席愛勇

【摘 要】數(shù)學多元表征學習是基于學生認知規(guī)律，科學利用學生認知規(guī)律，組織引導學生進行數(shù)學深度學習的學習方式，其本質內涵是將數(shù)學學習對象進行心理多元認知編碼并與之建立對應、建構意義聯(lián)系，其認知心理機制是建構“內化—聯(lián)系—外化”的數(shù)學深度學習生態(tài)循環(huán)系統(tǒng)。在實踐層面，教師要注重數(shù)學學習對象多樣化呈現(xiàn)，促進數(shù)學知識的多元建構；注重數(shù)學內在表征的多元聯(lián)系，促進數(shù)學表征的轉換轉譯；注重數(shù)學內在表征的多元外化，促進數(shù)學思維的可視可感，讓學生的數(shù)學學習深度發(fā)生，從而實現(xiàn)學生數(shù)學核心素養(yǎng)的整體提升和拔節(jié)生長。

【關鍵詞】多元表征 深度發(fā)生 本質內涵 心理機制

《義務教育數(shù)學課程標準（2011年版）》（以下簡稱《課標》）明確指出：“課程內容要反映社會的需要、數(shù)學的特點，要符合學生的認知規(guī)律。”學生的認知規(guī)律到底有哪些？課程內容怎樣安排才能符合學生的認知規(guī)律？如何利用學生的認知規(guī)律科學有效地引導學生進行數(shù)學學習？……凡此種種，《課標》都沒有給出明確答案，需要我們在教學實踐中去探索、去研究、去反思。

近些年來，歐美一些國家小學數(shù)學課堂廣泛開展數(shù)學多元表征學習，給我們研究學生的數(shù)學認知心理提供了一條可行的路徑。

一、數(shù)學多元表征的本質內涵

《辭?！罚?009年版）對“表征”解釋為“揭示；闡明?！仓甘挛镲@露在外的征象”。即表征有兩層含義，作為動詞，表示對事物本質的揭示和闡明；作為名詞，表示事物顯示出來的現(xiàn)象，表現(xiàn)出來的特征。因此，表征作為認知心理學的一個核心概念，指客觀認知對象在心理活動中的表現(xiàn)和記載的方式，既是認知活動的過程，也是認知活動的結果。

數(shù)學多元表征就是將數(shù)學學習對象進行心理多元認知編碼并與之建立對應、建構意義聯(lián)系的過程。數(shù)學多元表征分外在表征和內在表征兩種類型，外在表征是指以語言、文字、符號、圖片、具體物、活動或實際情境等形式存在的表征。一般而言，外在表征不是文字符號就是圖形符號，其中文字符號的表征較為抽象，它所表征的信息可以從任何知覺形式中取得，我們把這種表征稱為“敘述性表征”；而圖形符號較為具體，雖然也能從任何知覺形式中取得，但與視覺的關聯(lián)性較強，因此圖形表征也叫視覺化表征或描繪性表征。內在表征是指存在于個體頭腦里而無法直接觀察的心理表征。內在表征也有不同的形式，有些表征是個別的、外顯的，能根據(jù)規(guī)則加以組合的，以及較為抽象的形式；有些則不是個別的，以內隱的方式表征各種事物，具有寬松的組合規(guī)則，以及較為具體的形式。

二、數(shù)學多元表征學習的心理機制

數(shù)學多元表征學習就是基于數(shù)學多元表征的數(shù)學學習，其認知心理機制可以用圖1表述。

從圖1可以看出，教師將數(shù)學學習對象以言語信息（口語、文字、符號）和非言語信息（實物、模型、圖片、情境、活動）形式呈現(xiàn)給學生，進行表征性加工（內化），言語信息以言語碼形式進入學生的言語系統(tǒng)，非言語信息以心象碼形式進入學生的非言語系統(tǒng)，新碼在系統(tǒng)內與學生系統(tǒng)內原有的舊碼進行聯(lián)想性加工，實現(xiàn)系統(tǒng)內信息相互轉換，建構意義聯(lián)系，同時在系統(tǒng)間進行參照性加工，實現(xiàn)系統(tǒng)間信息相互轉譯，建構意義聯(lián)系，最后，學生再以言語信息和非言語信息形式外顯出來（外化）。數(shù)學多元表征學習的“內化—聯(lián)系—外化”構成了學生數(shù)學深度學習的生態(tài)循環(huán)系統(tǒng)。

三、數(shù)學多元表征學習的實踐策略

（一）注重數(shù)學學習對象多樣化呈現(xiàn)，促進數(shù)學知識的多元建構

數(shù)學學習對象包括數(shù)學概念、命題、關系、運算和問題解決等，呈現(xiàn)方式要多樣化，既要有言語文字的，也要有直觀圖形的，還要有數(shù)字符號的，這樣才能凸顯數(shù)學學習對象的多元屬性，便于學生進行數(shù)學信息的多通道輸入，實現(xiàn)數(shù)學知識的多元表征，數(shù)學意義的多元建構。

