陸志杰

摘 要：數(shù)學(xué)思維經(jīng)驗(yàn)是學(xué)生解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的營(yíng)養(yǎng)基，是孕育學(xué)生創(chuàng)造性思維的溫床，思維經(jīng)驗(yàn)的積累能夠有效引領(lǐng)、助推學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)。在數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師要有意識(shí)地幫助學(xué)生從已有知識(shí)、點(diǎn)狀知識(shí)以及相關(guān)知識(shí)中積累思維經(jīng)驗(yàn)，發(fā)展思維經(jīng)驗(yàn)，提升思維經(jīng)驗(yàn)，依次助推學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，不斷促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的形成。

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)；思維經(jīng)驗(yàn)；習(xí)得策略

美國(guó)著名教育家杜威先生在《民主主義與教育》中曾經(jīng)這樣說(shuō)：“教育即學(xué)生經(jīng)驗(yàn)的改造或重組”“一盎司經(jīng)驗(yàn)勝過(guò)一噸理論”。事實(shí)上，學(xué)生的經(jīng)驗(yàn)不同于知識(shí)，知識(shí)是系統(tǒng)性、公共性的，而經(jīng)驗(yàn)則是碎片化、個(gè)體性的。經(jīng)驗(yàn)亦不同于能力，能力是外顯的，而經(jīng)驗(yàn)則是內(nèi)隱的。學(xué)生的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)包括“實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)”和“思維經(jīng)驗(yàn)”。所謂“思維經(jīng)驗(yàn)”，是指學(xué)生在思維活動(dòng)中所產(chǎn)生的過(guò)程性體驗(yàn)，這種過(guò)程性體驗(yàn)是一種素樸的、直接的感性認(rèn)識(shí)。學(xué)生數(shù)學(xué)思維經(jīng)驗(yàn)是孕育學(xué)生創(chuàng)造性思維的溫床，可以有效地引領(lǐng)、助推學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，促進(jìn)數(shù)學(xué)素養(yǎng)的提升。

一、直觀：從已有知識(shí)中孕育思維經(jīng)驗(yàn)

學(xué)生數(shù)學(xué)思維經(jīng)驗(yàn)是學(xué)生數(shù)學(xué)活動(dòng)的伴生產(chǎn)物。學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)總是在學(xué)生已有知識(shí)基礎(chǔ)上的再建構(gòu)、再創(chuàng)造。教師可以引導(dǎo)學(xué)生從已有知識(shí)中孕育思維經(jīng)驗(yàn)。如在學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，教師可以引領(lǐng)學(xué)生展開(kāi)思考：這部分新知和什么有關(guān)系？有什么關(guān)系？這種關(guān)系對(duì)嗎？怎樣驗(yàn)證？……這樣，通過(guò)一系列對(duì)新知的感知、審視和對(duì)舊知的反思、回顧，學(xué)生能夠從已有知識(shí)中孕育思維經(jīng)驗(yàn)，促進(jìn)新的認(rèn)知。譬如，對(duì)于《平行四邊形的面積》這一教學(xué)內(nèi)容，教師可以先畫(huà)一個(gè)平行四邊形，讓學(xué)生思考：平行四邊形的面積與平行四邊形的什么有關(guān)？學(xué)生根據(jù)直觀圖以及長(zhǎng)方形面積的相關(guān)知識(shí)，紛紛產(chǎn)生自己的數(shù)學(xué)猜想：底×鄰邊、高×鄰邊、底×高等。然后教師可以給學(xué)生提供一個(gè)活動(dòng)的平行四邊形框架，學(xué)生在推拉平行四邊形框架的過(guò)程中不難形成這樣的認(rèn)識(shí)：平行四邊形的面積在不斷變化，極端情況下平行四邊形似乎變成了一條線，面積約等于零。平行四邊形的底以及鄰邊始終沒(méi)變，只有高發(fā)生了變化，因此平行四邊形的面積與高一定有關(guān)系。那么，平行四邊形的面積與高之間到底有怎樣的關(guān)系呢？接著，教師可以引導(dǎo)學(xué)生抓住高，展開(kāi)深度探究，將平行四邊形放到方格圖上，用數(shù)方格的方法對(duì)猜想進(jìn)行逐個(gè)篩選，產(chǎn)生“平行四邊形的面積等于底×高”的初步結(jié)論。在數(shù)方格的過(guò)程中，由于有些格子不滿1格，有學(xué)生自然地想到剪切、平移，轉(zhuǎn)化成整格數(shù)來(lái)數(shù)。在這個(gè)過(guò)程中，學(xué)生萌發(fā)了對(duì)平行四邊形進(jìn)行剪、移、拼轉(zhuǎn)化成長(zhǎng)方形的問(wèn)題解決思路，為正式的數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)奠定了思維活動(dòng)基礎(chǔ)。最后引導(dǎo)學(xué)生展開(kāi)數(shù)學(xué)操作，將平行四邊形轉(zhuǎn)化成長(zhǎng)方形。學(xué)生有的將平行四邊形分割成一個(gè)直角三角形和一個(gè)直角梯形，有的將平行四邊形分割成兩個(gè)直角梯形。在這個(gè)過(guò)程中，學(xué)生深刻感受到，只有沿著高剪開(kāi)，才能產(chǎn)生直角，否則如果斜著剪，平移后還是平行四邊形。至此，學(xué)生領(lǐng)悟到必須沿著平行四邊形的高進(jìn)行剪、移、拼的合理性，數(shù)學(xué)的思維經(jīng)驗(yàn)得到了提升。

