姜霄虹

三角形分類教學中培養(yǎng)學生平面幾何理性思考能力的實踐研究

姜霄虹

以“三角形分類（1）”一課為例，探索如何在平面幾何圖形教學中提高學生發(fā)現(xiàn)特征的能力、對特點間關(guān)系的思考能力，以及根據(jù)特點的邏輯表征能力；利用“先示范后模仿”的教學形式，既使學生學到了三類三角形的定義以及如何辨別三類三角形，又發(fā)展了學生學習平面幾何的三種重要能力即發(fā)現(xiàn)能力、思考能力以及邏輯表征能力。

三角形分類 發(fā)現(xiàn)能力 思考能力 邏輯表征能力

一、 教學的理性思考

“三角形的分類（1）”是滬教版數(shù)學第四冊“幾何小實踐”單元中的教學內(nèi)容。通過這節(jié)課的學習，學生知道銳角三角形、直角三角形和鈍角三角形的定義，并且學會按角的組成特點將三角形分為三類。

三角形是重要的平面幾何圖形研究對象之一。比起長方形和正方形，探究三角形的特征對學生的要求更高。因為長方形和正方形都為四個直角，角的大小是固定的；而三角形的三個內(nèi)角大小是不固定的，其中兩個是銳角，第三個角卻是動態(tài)的，它可以是銳角、鈍角，也可以是直角。學生要能夠發(fā)現(xiàn)三角形的與眾不同之處，就需要對平面圖形的特征有較強的發(fā)現(xiàn)能力。同時，學生還要能根據(jù)角的特征將三角形分成三類，需要其具有較強的根據(jù)圖形間的特點進行有效思考的能力。最后，根據(jù)三角形的特征進行命名，并且分別給三類三角形下定義，即三個角都是銳角的三角形是銳角三角形，有一個角是直角的三角形是直角三角形，有一個角是鈍角的三角形是鈍角三角形，需要學生擁有較好的邏輯表征能力。

以上能力也是研究其他平面幾何圖形特點的基石，為學生學習更復(fù)雜的平面幾何圖形打下扎實的基礎(chǔ)。因此在“三角形分類（1）”一課中，教師應(yīng)探究如何提高學生發(fā)現(xiàn)平面幾何圖形特征的能力、對特點間關(guān)系的思考能力，以及根據(jù)特點進行邏輯表征的能力。

二、對“三角形分類（1）”的實踐探索

學習“三角形的分類（1）”前，學生已認識了銳角、直角和鈍角的概念，積累了以圖形邊的條數(shù)或角的個數(shù)作為標準的分類經(jīng)驗后，此課將通過抓住三角形中角的特點，進一步劃分三角形。

（一）激活圖形分類經(jīng)驗，引出課題

教學片段1

師：圖1是小兔留下的圖形，小朋友你能按圖形的特點分一分嗎？兩人互相交流。

圖1

生：1，2，3，4，5，6，7分成一組，因為都是三角形；9，10，12分成一組，因為都是四邊形；8，11分成一組，都是五邊形。

師：同意的小朋友點點頭。我們來看看小兔朱迪怎么分？它和你們是一樣的。

師：左邊框里都是四邊形，它們有什么特點？

生：四邊形有四條邊，四個角。

師：那么五邊形呢？三角形呢？我們按照圖形角的個數(shù)、邊的條數(shù)來分一分，那么同一類圖形，比如這些三角形，可以再分一分嗎？今天我們來學習三角形的分類。

師：有了分一分黑板上圖形的經(jīng)驗與方法，你認為三角形的分類可以按什么來分？

生：三角形能不能按大小分？

生：三角形能不能按邊分？

生：三角形能不能按角分？

師：今天我們先按角的特點來分一分三角形。首先復(fù)習有關(guān)角的知識，你能運用學過的本領(lǐng)把這些角送回家嗎？請大家獨立完成連一連（見圖2）。

圖2

在此教學環(huán)節(jié)中，教師出示了12個平面圖形，其中有三角形、四邊形和五邊形，要求學生分一分，意在激活學生已有的分類經(jīng)驗，以圖形的邊和角作為要素，以此為分類標準進行分類。

