華南師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院(510631) 劉依舒 劉秀湘

切點(diǎn)弦生成的四次曲線問題探究

華南師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院(510631) 劉依舒 劉秀湘

圓錐曲線問題是全國卷每年必考的題型,包括求標(biāo)準(zhǔn)方程、研究圓錐曲線的幾何性質(zhì)和位置關(guān)系、求軌跡方程等等考點(diǎn).本文圍繞2013年遼寧理科卷的解析幾何求軌跡的題目展開思考和探究,研究圓錐曲線切點(diǎn)弦的中點(diǎn)所生成的四次曲線問題,分析命題原因,并得出四次曲線具有不穩(wěn)定性的結(jié)論.

圓錐曲線,切點(diǎn)弦,四次曲線,軌跡

著名數(shù)學(xué)家康托爾說過:“在數(shù)學(xué)中提出問題的藝術(shù)要比解決問題的方法更為重要.”當(dāng)筆者完成2013年遼寧理科解析幾何題目時(shí),提出一個(gè)問題,既然拋物線的切點(diǎn)弦的中點(diǎn)軌跡仍是拋物線,那么其余圓錐曲線是否有類似的不變性的性質(zhì)?下面對(duì)這個(gè)問題作進(jìn)一步的研究和探討.

一、問題呈現(xiàn)

題目(2013年遼寧卷)如圖,拋物線C1:x2=4y,C2:x2=?2py(p>0).點(diǎn)M(x0,y0)在拋物線C2上,過點(diǎn)M 作C1的切線,切點(diǎn)為A,B(M為原點(diǎn)O 時(shí),A,B重合于O).當(dāng)時(shí),切線MA的斜率為

圖1

(1)求p的值;

(2)當(dāng)M在C2上運(yùn)動(dòng)時(shí),求線段AB中點(diǎn)N的軌跡方程(A,B重合于O時(shí),中點(diǎn)為O).

解(1)易得,p=2.(2)設(shè)由N 為線段AB中點(diǎn)知

切線MA,MB的方程為

由③④得MA,MB的交點(diǎn)M(x0,y0)的坐標(biāo)為x0=因?yàn)辄c(diǎn) M(x,y)在 C上,即002所以

圖2

從上述的解答中發(fā)現(xiàn),AB中點(diǎn)N的軌跡方程為拋物線.同時(shí),通過幾何畫板畫圖(如圖2)觀察到,所得軌跡的口徑比C1小,筆者在這里不禁想問:

問題1.如果考慮推廣到更一般的拋物線,p1和p2不確定的情況下,AB中點(diǎn)N的軌跡方程與p1和p2有什么關(guān)系?口徑一定比C1小嗎?

問題2.如果把該問題繼續(xù)推廣到所學(xué)習(xí)過的圓錐曲線,是否有類似的結(jié)論?

二、初入云霧

問題1拋物線C1:x2=2p1y(p>0),C2:x2=?2p2y(p>0).點(diǎn)M(x0,y0)在拋物線C2上,過點(diǎn)M 作C1的切線,切點(diǎn)為A,B(M為原點(diǎn)O時(shí),A,B重合于O).當(dāng)M在C2上運(yùn)動(dòng)時(shí),求線段AB中點(diǎn)N的軌跡方程(A,B重合于O時(shí),中點(diǎn)為O).

解設(shè)由N為線段AB中點(diǎn)知

切線MA,MB的方程為

由③④得MA,MB的交點(diǎn)M(x0,y0)的坐標(biāo)為x0=因?yàn)辄c(diǎn) M(x,y)在 C上,即002所以

問題2圓C1:x2+y2=r2,圓C2:(x?a)2+(y?b)2=點(diǎn)M(x0,y0)在圓C2上,過點(diǎn)M作C1的切線,切點(diǎn)為A,B.當(dāng)M 在C2上運(yùn)動(dòng)時(shí),求線段AB中點(diǎn)N的軌跡方程.

解 先證M,N,O(O為坐標(biāo)原點(diǎn))三點(diǎn)共線.設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),由于A,B都在C1上,滿足:

①－②,得:

設(shè)N(x,y),則有:2x(x1?x2)=2y(y2?y1)可得所以,M,N,O(O為坐標(biāo)原點(diǎn))三點(diǎn)共線.下求線段AB中點(diǎn)N的軌跡方程:把直線OM與直線AB聯(lián)立方程組:

解得:

把x0,y0代入(x?a)2+(y?b)2=r12,化簡可得:

幾何畫板繪制軌跡如下:

圖3

盡管是一個(gè)四次曲線,但當(dāng)C1和C2都是圓的時(shí)候,所繪圖所得是一個(gè)類似圓形的軌跡.

