廣東省惠州市第一中學高中部 李曉波 (郵編:516007)

廣東省惠州市博羅中學高中部 易 敏 (郵編:516100)

2017年全國新課標Ⅰ卷理科壓軸題的解法分析

廣東省惠州市第一中學高中部 李曉波 (郵編:516007)

廣東省惠州市博羅中學高中部 易 敏 (郵編:516100)

2017年的高考已落下帷幕,今年的全國新課標卷1理科壓軸題簡明而清新,突出考查學生的分類討論與數(shù)形結合思想及數(shù)學思維的嚴謹性,要求學生有較好的處理函數(shù)與導數(shù)問題的基本功和綜合能力,它承載著選拔的功能,但并不是讓學生感到“不可一試”,筆者按自己的解答撰文評析,供讀者參考.

題目 (2017年全國新課標卷Ⅰ理科21題)

已知函數(shù)fx()＝ae2x＋(a－2)ex－x.

(1)討論fx()的單調性;

(2)若fx()有兩個零點,求a的取值范圍.為了方便,我們只討論第二問.

解法1 (“站在第一問的肩膀上”)

(i)當a≤0時,由(1)知,fx()在－∞,＋∞(

)上遞減,fx()最多有一個零點.(ii)當a＞0,由(1)知,fx()的最小值＋lna.又由于(或f(－2)＞0),＝＋∞(或＞0),因此要使f(x)有兩個零點,則必須＋lna＜0,而g′(a)＝0,則g(a)在(0,＋∞)單調遞增,且g(1)＝0.于是0＜a＜1時,g(a)＜0.即a∈(0,1),f(x)有兩個零點.

評注 此解法較好地利用了第一問的結論,由(1)可知若fx()有兩個零點,則必須使fx()的最小值小于0,然后把a的范圍解出來,并說明在最小值點的左右兩邊各取到一個零點即可(或者用極限方法說明).這應該是最多考生采用的方法,比較簡潔.

解法2 (“參變分離”)

圖1

評注 這種解法實質是進行參變分離,f(x)有兩個零點,轉化為y＝a與的圖象有兩個交點,從而研

究函數(shù)y＝g(x)的圖象,再結合圖象求出a的范圍.這種方法的優(yōu)點是思路明確,y＝a這個函數(shù)比較簡單,缺點是函數(shù)的求導

等運算比較復雜,在確定它的單調性后,還需要用極限思想(可能需要結合洛必達法則)去判斷并準確地畫出函數(shù)的圖象.

解法3 (轉化為“一直一曲”)

令t＝ex,由f(x)＝0得g(t)＝at2＋(a－2)t－lnt,t＞0.

f(x)有兩個零點即轉化為g(t)有兩個零點.由g(t)＝0得

(i)當a≤0時,h(t)＝a(t＋1)＜0,此時y＝h(t)與y＝k(t)只有一個交點.

(ii)當a≥1時,h(t)＝a(t＋1)≥t＋1.

所以F(t)在(0,1)遞減,在(0,1)遞增,因此F(t)的最小值為F(1)＝0,即,當且僅當t＝1時取等號.

所以y＝h(t)與y＝k(t)最多只有一個交點.

(iii)當0＜a＜1時,h(1)＜k(1),當t→0＋時,當t→＋∞時

所以y＝h(t)與y＝k(t)有兩個交點.

綜上所述,當0＜a＜1時f(x)有兩個零點.

評注 此方法與解法二的類似之處就是轉化為兩個函數(shù)的交點問題,是典型的轉化為“一曲一直”,雖然過程比解法二復雜一些,但是,它也是一種典型的轉化方法.

解法4 (轉化為“兩曲”)

令t＝ex,方程變形為g(t)＝at2＋(a－2)t－lnt,t＞0,g(t)有兩個零點轉化成曲線h(t)＝at2＋(a－2)t與F(t)＝lnt有兩個交點.(i)當a＜0時,令h(t)＝0得t＝0(舍去),

1＜0(舍去),此時h(t),F(t)最多只有一個交點,不符題意,如圖2.

(ii)當a＝0時,h(t)＝－2t,此時h(t), F(t)只有一個交點,不符題意.

(iii)當a＞0時,y＝h(t)的開口向上, h(t)＝0有解t1＝0(舍去),

圖2

故g(t)≥0.此時g(t)不可能有兩個零點,如圖3.

圖3

圖4

此時h(t)與g(t)有兩個交點,符合題意.綜上所述,當0＜a＜1時,f(x)有兩個零點,如圖4.

評注 本法轉化為一個二次函數(shù)和一個對數(shù)函數(shù),雖然兩個都是曲線,但是這兩個函數(shù)都是學生熟悉的典型函數(shù),再加上一點數(shù)形結合的思想,不難解決.

事實上,如果我們再大膽地開拓我們的思維,還可以轉化為如下兩個函數(shù)問題.

解法5 (轉化為“一凹一凸”)

(i)當a≤0時,g′(x)＝aex≤0,所以g(x)在R上單調遞減且恒小于0.y＝g(x)與y＝h(x)不可能有兩個交點.

圖5

(ii)當a≥1時, g(x)＝aex＋a≥ex＋1.

下面證明ex＋1≥2

(iii)當0＜a＜1時,可知,g(0)＜h(0),且g(－2)＞h(－2),當x→＋∞時,顯然g(x)＞h(x),所以y＝g(x)與y＝h(x)有兩個交點,如圖6.

綜上所述,當0＜a＜1時,f(x)有兩個零點.

圖6

2017-06-29)