用“巧設(shè)值”學(xué)數(shù)學(xué)

萬麗芳

我們遇到數(shù)量關(guān)系比較復(fù)雜或頭緒比較混亂時(shí)，常用設(shè)單位“1”來解決分?jǐn)?shù)問題或設(shè)未知數(shù)后列方程通過大量的計(jì)算來解答。有時(shí)我們只需要迅速得到結(jié)果，可以用設(shè)值的方法來達(dá)到目的。學(xué)數(shù)學(xué)和語文還是不一樣的，語文要求語言豐富，刻畫細(xì)膩，而數(shù)學(xué)要求有簡潔的方法和正確的結(jié)果。設(shè)值設(shè)得“巧”往往能達(dá)到事半功倍的效果，所以我們也要養(yǎng)成用“巧設(shè)值”學(xué)數(shù)學(xué)的習(xí)慣。

一、用設(shè)值來增添?xiàng)l件

我們知道小學(xué)數(shù)學(xué)中最常用的數(shù)量關(guān)系是：每份數(shù)×份數(shù)=總數(shù)。在應(yīng)用題中，知道了“每份數(shù)”、“份數(shù)”、“總數(shù)”中兩個(gè)方面的具體量，第三個(gè)方面的具體量就應(yīng)該可以算出來，不能隨便設(shè)值。相反，如果只知道其中一個(gè)方面的具體量，一般不能算出另外兩個(gè)方面的具體量，題目就好像“缺”條件，我們可以通過設(shè)值出其中另一個(gè)方面的具體量，來“增添”條件，達(dá)到我們平常的理解。如果設(shè)值巧妙，則能迅速地得到結(jié)果。

如題目：一批樹苗，若分給六年級種，每人種10棵。若分給五年級種，每人種15棵。若分給兩個(gè)年級共同種，每人種多少棵？

這里只有“每份（人）數(shù)”一個(gè)方面的具體量，沒有“份（人）數(shù)”、“總（棵）數(shù)”方面的具體量，題目是不可能求出有多少人、總共多少樹的。一般的人總覺得缺條件。我們就可以設(shè)值：或者設(shè)定六年級人數(shù)，或者設(shè)定總棵數(shù)。這里我們可用“公倍數(shù)”（通常是最小公倍數(shù)或最容易求的公倍數(shù)）來設(shè)總數(shù)比較簡單。設(shè)定總共有30棵樹（[15，10]=30），則六年級有學(xué)生：30÷10=3人，五年級有學(xué)生30÷15=2人，兩年級共有3+2=5人，每人種30÷5=6棵。答案迅速地出來了，但每個(gè)年級2人3人的，不合常理，我們就只當(dāng)是山里小學(xué)的復(fù)式班啦。

又如：小軍從甲地上山到山頂用了90分鐘，從山頂下山到乙地用了60分鐘。已知他下山速度總是上山速度的2倍。小軍從乙地上山經(jīng)山頂返回甲地需要多長時(shí)間？

此題只有“份數(shù)（時(shí)間）”方面的具體量，沒有“每份數(shù)（速度）”、“總數(shù)（路程）”方面的具體量。同樣，我們可以設(shè)值來“增添”條件。這里，我們根據(jù)倍數(shù)關(guān)系“小軍下山速度是上山速度的2倍”來設(shè)定具體值：上山速度每分鐘1米，下山速度每分鐘2米。于是很容易算出：甲地到山頂路程：1×90=90米；山頂?shù)揭业芈烦?×60=120米，返回用的時(shí)間是120÷1+90÷2=165分鐘。同樣速度雖然不夠合理，但計(jì)算簡便，我們把小軍當(dāng)成一只小山龜就可以理解了。

雖然說“每份數(shù)”、“份數(shù)”、“總數(shù)”中只有一個(gè)具體量時(shí)，我們可以設(shè)值，但只要我們熟練掌握這個(gè)方法，對題中有兩個(gè)方面的具體量時(shí)，我們依然可以借鑒這個(gè)方法。如：一次聚餐，每人用一個(gè)飯碗，每2人用3個(gè)菜碗，每5人用一個(gè)湯碗，一共用了540個(gè)碗。參加聚餐的一共有多少個(gè)人？這題在六年級學(xué)了分?jǐn)?shù)除數(shù)后可以做，每人用1+3÷2+1÷5=2.7個(gè)碗，共有540÷2.7=200人。此題給四、五年級做，我們就可用設(shè)值方法了：如果我們先撇開“540個(gè)碗”這個(gè)“總數(shù)”具體量，題目就只有“每份數(shù)”這個(gè)具體量了。我們可以設(shè)人數(shù)為10人（[1，2，5]=10），則可以算出共用了10+15+2=27個(gè)碗。再把540與27相比，碗是20倍，人數(shù)應(yīng)該是20倍了。10×20=200人。我們只當(dāng)是10人一桌，共20桌，就好理解了。

二、利用設(shè)值來簡化關(guān)系，理清思路

有些題目故意把數(shù)量關(guān)系說得很“繞”，像繞口令一樣把人繞進(jìn)去，使人暈頭轉(zhuǎn)向，理不出頭緒。我們可用設(shè)值來簡化條件，理清關(guān)系。

