淺談小學(xué)數(shù)學(xué)中圓柱與圓錐的體積關(guān)系

彭慶如

摘要：底和高相等的V圓柱V圓錐的關(guān)聯(lián)為V圓錐=1/3V圓柱?？梢园训缀透呦嗟鹊腣圓錐和V圓柱，將其劃分為四部份。其中圓柱的體積是3/4，圓錐的體積是1/4。圓錐比圓柱少兩份。

關(guān)鍵詞：小學(xué)數(shù)學(xué)；圓柱；圓錐；體積關(guān)系

在小學(xué)數(shù)學(xué)的教學(xué)內(nèi)容中，包含了對圓柱和圓錐的相關(guān)知識，以及圓柱與圓錐在V和S等方面的關(guān)聯(lián)。而在圓柱錐的體積（V）與表面積（S）的算題過程中，要首先理解它們之間的大小關(guān)系和比值關(guān)系。書中的知識并不難，只要記住相關(guān)的計算公式，就能正確解答。在學(xué)生中，經(jīng)常出現(xiàn)這樣的錯誤，經(jīng)常是過程是對的，而計算是錯的。這樣的問題不應(yīng)該犯，是最應(yīng)該引導(dǎo)改正之處。老師對學(xué)生一定要進行加深的引導(dǎo)和指正，讓學(xué)生在解題當(dāng)中，避免不必要的失誤，不要粗心。例如，教師可以出一些比較有代表性的例題，把問題的癥結(jié)明確指出，以免學(xué)生再出錯。

一、底和高相等的圓柱錐的體積

1、給出圓柱與圓錐體積的“和”。在考題中，我們時常能見到這樣類型的題型：底和高相等的圓錐圓柱的體積和已給出相關(guān)條件，問題是求出V圓錐和V圓柱，有時還會是圓柱比圓錐大的那部分V值。在面對這樣的題目時，可以把圓柱的體積均等分為3等份，V圓錐是1等份，如此一來，圓錐圓柱的體積是平均的四等份。當(dāng)題目已經(jīng)提供了體積和的條件，那么就將其均等的分成四等份，計算出其中1份的體積值，這其中一個的V值就與V圓椎相同。而V圓柱是V圓錐的3（倍），因此，V圓錐乘三即V圓柱。通過此途徑，同樣的道理可得圓錐比圓柱小的那份體積值。因此，可看出，一種原理可以活用到很多題目中。

題目1：當(dāng)中條件：v值相加值是六十四立方毫米的底和高相等的圓柱錐。問題：圓錐比圓柱少幾立方毫米？

題的分析：據(jù)題所給的，我們可以得出的為，其中圓錐占總體積數(shù)值的一等份，圓柱則為三等份，總體積值被均等分為四等份。由上文的分析得，圓錐占了1/4，圓柱又為3/4，V圓錐是V圓錐的1/3，V圓柱比V圓錐的多了2/3。學(xué)生只需計算出單位一中的其中1份，問題就會得解了。

由題目和條件得計算過程：

總體積64除以4份得14立方毫米。這為其中一等份的數(shù)值。其中，圓柱占3/4，所以，一份的14立方毫米乘以3份，得圓柱的體積值42立方毫米。將圓柱的體積減去圓錐的體積，最后所得的值就是題目問題的答案。過程中，同學(xué)們要避免解題當(dāng)中出現(xiàn)不應(yīng)該的失誤。最后，依據(jù)標準解題格式，勿忘記要寫答。

2、給出圓柱與圓錐的體積之“差”。除了上文提到的題型外，還有些題目提供底和高相等的條件下的圓錐和圓錐的體積差值，問題為求它們的體積值。同時，在有些情況下，會出現(xiàn)求V圓柱是V圓錐的多少倍，或V圓錐占V圓柱的其中幾等份。

據(jù)書上的知識，我們可以知道，底和高相等的V圓柱是V圓錐三倍，若將圓柱均等平分為3等份，那么，圓錐占1/3等份。由此，可以將圓柱圓錐體積和均等分成四等份，隨后我們可以看出，V圓錐比V圓柱少2/3，而多了的每一相同的部分V值都與V圓錐相等，而V圓柱是V圓錐的3（倍），V圓柱也容易解出來了。