直觀開(kāi)啟了學(xué)生數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)、數(shù)學(xué)探究的大門(mén)。學(xué)生正是在觀察、聯(lián)想、想象中孕育出豐富的思維經(jīng)驗(yàn)。盡管這種經(jīng)驗(yàn)是懵懂的，需要教師的幫扶，但這是學(xué)生基于自己已有知識(shí)經(jīng)驗(yàn)基礎(chǔ)上的主動(dòng)發(fā)現(xiàn)、探究，因此倍顯珍貴。在不斷實(shí)踐中，筆者越來(lái)越真切地感受到：學(xué)生的已有知識(shí)是孕育數(shù)學(xué)思維經(jīng)驗(yàn)的孵化器，這種萌發(fā)出的思維經(jīng)驗(yàn)?zāi)軌蛑鸩阶寣W(xué)生的數(shù)學(xué)認(rèn)知從模糊走向清晰，并不斷深入，最終形成對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的深刻洞察。

二、反思：從點(diǎn)狀知識(shí)中發(fā)展思維經(jīng)驗(yàn)

圍繞一個(gè)個(gè)具體的知識(shí)點(diǎn)而生發(fā)的思維經(jīng)驗(yàn)，我們稱之為“點(diǎn)狀經(jīng)驗(yàn)”。這種點(diǎn)狀的思維經(jīng)驗(yàn)是感性的，也是極不牢固的。如何讓學(xué)生的感性的思維經(jīng)驗(yàn)走向知性，如何固化他們點(diǎn)狀的思維經(jīng)驗(yàn)，在教學(xué)中，筆者嘗試有意識(shí)地引導(dǎo)他們對(duì)已有的思維經(jīng)驗(yàn)展開(kāi)反思，讓他們對(duì)自我的思維經(jīng)驗(yàn)進(jìn)行梳理、組織，以求形成穩(wěn)健的思維基礎(chǔ)。例如，在教學(xué)《三角形的內(nèi)角和》一節(jié)時(shí)，我們通常選擇的教法是：教師首先引導(dǎo)學(xué)生量三角形的三個(gè)內(nèi)角，并算出內(nèi)角和，在此基礎(chǔ)上讓學(xué)生提出各自的猜想，然后運(yùn)用各種方法對(duì)猜想進(jìn)行驗(yàn)證，如剪拼法、折疊法、作平行線法等，最后形成數(shù)學(xué)結(jié)論。在整個(gè)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)過(guò)程中，教師注重的是探究方法的多樣化。其實(shí)，在教學(xué)中，我們更應(yīng)該對(duì)各種探究法進(jìn)行反思，尋找各種探究法背后的共同特點(diǎn)、思維方式，即“為什么要測(cè)量？”“為什么剪拼？”“為什么要折疊”等。通過(guò)這些對(duì)數(shù)學(xué)操作本質(zhì)的反思，學(xué)生的數(shù)學(xué)思維將會(huì)被我們向縱深處推進(jìn)。