學生在分類的過程中，從具體的圖形入手，明確了各種平面圖形的要素是邊和角，也喚醒了以邊的條數(shù)、角的個數(shù)等要素特點作為分類標準的分類經(jīng)驗。既然圖形的分類是按角的個數(shù)和邊的條數(shù)不同為標準，同樣由三個角組成的三角形是否也能以角的類型不同分一分？因此在教授新課前，教師有針對性地復(fù)習相關(guān)角的概念，既激活了學生對相關(guān)概念的記憶，也喚醒了學生的分類經(jīng)驗，滲透了類比的數(shù)學思想，作為后續(xù)三角形分類的遷移經(jīng)驗的鋪墊。

另外，在明確圖形的分類主要是以邊和角作為依據(jù)后，在討論分類的標準時，教師通過提供問題框架，引導學生提出“三角形能不能按大小分？”“三角形能不能按邊分？”和“三角形能不能按角分？”三種想法，培養(yǎng)其發(fā)散性思維和邏輯思維，建立平面幾何圖形的一般思考方法。

（二）同中求異找出分類特征，對三類三角形下定義

1. 尋找類特征，進行分類

教學片段2

師：注意黑板上的三角形（見圖3），它們的角是什么角，你知道嗎？請同學們自行標注一下。

圖3

師：大家都找到每個三角形中角的特點，根據(jù)這些特點，兩人合作，分一分三角形的類型。

生：三角形可以分成三類：1,5一類，因為它們都有一個直角和兩個銳角；3,6一類，它們都有一個鈍角和兩個銳角；2,4,7分為一類，它們都有三個銳角。

師：和前兩類不同，你發(fā)現(xiàn)最后一類三角形中三個角都是銳角。

在上一環(huán)節(jié)中，教師激活了學生已有的銳角、直角、鈍角的概念，以及對三角形和多邊形分類的經(jīng)驗，在此環(huán)節(jié)則側(cè)重于將角的概念與三角形分類建立聯(lián)系。教師可以設(shè)計教學活動使學生在量一量、做標記的過程中，對三角形的角用圖形進行編碼，根據(jù)每個三角形三個角不同的組成情況進行分類。在此環(huán)節(jié)中，首先，學生不受三個內(nèi)角的大小影響，在同一個三角形中根據(jù)角的大小情況，把三個角分類，并且概括了三角形是由哪些角組成，發(fā)展了自身對平面幾何圖形特征的發(fā)現(xiàn)能力。其次，學生認為這些三角形根據(jù)其角的組成情況可以分成三類，分別是三個角都是銳角的三角形，有兩個銳角、一個鈍角的三角形和有兩個銳角、一個直角的三角形。在第二次找特征的過程中，學生從在一個三角形找特征到在多個三角形中找共同特征，并且通過比較各個三角形中角的組成情況，概括出三角形的類特征，對圖形的特點進行有效思考。

2. 歸納特征，給三角形“取名字”

教學片段3

師：根據(jù)三角形角的特點，你們把它們分成三類。那你能給它們分別起個名字嗎？

生：第一類是直角三角形。

師：第一類三角形除了一個直角，明明還有兩個銳角，為什么要叫直角三角形呢？

生：因為其他三角形也有兩個銳角，而直角只有第一類三角形才有。

師：有了這個經(jīng)驗，第二類三角形叫作什么？第三類呢？

生：鈍角三角形，第三類叫銳角三角形。

師：在數(shù)學史上，給三角形分類時，和你們一樣，經(jīng)歷了找一找、分一分，最后根據(jù)它們的特點給三角形們起了名字，接下來請大家把書翻到第56頁，一邊讀一邊比一比，前人找到的特點是什么？和你們哪里不同？

師：小朋友你能把剛才分類起名字的過程總結(jié)成小經(jīng)驗嗎？

在“取名字”的環(huán)節(jié)中，學生能在交流討論、正確與錯誤的碰撞過程中，挑選出每一類三角形的獨有特點，對把握三類三角形特征起著關(guān)鍵的作用。