題一：題中所給信息：從圓柱中挖出一個與圓柱底和高都相等的圓錐，其減小了36（立方毫米）。問題：V圓錐為多少立方毫米？圓柱的體積為多少立方毫米？圓柱剩下部分的體積為圓錐的體積的多少倍數(shù)？

由相關(guān)條件和問題，得到以下解析：挖出的圓錐與圓柱的底和高都相等，因此定理可以在這道題中得到應(yīng)用。圓錐的體積是圓柱體積的1/3，圓柱剩下的部分為2/3。將圓柱均等分為三等份，那么挖出的圓錐是其中的一份。搞清楚之中的關(guān)系后，問題就簡單了許多。

將減小的體積36立方毫米除以兩分，得出一份的體積值，這也是圓錐的體積，為18立方毫米。隨后，圓柱是圓錐的三倍，因此，一份的值再乘以3，得到圓柱的體積，為54立方毫米[1]。倍數(shù)即為圓柱的體積值除以圓錐的體積值，是36÷18，結(jié)果為2。最后，再次強調(diào)，解不能出錯。

3、所給的圓柱或圓錐的V值，求出另一個的V值。在教學(xué)的過程中，題目中也經(jīng)常會提供底和高相等的圓柱錐中當(dāng)中的一個的V值，并要求同學(xué)們解出另一個的體積，有時也會碰到圓錐與V圓柱差的值是多少的問題。可以知曉，V圓柱是V圓錐高兩均份，是三（倍）的聯(lián)系，而圓錐比圓柱少兩個相同的份，是V圓柱1/3。當(dāng)題目的條件給出其中任意一個的體積時，我們只需根據(jù)公式和定理，進行正確的乘除即可。即V柱×1/3=V椎，由此易得，V椎×3=V柱。

二、V圓柱和V圓錐在相等或不相同的狀態(tài)下，它們的底和高的聯(lián)系

1、V圓柱與V圓錐相等，找出它們的S和H的聯(lián)系。題目中，學(xué)生還會遇到只給出圓柱和圓錐的體積相同，和其中一方的底或高的條件信息，問題為求它們的底面積或者高的關(guān)系。在條件限制下，它們的關(guān)聯(lián)可劃分兩方面。其一，已給出圓錐圓柱的（S）的關(guān)系，求其高（H）的關(guān)系。其二，就是與上述恰恰相反，只給出其H的關(guān)系，求S的關(guān)系。

例題：條件：V圓柱=V圓柱，S圓柱=3S圓錐。問題：H圓柱：H圓錐=？

由提供的相關(guān)信息，可以得到：V圓柱=V圓柱，即它們V相同，S圓柱乘圓柱的高與1/3的S圓錐乘圓錐高的值相同。S柱=3S椎，因此3S椎H柱=1/3S椎H椎，再將等式÷相同的數(shù)字，使其相同的值的結(jié)果不發(fā)生改變，即圓柱和圓錐的高的比和它們的S值比相同，即圓柱的高：圓錐的高=1/3：3=1：9。

2、V圓柱與V圓錐不相同，找出它們的S和高的聯(lián)系。下面有個題就能很好的說明它們的關(guān)系。題一：給出的有：V圓柱=1/2V圓錐，S圓柱=3S圓錐。問題：H圓錐為H圓柱的（）倍。

A.1/6

B.5（倍）

C.14（倍）

D.18（倍）

由題目所給條件和問題，解析得：可得出S圓錐和圓柱高的積的3（倍）相等于1/3的S圓錐和圓錐的高的積再乘以1/2，因此，1/6H椎=3H柱，等式兩方同乘六，最后得出圓錐的高是圓柱的高的十八倍。因此，選答案D。

三、結(jié)語

雖然，書上的知識內(nèi)容比較單一，但問題的解決可以有很多途徑。因此，老師在教學(xué)的過程中，不妨對書中的相關(guān)定理和公式進行進一步的拓展，發(fā)掘大家的潛力，將書上的知識學(xué)透。老師還應(yīng)提升與同學(xué)們的討論頻率，對同學(xué)們的解答題的想法加深一定程度的引導(dǎo)。

參考文獻

[1] 李正霞.淺談小學(xué)數(shù)學(xué)中圓柱與圓錐的體積關(guān)系[J].才智，2014，（21）：87.endprint