如：狗和兔同時(shí)從A地跑向B地，狗跑3步的距離等于兔跑5步的距離，狗跑2步的時(shí)間等于兔跑3步的時(shí)間。狗跑840步到達(dá)B地時(shí)，兔還要跑幾步到達(dá)B地？

我們設(shè)值：狗跑3步距離=兔跑5步距離=15米。

條件簡化為：狗每步5米，兔每步3米。

再設(shè)值：狗跑2步的時(shí)間=兔跑3步的時(shí)間=1秒。

條件演化成：狗每秒跑：5×2=10米；兔每秒跑：3×3=9米。

則容易算出：AB兩地距離：5×840=4200米。

狗跑完用時(shí)：4200÷10=420秒

兔420秒跑的距離：9×420=3780米

兔還差多少米到B地：4200-3780=420米。

換成兔的步數(shù)：420÷3=140步

有些分?jǐn)?shù)題目，有很多分?jǐn)?shù)關(guān)系，沒有具體量時(shí)，我們也可以直接進(jìn)行設(shè)置，將分?jǐn)?shù)關(guān)系直接轉(zhuǎn)化成具體量，可以減輕思維難度，迅速得到結(jié)果。

如：甲校學(xué)生是乙校的40%，甲校女生是甲校學(xué)生的30%，乙校男生是乙校學(xué)生的42%，兩校女生數(shù)是兩校學(xué)生數(shù)的百分之幾？

此題作為分?jǐn)?shù)應(yīng)用題可以用單位“1”的方法來解。但為了迅速得出答案，我們采用設(shè)值法：根據(jù)40%設(shè)甲校400人，乙校1000人。則甲校女生400×30%=120人，乙校女生1000×（1-42%）=580人。再用（120+580）÷1400×100%迅速求得兩校女生占35%。

有一道奧數(shù)題目，看起來很復(fù)雜：“有兩包糖，各由奶糖、水果糖、巧克力糖組成。第二包糖的顆數(shù)是第一包糖的3/4。第一包中奶糖占25%，第二包中水果糖占40%，巧克力糖在第一包中所占的百分比與第二包中所占百分比相等。當(dāng)兩包合在一起時(shí)，巧克力糖占30%，水果糖占百分之幾？”我們先設(shè)值，將題目簡化為：“有兩包糖，各由奶糖、水果糖、巧克力糖組成。第二包300顆，第一包400顆。第一包中奶糖有100顆，第二包中水果糖有120顆。巧克力糖在第一包中所占的百分比與第二包中所占百分比相等。當(dāng)兩包合在一起時(shí)，巧克力糖共210顆，水果糖占百分之幾？”再通過畫圖、比較，是不難做出的。

三、用設(shè)值來找到突破口

有些題目，我們乍一看，或者覺得缺條件，或者覺得超出我們的能力范圍，其實(shí)是沒有巧妙的找到突破口。我們可以設(shè)特殊值，或者特殊到極點(diǎn)的值（極限）來思考，就可以找到突破口了。

如圖一：圓環(huán)中，AB=8厘米，要求圓環(huán)的面積（即陰影部分的面積）。

這題對于學(xué)過勾股定理的初中生來說不是問題，對于只學(xué)過圓的面積公式的小學(xué)生來說就顯得難以下手。學(xué)生只想著用大圓面積減去小圓面積，如果知道OC和OB的長度就好算了。因?yàn)镃B=4，如果學(xué)生知道“勾三股四弦五”的故事，能把OC看成3，把OB看成5嗎？如果這樣做，結(jié)果是對的。但又想，如果能把OC設(shè)為3，能不能將之設(shè)為1，或0.1，或0.01呢？OC的值越接近0，AB的長越接近直徑，圓環(huán)的面積越接近圓的面積，如圖二。

我們現(xiàn)在就設(shè)最特殊的值，OC就等于0，那么，AB就是直徑，圓環(huán)面積就是圓的面積。根據(jù)直徑求面積，學(xué)生能輕松算出。

到了中學(xué)，會盛行用字母表示數(shù)量關(guān)系，我們根據(jù)表達(dá)式有時(shí)判斷絕對值，有時(shí)判斷判別式，有時(shí)判斷長度、面積、體積等幾何值之間的關(guān)系，往往要用到設(shè)巧妙的特殊值計(jì)算，反過來，由具體的典型值去理解抽象的數(shù)量關(guān)系。

其實(shí)，設(shè)值方法是不夠嚴(yán)格的，它是由個(gè)性去推得共性的結(jié)果，因此也是需要在一定的條件下才能用的。但這種方法能迅速找到一條路到達(dá)目的地，培養(yǎng)了思維的直覺性。在數(shù)學(xué)探索方面也需要思維的直覺性，數(shù)學(xué)歷史上有很多數(shù)學(xué)難題：如“化圓為方”、“七橋問題”等，當(dāng)我們一次次地證明不了的時(shí)候，能不能憑直覺感知到是不可能的，再從相反的方向去證明呢？“巧設(shè)值”好比大家都在論證能否到金山找到金子的時(shí)候，你卻自己駕個(gè)小漁舟，到金山撿了塊金子回來了。這也是異于常人的思維，是創(chuàng)造性思維的表現(xiàn)形式之一。