課堂上，學(xué)生通過(guò)小組合作比較，深入理解了操作背后的數(shù)學(xué)本體性目的：量角的目的是為了求三個(gè)角的和；拼折角的目的是為了將三個(gè)角放在一起，形成平角。因此，無(wú)論是“測(cè)量法”還是“剪拼法”“折疊法”等，都是為了同樣的目的——把三個(gè)角“合”起來(lái)，“合”是隱藏在其中的數(shù)學(xué)思維經(jīng)驗(yàn)。在這里，反思比操作更重要，因?yàn)榉此寄軌蜃寣W(xué)生的思維經(jīng)驗(yàn)得到提升。如在《三角形的面積》教學(xué)后，筆者還引導(dǎo)學(xué)生做適度拓展，將“三角形的內(nèi)角和”向“多邊形的內(nèi)角和”進(jìn)行拓展。由于學(xué)生剛剛學(xué)習(xí)了“三角形的內(nèi)角和”，因此部分學(xué)生迅速萌發(fā)了將多邊形分割成三角形的想法。在學(xué)生合理的數(shù)學(xué)猜想基礎(chǔ)上，教師引導(dǎo)學(xué)生展開(kāi)數(shù)學(xué)操作。學(xué)生將多邊形分成了若干個(gè)三角形。但是，有的分法不是從多邊形的一個(gè)點(diǎn)出發(fā)的，有的分法卻是從一個(gè)點(diǎn)出發(fā)的。引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行比較，學(xué)生發(fā)現(xiàn)，從一個(gè)點(diǎn)出發(fā)更有序、更科學(xué)、更易于操作。對(duì)于拓展性問(wèn)題，教師可以點(diǎn)燃學(xué)生的思維火把，讓學(xué)生將之帶至課后繼續(xù)探究。這時(shí)候的學(xué)生，其思維已不再停留在機(jī)械的操作層面，而是有了更深的數(shù)學(xué)內(nèi)涵、意義和價(jià)值。

我們孜孜以求的是，學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的認(rèn)知不僅要“知其然”，更要“知其所以然”，要深入數(shù)學(xué)知識(shí)的腹部，深入數(shù)學(xué)知識(shí)的靈魂深處。在數(shù)學(xué)教學(xué)中，積極有效地引領(lǐng)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的探究過(guò)程展開(kāi)反芻、咀嚼，可以切實(shí)培養(yǎng)學(xué)生的反思意識(shí)，形成學(xué)生的反思習(xí)慣，繼而在他們主動(dòng)地反思與追問(wèn)中發(fā)展數(shù)學(xué)思維經(jīng)驗(yàn)。

三、類(lèi)化：從相關(guān)知識(shí)中提升思維經(jīng)驗(yàn)