例如，“偶數(shù)”這個概念可以有如下幾種呈現(xiàn)方式（如表1）。

以圖形和動畫的形式呈現(xiàn)偶數(shù)概念，學生就會在頭腦中建構偶數(shù)的形表征：可以2個一組2個一組地畫出來的。偶數(shù)的圖形表征給學生建構偶數(shù)的文字表征“是2的倍數(shù)的數(shù)”“能被2整除的數(shù)”以及符號表征“2a” 一個感性經(jīng)驗支撐，便于學生理解偶數(shù)的本質內涵，實現(xiàn)其意義建構。以數(shù)據(jù)列舉的形式呈現(xiàn)偶數(shù)概念，學生就會在頭腦中建構偶數(shù)的數(shù)表征，便于學生發(fā)現(xiàn)偶數(shù)的外部特征：個位上是2，4，6，8，0，理解偶數(shù)概念的外延，實現(xiàn)其意義建構。

當然，數(shù)學學習對象的呈現(xiàn)方式也并非越多越好，各種呈現(xiàn)方式要做到既能互相補充，互相解釋，也要做到本質內涵的內在一致，相互融合，這樣才能做到既不增加學生的認知負荷，又能對數(shù)學學習對象有一個全面的認識和深刻的理解，實現(xiàn)數(shù)學知識的多元表征，數(shù)學意義的多元建構。

（二）注重數(shù)學內在表征的多元聯(lián)系，促進多元表征的轉換轉譯

抓住數(shù)學表征內在的多元聯(lián)系，實現(xiàn)數(shù)學各種表征內部的靈活轉換和表征之間的靈活轉譯，是學生形成數(shù)學知識的整體結構和意義表征，促進數(shù)學知識靈活提取和實踐應用，實現(xiàn)轉識成智的重要標志。

例如，下面三幅圖（如圖2），盡管桃子的總數(shù)不同，涂色桃子的數(shù)量也不同，但都能用[23]表示涂色桃子數(shù)占桃子總數(shù)的幾分之幾，這就需要學生在圖形表征系統(tǒng)內部進行轉換，即把桃子總數(shù)看作單位“1”，平均分成3份，其中2份就是桃子總數(shù)的[23]。當然，在這個過程中，也包含將圖形表征轉譯成言語符號表征[23]的過程。

可見，讓學生不斷加強同類表征系統(tǒng)內部的轉換和不同類型表征系統(tǒng)間的轉譯，有利于培養(yǎng)他們對數(shù)學的深度理解能力和靈活綜合思維能力，提升他們的數(shù)學綜合素養(yǎng)。

（三）注重數(shù)學內在表征的多元外化，促進數(shù)學思維的可視可感

如果說數(shù)學理解是數(shù)學學習不斷內化并建構聯(lián)系的過程，那么數(shù)學表達就是數(shù)學學習不斷外化并進行實踐應用的過程。數(shù)學多元表征，不僅要注重數(shù)學學習的內化，建構數(shù)學內在表征的聯(lián)系，也要注重數(shù)學學習的外化，讓學生的數(shù)學內在表征和數(shù)學思維過程可視可感，有利于發(fā)展學生數(shù)學思維表達和實踐綜合應用的能力。

例如，筆者在執(zhí)教蘇教版六年級上冊“解決問題的策略——假設”例1時（如圖3），放手讓學生表示出自己的想法和解答過程。

有的學生用模擬圖表征，具體直觀形象；有的學生則用線段圖表征，其思維抽象水平就要高于用模擬圖表征的學生。有的學生用分數(shù)的思想列式解答，有的學生用比的思想列式解答，還有的學生用方程的思想列式解答。筆者讓他們分別把自己的想法和解法畫出來、寫出來（如圖4、圖5、圖6）。

從圖4的模擬圖形和算式表征中，我們不難看出學生的思維過程：把大杯容量看作單位 “1”，小杯容量就是[13]，6個小杯可以換成[13]×6=2（個）大杯，這樣720毫升的果汁就相當于倒?jié)M3個大杯，用720÷3就可以求出大杯的容量，小杯容量也就迎刃而解了。從圖5的模擬圖形和算式表征中，我們可以看出學生是把“小杯容量是大杯的[13]”轉化成“大杯與小杯容量之比是3︰1”，即1個大杯可以換成3個小杯，這樣720毫升的果汁就相當于倒?jié)M9個小杯，用720÷9就可以求出小杯的容量，大杯容量也就順利解決了。從圖6的線段圖形和算式表征中，我們可以看出學生是把大杯容量設為x毫升，則小杯容量就是[x3]毫升，用列方程順利解決問題。

同樣的問題，不同的學生表征出來的形式是不同的，從中可以看出學生不同的認知風格和思維水平。

總之，數(shù)學多元表征學習的過程就是將客觀數(shù)學學習對象與學生心理認知系統(tǒng)建立多元化對應關系的過程。在內容上，數(shù)學多元表征的豐富性和相互聯(lián)系性構成了數(shù)學學習對象的網(wǎng)絡結構；在方法上，數(shù)學多元表征間的轉換或轉譯構成了數(shù)學學習中邏輯思維與非邏輯思維的互補；在過程上，數(shù)學多元表征的“內化—聯(lián)系—外化”構成了數(shù)學學習的生態(tài)循環(huán)系統(tǒng)。數(shù)學多元表征的網(wǎng)絡結構、互換互譯、內外循環(huán)讓學生的數(shù)學學習深度發(fā)生，有力地促進學生進行數(shù)學理解、意義建構、數(shù)學思維和實踐應用，從而實現(xiàn)學生數(shù)學素養(yǎng)的整體提升和拔節(jié)生長。

參考文獻：

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