江蘇省海門中學(xué) 楊智慧 (郵編:226100)

有趣的“折線型”函數(shù)

江蘇省海門中學(xué) 楊智慧 (郵編:226100)

含絕對值函數(shù)y＝x－a 的圖象是“v”型折線,稍復(fù)雜一點(diǎn)的是y＝x－a ＋x－b (a≠b)是槽型折線;y＝x－ax－b 則是“z”型折線,我們把這一類形如“y”的函數(shù)姑且稱為折線型函數(shù).筆者作了一些初步的探究,把發(fā)現(xiàn)的性質(zhì)整理出來,以期拋磚引玉.

考慮一般情況,函數(shù)y＝k1·x－a1＋k2· x－a2＋…＋kn·x－an(其中k1,k2,…, kn為非零實(shí)數(shù),a1＜a2＜…＜an),應(yīng)為分布在(－∞,a1),(a1,a2),…,(an,＋∞)這n＋1個(gè)區(qū)間上的折線段,n個(gè)折點(diǎn)分別當(dāng)x取a1,a2,…,an,時(shí)取得.考察函數(shù)在這n＋1個(gè)區(qū)間上線段的斜率:在區(qū)間(－∞,a1)上,函數(shù)可化為y＝－k1·(x－a1)－k2·(x－a2)－…－kn·(x－an),易得斜率為;在區(qū)間(a1,a2)上,函數(shù)可化為y＝k1·(x－a1)－k2· (x－a2)－…－kn·(x－an),易得斜率為k1－;在區(qū)間(a2,a3)上,函數(shù)可化為y＝k1· (x－a1)＋k2·(x－a2)－k3·(x－a3)－…－kn·(x－an),易得斜率為在區(qū)間(an,＋∞)上,函數(shù)可化為y＝k1· (x－a1)＋k2·(x－a2)＋…＋kn·(x－an)易得斜率為

綜上可得如下結(jié)論:

性質(zhì) 函數(shù)y＝k1·x－a1＋k2·

x－a2＋…＋kn·x－an(其中k1,k2,…, kn為非零實(shí)數(shù),a1＜a2＜…＜an)圖象應(yīng)為分布在(－∞,a1),(a1,a2),…,(an,＋∞)這n＋1個(gè)區(qū)間上的折線段,n個(gè)折點(diǎn)分別當(dāng)x取a1、a2、…、an,時(shí)取得.在區(qū)間(－∞,a1)上,線段斜

根據(jù)以上性質(zhì),我們不難獲得如下結(jié)論:

推論1 若ki為參數(shù),隨著ki的變化,圖象上對應(yīng)折點(diǎn)(ai,yi)是定點(diǎn),而當(dāng)ki增大時(shí),折點(diǎn)(ai,yi)左側(cè)部份的圖象折線段斜率減少,右側(cè)部份的圖象折線段的斜率增大,圖象上除定點(diǎn)(ai,yi)外,所有的點(diǎn)均不同程度向上移動(dòng).

推論2 函數(shù)y＝k1·x－a1＋k2· x－a2＋…＋kn·x－an＋kx－a (其中k1、k2、…、kn、k為非零實(shí)數(shù),a1＜a2＜…＜an),a為參數(shù),當(dāng)a在某個(gè)區(qū)間(at,at＋1)內(nèi)變化時(shí),函數(shù)圖象在所有區(qū)間上的折線段斜率不變;當(dāng)a從某個(gè)區(qū)間(at－1,at)進(jìn)入相鄰區(qū)間(at,at＋1)時(shí),函數(shù)圖象在at－1左側(cè)所有區(qū)間和at＋1右側(cè)所有區(qū)間上的折線段斜率不變.

推論3 函數(shù)y＝k1·x－a1＋k2· x－a2＋…＋kn·x－an(其中k1,k2,…, kn為非零實(shí)數(shù),a1＜a2＜…＜an)在區(qū)間(－∞,a1)和(an,＋∞)上的斜率互為相反數(shù),當(dāng)＞0時(shí),函數(shù)整體開口向上,函數(shù)有最小值;當(dāng)＜0時(shí),函數(shù)整體開口向下,函數(shù)有最大值;當(dāng)＝0時(shí),函數(shù)在區(qū)間(－∞,a1)和(an,＋∞)上為兩條與x軸平行的射線,有最小值和最大值;

推論4 函數(shù)y＝k1·x－a1＋k2·

x－a2＋…＋kn·x－an(a1＜a2＜…＜an),其中k1、k2、…、kn為正實(shí)數(shù)時(shí),函數(shù)在區(qū)間(－∞,a1)、(a1,a2)、…、(an,＋∞)上的斜率依次記為K0、K1、K2、…、Kn,則有K0＜0,Kn＞0,且K0＜K1＜…＜Kn,函數(shù)的最小值在折線段斜率絕對值Ki的最小值處,Ki為正時(shí),線段左端點(diǎn)取得;Ki為負(fù)時(shí),線段右端點(diǎn)取得.

