面直角△BCD的外心,知三棱錐A′?BCD的外接球球心必在過點(diǎn)F且與平面BCD垂直的直線l1上.又點(diǎn)E為底面直角△A′BD的外心,知外接球球心必在過點(diǎn)E且與平面A′BD垂直的直線l2上.因而球心為l1與l2的交點(diǎn).又FE//CD,CD⊥BD知FE⊥平面A′BD.從而可知球心為點(diǎn)F.又A′B=A′D=1,CD=1知 BD=,球半徑

評(píng)注 三棱錐側(cè)面與底面垂直時(shí),可緊扣球心與底面三角形外心連線垂直于底面這一性質(zhì),利用底面與側(cè)面的外心,巧探外接球球心,妙求半徑.

5.利用三棱錐過對(duì)棱中點(diǎn)的截面探索球心

圖5

評(píng)注緊扣三棱錐相對(duì)棱相等這一特征,構(gòu)建過對(duì)棱中點(diǎn)的截面,可巧妙探索球心,出奇制勝,迅捷解題.

6.利用與三棱錐對(duì)棱垂直的截面探索外接球半徑

例6已知三棱錐S?ABC的所有頂點(diǎn)都在球的表面上,△ABC是邊長(zhǎng)為l的正三角形,SC為球的直徑,且三棱錐S?ABC的體積為,則三棱錐S?ABC外接球的體積為___.

分析如圖(6),因SC為球的直徑,AC=BC=1知△SAB△SBC. 過點(diǎn) A作 AD⊥SC 于 D,則BD⊥SC,故 SC⊥ 平面 ADB.取AB中點(diǎn)E,則從而可得R=1,從而外接球的體積

圖6

評(píng)注以球的直徑為斜邊的兩個(gè)三角形全等時(shí),可做與球的直徑垂直的截面,構(gòu)三棱錐,巧妙探索外接球半徑.

*甘肅省十二五規(guī)劃課題“新課程背景下數(shù)學(xué)課堂教學(xué)情景中師生關(guān)系重建研究”(課題批準(zhǔn)號(hào)GS[2015]GHB1415)成果.