然而，在描述鈍角三角形、直角三角形的定義時，學生仍舊用“有兩個銳角和一個鈍角的三角形是鈍角三角形；有兩個銳角和一個直角的三角形是直角三角形”定義兩類三角形。通過看書反思，學生回溯之前自己的定義，在比較的過程中，不僅再一次強化三類三角形的特點，也對數(shù)學簡潔精準的語言有了新的認識與感受，在今后的數(shù)學學習中能優(yōu)化自己的語言表述，使語言更加簡潔且精準，促進了學生的邏輯表征能力的發(fā)展。

（三）同中求異，在一類中定量揭示角的特點，鋪墊后續(xù)學習

教學片段4

師：在銳角三角形中，仔細觀察，比一比圖3中2號三角形三個角的大小，你認為左下角和右下角大小關(guān)系怎么樣？有沒有辦法證明呢？

生：把三角形對折，兩個角大小相等。

師：那么上面的角和它們相比呢？請操作，你會發(fā)現(xiàn)什么？

生：三個角大小都相等。

師：那么還有兩個三角形的三個角的大小又有怎樣的關(guān)系？

生：7號三角形有兩個角相等，4號三角形三個角都不相等。

師：銳角三角形按照角的大小還能再分成三種，這是我們以后進一步研究的知識。那么鈍角三角形、直角三角形呢？挑選一類三角形，兩人商量一下，也像老師一樣驗證一下。

（學生獨立進行探究活動）

師：不管是直角三角形、鈍角三角形，還是銳角三角形，都有兩個角相等或者三個角都不相等的情況，而銳角三角形還有三個角都相等的特殊情況。三年級時，這些發(fā)現(xiàn)將幫助我們繼續(xù)學習關(guān)于三角形另一部分重要的知識。

經(jīng)過了按角分類三角形的過程，學生初步感知了在同一種圖形中可以繼續(xù)分類。本環(huán)節(jié)引導學生思考在同一類三角形（即銳角三角形、直角三角形和鈍角三角形）中也存在異同。教師以銳角三角形為例，引導學生以角的大小作為特點來觀察。學生通過觀察、比較、操作，發(fā)現(xiàn)銳角三角形、鈍角三角形、直角三角形都有兩個角相等和三個角都不相等的情況，并且銳角三角形還有三個角全相等的情況。在操作的過程中，激活了學生直接比較和間接比較的活動經(jīng)驗，即通過對折發(fā)現(xiàn)兩個角是否相等，通過等量推斷得知三個角都相等，培養(yǎng)了學生的定量思考能力，

三、 總結(jié)與反思

（一） 找類特征的同時發(fā)展學生的學習能力

通過對“三角形的分類”這一內(nèi)容的理解、設(shè)計、實踐、反思，筆者對此類課有了更多的認識。相對于傳統(tǒng)教學，即以“先示范、后模仿”作為教學方式，本教學設(shè)計通過放手讓學生量一量、想一想，放慢教學節(jié)奏，提供充足的時間給學生感悟，尋找并概括出類特征。此過程發(fā)展了學生對平面幾何圖形的認識能力；他們能夠根據(jù)不同三角形角的不同組成情況分類，概括出類特征，發(fā)展了學生聯(lián)系圖形特點間的關(guān)系，并進行有效思考的能力；通過給三類三角形命名并說理的過程，發(fā)展了學生的邏輯表征能力。

（二）提出一些改進的想法

（1）在培養(yǎng)思考力的同時，適當引入智能化手段，運用現(xiàn)代科學技術(shù)，使三角形分類更加形象化，更加直觀，易于學生理解。

（2）本節(jié)課教師對學生分類思考過程的了解，僅僅局限于個別回答了問題的學生，而對了解其他學生是如何思考的，如何評價每個學生的思考過程，仍然需要探索。此外，教師還可以組織學生評價哪種思考路徑更加合理，引導其反思、總結(jié)自己的思考過程。

在今后的教學實踐中，筆者也會不斷嘗試，以期以理解數(shù)學、理解學生為基準，選取恰當?shù)慕虒W內(nèi)容，通過提出啟發(fā)性問題，放手讓學生探究，感悟數(shù)學知識，獲得更多學習經(jīng)驗。

姜霄虹 上海市第一師范學校附屬小學 200233