解 先證M,N,O(O為坐標(biāo)原點(diǎn))三點(diǎn)共線.證法類似于問題2中關(guān)于M,N,O(O為坐標(biāo)原點(diǎn))三點(diǎn)共線的證明.

下求線段AB中點(diǎn)N的軌跡方程:把直線OM與直線AB聯(lián)立方程組:

幾何畫板繪制軌跡如下:

圖4

盡管是一個(gè)四次曲線,但當(dāng)C1和C2都是橢圓的時(shí)候,繪圖所得是一個(gè)類似橢圓的軌跡.

幾何畫板繪制軌跡如下:

圖5

由圖5中易見,當(dāng)切點(diǎn)都在左支上的時(shí)候,所得軌跡為最左邊的曲線,當(dāng)切點(diǎn)分別位于左右兩支的時(shí)候,得到中間的曲線,這兩條軌跡滿足上述所求的四次方程,是一個(gè)類雙曲線方程.

三、撥開云霧

用Matlab繪制x4+y4=1的圖像時(shí),所得曲線類似于圓,當(dāng)加上交叉項(xiàng)時(shí),得到x4+y4+2x2y2+x3y+y3x=1圖像完全是一個(gè)被旋轉(zhuǎn)了一定角度的橢圓型;當(dāng)繪制x4?y4=1圖像發(fā)現(xiàn),與雙曲線非常相似,當(dāng)加上交叉項(xiàng)時(shí),得到x4?y4?2x2y2?x3y?y3x=1圖像完全是一個(gè)被旋轉(zhuǎn)了一定角度的雙曲型:

查閱了相關(guān)文獻(xiàn)發(fā)現(xiàn),四次函數(shù)方程中的Cauchy-四次函數(shù)方程與Jensen-四次函數(shù)方程的一般形式與二者之間的聯(lián)系已經(jīng)有所研究,且對(duì)其在Banach空間以及模糊賦范空間上兩個(gè)函數(shù)方程的Ulam穩(wěn)定性已經(jīng)被證明[1],但是一般化的四次曲線并沒有類似的研究成果,筆者認(rèn)為,在繪圖過程中交叉項(xiàng)的系數(shù)、次數(shù)差異對(duì)四次曲線的影響較大,證明一般四次曲線的穩(wěn)定性不強(qiáng),因此研究的空間非常大.

因此,在命題方面,由于四次曲線的不穩(wěn)定性且顧及考生的能力范圍,高考命題在切點(diǎn)弦的中點(diǎn)軌跡的考查只會(huì)到達(dá)拋物線的考查水平.

推廣5曲線C1:F(x,y)=0,C2:G(x,y)=0.其中C1,C2沒有交點(diǎn).點(diǎn)M(x0,y0)在曲線C2上,過點(diǎn)M 作C1的切線,切點(diǎn)為A,B(M為原點(diǎn)O時(shí),A,B重合于O).當(dāng)M在C2上運(yùn)動(dòng)時(shí),線段AB中點(diǎn)N的軌跡方程(A,B重合于O時(shí),中點(diǎn)為O)為二元四次方程.當(dāng)C1,C2的性質(zhì)屬性一樣時(shí),所得N的軌跡與C1,C2類似,即通過求切點(diǎn)弦的中點(diǎn)軌跡,可得類橢圓,類雙曲線,類圓的四次方程!

雖然問題探究的直接目的是為了尋求問題的解答,但是尋求解答卻并不是問題探究的唯一目的.在對(duì)原來題目進(jìn)行一般化同時(shí)讓筆者第一次認(rèn)識(shí)了四次方程,不僅給老問題找到了問題解決的突破口,還在原有的問題中尋找到新的問題,為生成四次曲線找到一個(gè)特殊的方法.張奠宙先生曾指出“方程是一座橋梁,一座聯(lián)立已知和未知的橋梁”,筆者認(rèn)為,對(duì)方程問題的探析滲透著數(shù)學(xué)的無窮魅力,等待著一輪又一輪的推陳出新,孕育出更精彩的結(jié)論.

[1]宋愛民.Cauchy-四次與Jensen-四次函數(shù)方程的穩(wěn)定性[D].青島大學(xué),2015.