數(shù)學(xué)是一門(mén)系統(tǒng)性、結(jié)構(gòu)性很強(qiáng)的學(xué)科。一般情況下，教師往往關(guān)注知識(shí)點(diǎn)的聯(lián)結(jié)。其實(shí)，如果從思維發(fā)生的機(jī)理來(lái)看，許多相關(guān)知識(shí)的思維基礎(chǔ)也是相通的。教學(xué)中，教師要打通不同知識(shí)點(diǎn)背后的思維脈絡(luò)，幫助學(xué)生形成“思維鏈”。思維經(jīng)驗(yàn)的整合即是對(duì)思維經(jīng)驗(yàn)進(jìn)行類(lèi)化、聯(lián)結(jié)和結(jié)構(gòu)化。像蘇教版小學(xué)數(shù)學(xué)教材里，小數(shù)乘法、除數(shù)是小數(shù)的小數(shù)除法、平行四邊形面積、梯形面積、圓的面積等知識(shí)考量的是學(xué)生的轉(zhuǎn)化思維；“數(shù)的組成”“數(shù)線段”“數(shù)圖形”“搭配的學(xué)問(wèn)”“雞兔同籠問(wèn)題”等知識(shí)考量的是學(xué)生的有序思維，即“既不遺漏，也不重復(fù)”；數(shù)的組成、多位數(shù)乘一位數(shù)的簡(jiǎn)便運(yùn)算、組合圖形面積的計(jì)算等知識(shí)考量的是學(xué)生分與合的數(shù)學(xué)思維；間隔排列、周期問(wèn)題、平移中的對(duì)應(yīng)點(diǎn)、軸對(duì)稱圖形關(guān)于對(duì)稱軸的對(duì)稱點(diǎn)、分?jǐn)?shù)的乘除法應(yīng)用題中量和率的對(duì)應(yīng)等知識(shí)考量的是學(xué)生的對(duì)應(yīng)思維等。教學(xué)中，教師要有意識(shí)地幫助學(xué)生類(lèi)化相關(guān)知識(shí)，積累思維經(jīng)驗(yàn)。

以“轉(zhuǎn)化思維”的經(jīng)驗(yàn)培養(yǎng)為例，在蘇教版小學(xué)數(shù)學(xué)教材中，五年級(jí)上冊(cè)學(xué)習(xí)小數(shù)乘法，必須引導(dǎo)學(xué)生轉(zhuǎn)化成整數(shù)乘法，除數(shù)是小數(shù)的小數(shù)除法必須引導(dǎo)學(xué)生轉(zhuǎn)化成除數(shù)是整數(shù)的除法；五年級(jí)上冊(cè)學(xué)習(xí)的平行四邊形面積，必須引導(dǎo)學(xué)生轉(zhuǎn)化成長(zhǎng)方形的面積，三角形、梯形面積等必須引導(dǎo)學(xué)生轉(zhuǎn)化成平行四邊形的面積，由此積淀學(xué)生轉(zhuǎn)化的思維經(jīng)驗(yàn)。如此，學(xué)生到了五年級(jí)下冊(cè)學(xué)習(xí)圓的面積時(shí)就能有意識(shí)地探尋將圓轉(zhuǎn)化成已學(xué)的圖形，如長(zhǎng)方形、平行四邊形、梯形、三角形等。而在六年級(jí)下冊(cè)學(xué)習(xí)圓柱體積、圓錐體積時(shí)也能自然地萌發(fā)轉(zhuǎn)化的思維策略。

在數(shù)學(xué)教學(xué)中，盡管知識(shí)外在的表征形態(tài)各不相同，但許多知識(shí)都蘊(yùn)藏著共同的數(shù)學(xué)思維模式。教學(xué)中，教師要打破知識(shí)關(guān)節(jié)，打破知識(shí)壁壘，甚至打破知識(shí)界別，尋找不同知識(shí)背后相同的思維節(jié)點(diǎn)，幫助學(xué)生積累思維經(jīng)驗(yàn)，探尋形成不同數(shù)學(xué)知識(shí)的共同思維模式，形成思維鏈、思維塊等，由此將學(xué)生的低階思維提升至高階思維。這些高階的數(shù)學(xué)思維經(jīng)驗(yàn)是學(xué)生解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的營(yíng)養(yǎng)基，能夠有效地內(nèi)化為學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，引領(lǐng)、助推學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)。

總之，作為一種策略性、方法性、模式性的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，學(xué)生的數(shù)學(xué)思維經(jīng)驗(yàn)的形成不是一蹴而就的，它是一個(gè)不斷深化、提升的過(guò)程。有些思維經(jīng)驗(yàn)更需要學(xué)生在運(yùn)用中才能走向深刻、走向靈活。因此，教學(xué)中教師要充分提供變式，給學(xué)生提供運(yùn)用數(shù)學(xué)思維經(jīng)驗(yàn)解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的機(jī)會(huì)，讓學(xué)生不斷積淀思維經(jīng)驗(yàn)、發(fā)展思維經(jīng)驗(yàn)、提升思維經(jīng)驗(yàn)。