圖1

由以上性質(zhì)及推論我們可以構(gòu)造一些有趣的折線:如取k1＝－1、k2＝1、k3＝－1、k4＝1、k5＝－1、k6＝1,則折線段的斜率從左至右依次0、－2、0、－2、0、－2、0,可得到階梯形的函數(shù)(如圖1)y＝－x＋4＋x＋3－x＋2＋x＋1－x＋x－1;

圖2

如取k1＝1,k2＝－1,k3＝1,k4＝－1,k5＝1,則折線段的斜率從左至右依次－1、1、－1、1、－1、1,可得到鋸齒形的函數(shù)(如圖2)y＝x＋3－x＋2＋ x＋1－x＋x－1;

如取k1＝1、k2＝1、k3＝1、k4＝1、k5＝1,則折線段的斜率從左至右依次－5、－3、－1、1、3、5,可得到類“V”形的函數(shù)(如圖3)y＝x＋3＋x＋2＋x＋1＋x＋x－1.

為說明以上性質(zhì)的應(yīng)用,舉如下幾個(gè)例題:

例1 (2011年“北約”自主招生)

圖3

求f(x)＝x－1＋2x－1＋…＋2011x－1的最小值.

則絕對值的系數(shù)均為正,由推論4知折線率從左至右由負(fù)到正,單調(diào)增大,設(shè)上線段斜率絕對值最小,即

有最小絕對值,可令－i2－i＋2023066＝0,解得i≈1421.85,當(dāng)i＝1421時(shí),Ki＝2404;當(dāng) i＝1422時(shí),Ki＝－440;故當(dāng)i＝1422時(shí),區(qū)間上線段有最小斜率絕對值,且斜率為負(fù),所以時(shí),函數(shù)有最小值

例2 討論函數(shù)y＝x＋1＋ax ＋x－1在a取何值時(shí),只有最大值;在a取何值時(shí),只有最小值;在a取何值時(shí),既有最大值又有最小值.

解 根據(jù)推論3,當(dāng)1＋a＋1＞0,即a＞－2時(shí),函數(shù)有最小值;當(dāng)1＋a＋1＜0,即a＜－2時(shí),函數(shù)有最大值;當(dāng)1＋a＋1＝0,即a＝－2時(shí),函數(shù)有最小值也有最大值.

注 有興趣的讀者可以考慮在a取何值時(shí),在x＝0處最小(大)值;a取何值時(shí),在x＝1處最小(大)值.

例3 已知x＋y＋z＝3,求證:2x－1＋2y－1＋2z－1＋3x＋1＋3y＋1＋3z＋1≥18.

證明 構(gòu)造函數(shù)f(x)＝2x－1＋3x＋1,由推論4,f(x)為凸函數(shù),根據(jù)詹森不等式,

故所證不等式成立.

例4 討論含參數(shù)k的方程－x＋3＋x＋2－x＋1＋x ＝kx－2解的情況.

圖4

解 方程可化為函數(shù)y＝－x＋3＋x＋2－x＋1＋ x與y＝kx－2圖象的公共點(diǎn)問題.由基本性質(zhì)易知函數(shù)y＝－|x＋3 |＋|x＋2|－|x＋1|＋|x|的五條折線段的斜率依次為0,－2,0,－2,0,四個(gè)折點(diǎn)A－3,2()、B－2,0()、C－1,0()、D0,－2(),函數(shù)y＝kx－2圖象恒過0,－2(),(如圖4)CD、AD、BD的斜率依次為,由圖易得:當(dāng)k∈(－∞,－2)∪(0,＋∞)時(shí),兩個(gè)圖象有唯一公共點(diǎn),方程有唯一解0;

當(dāng)k＝0時(shí),方程的解集[0,＋∞);

當(dāng)k＝－2時(shí),方程的解集[－1,0];

當(dāng)k＝－1時(shí),方程有3個(gè)解,－4、－2,0;當(dāng)k∈(0,－1)時(shí),方程有2個(gè)解,一解為0,一解在區(qū)間(－∞,－4)內(nèi).

2017-06-02)