田曉東

摘要：工程制圖中經(jīng)常需要求解直線的實長，可見其重要性。但是對于空間想象能力一般的學(xué)生，現(xiàn)有方法具有一定的難度?，F(xiàn)在新的教學(xué)思路的啟發(fā)下創(chuàng)造一種新的求解直線實長的方法，其相比于現(xiàn)有方法具有更加簡單直觀、易于理解掌握的特點。由此可見教學(xué)思路的改革具有很重要的現(xiàn)實意義和推廣價值。

關(guān)鍵詞：全等四邊形 矩形對邊

中圖分類號：TH126 文獻標識碼：A 文章編號：1009-5349（2017）17-0183-02

工程制圖是一門工程院校的基礎(chǔ)課，其中的畫法幾何部分是整門課程的基礎(chǔ)。其特點是既有嚴密的邏輯性同時又要求學(xué)習(xí)者具有較好的空間想象能力，從而能夠正確地建立空間立體與投影面投影的關(guān)系。為了適應(yīng)當前科學(xué)技術(shù)的進展以及我國大多數(shù)院校機械類、近機械類各專業(yè)課程的教學(xué)現(xiàn)狀和教學(xué)改革發(fā)展趨勢，針對該課程的上述特點，教師在授課時既要培養(yǎng)學(xué)生的空間想象、空間思維能力、創(chuàng)造性構(gòu)型設(shè)計能力，提高學(xué)生的“入門”水平，同時又要降低“入門”的門檻，在不刪減教學(xué)內(nèi)容的前提下盡量簡化尤其是涉及空間思維的過程，通過兩方面的努力來提高教學(xué)質(zhì)量、保證教學(xué)效果。當前該課程教學(xué)改革的重點是加強學(xué)生空間想象、空間思維能力的培養(yǎng)[1]，但學(xué)生的空間想象能力良莠不齊，能力的提高也并非是一朝一夕所能夠達到的，基于這種實際情況，本著堅持理論聯(lián)系實際的方針，適當降低“入門”的門檻，盡量簡化涉及空間想象的思維過程也是一種非?，F(xiàn)實的教學(xué)思路，有時能夠達到事半功倍的教學(xué)效果，就是在這種教學(xué)思路的啟發(fā)下創(chuàng)造出了一種新的工程制圖中求解空間直線實長的新方法。以下是對該方法的具體闡述以及幾何原理推導(dǎo)。

一、方法介紹

首先通過一個例子，介紹一下該方法的具體步驟：

空間直線AB的正面投影為a′b′，水平投影為ab，求空間直線AB的實長。新方法將通過（a）-（d）四步求解直線AB的實長：

步驟（a）：分別連接直線兩個端點的水平投影和正面投影，兩條直線分別交投影軸于O1、O2。

步驟（b）：分別過直線兩個端點的水平投影作垂線垂直于直線的水平投影。

步驟（c）：分別在兩條垂線上截取對應(yīng)的兩條直線在投影軸之上的部分。

步驟（d）：連接兩截點，所得到的直線的長度即為空間直線AB的實長。

二、 幾何原理推導(dǎo)

接下來闡述一下新方法的推導(dǎo)過程：

首先通過步驟（a）連接a′a、b′b，再使V面與H面相互垂直，然后以此為已知部分，在此基礎(chǔ)上畫出空間直線AB并表達出AB與其投影的投影關(guān)系。這里我們要求解的是直線AB的實長，但是此時我們無法直接測量出空間直線AB的長度。關(guān)于這個問題，現(xiàn)有的解決方法是：

直接在空間中以空間直線AB為斜邊建立直角三角形ABC，然后通過找出直角三角形ABC中直角邊與已知直線的對應(yīng)關(guān)系使直角邊的長度得到確定，從而最終確定空間直線AB的長度。對于現(xiàn)有的方法，雖然空間直角三角形的建立是我們比較容易想到的，但并不是兩個直角邊都與已知直線有著直接的對應(yīng)關(guān)系。其中一個直角邊的長度與a′b′兩端點到H面的距離差有關(guān)。[2]而將這個距離差與a′、b′兩端點到H面的距離差等同起來則需要具備較好的空間想象能力，這無疑增加了現(xiàn)有方法的理解難度！而本文采用的方法則是：

通過將AB所在的四邊形ABba映射到H面的方法在H面上得到四邊形ABba的全等四面形，再通過測量這個四邊形中與AB對應(yīng)的直線，來得到AB的實長。全等四邊形的具體畫法如圖1所示：

首先，以ab邊作為全等四邊形與四邊形ABba的公共邊；其次，根據(jù)全等關(guān)系：ac=Aa，bd=Bb，但是Aa和Bb是空間直線，無法直接得到它們的實際長度以作為在H投影面上繪制ac、bd的依據(jù)，不過由點的投影定義以及V面與H面的垂直關(guān)系可得：Bb′O2b和Aa′O1a均為矩形，因此Bb=b′O2，Aa=a′O1，而b′O2和a′O1均可通過步驟（a）獲得，由此ac、bd的長度得到了確定；

最后，根據(jù)全等關(guān)系：∠cab=∠baA=90°，∠dba=∠abB=90°。

到此為止，繪制全等四邊形abdc的所有參數(shù)均得到確定：即可在水平H面上通過步驟（b）-（d）確定四邊形abdc，最終得到與空間直線AB等長的、可測量的直線cd。

現(xiàn)對兩種方法各自的特點進行分析：

（1）現(xiàn)有方法通過在空間建立一個以直線AB為斜邊的空間直角三角ABC來求解AB的實長，而本文中的新方法則直接利用圖中已有的空間四邊形ABba進行求解。

（2）現(xiàn)有方法在確定空間三角形直角邊的長度時并不能直接建立直角邊與圖中已知直線的對應(yīng)關(guān)系，這種關(guān)系的建立需要通過較為復(fù)雜的空間分析過程才能得到，與此形成對比的是：本文的方法所利用的空間四邊形ABba，其中Aa=a′O1，ab=ab，Bb=b′O2，可見用來確定空間四邊形ABba形狀的三條邊Aa、ab、Bb的長度均能與圖中的已知直線建立直接的對應(yīng)關(guān)系，因此能夠很方便地確定四邊形的形狀并映射到H投影面上，從而確定空間直線AB的長度。

（3）當空間直線是正平線、水平線或側(cè)垂線時，按照現(xiàn)有的方法無法建立直角三角形，需要利用特殊位置直線的性質(zhì)解決問題。新方法則不存在這個缺點，適用性強。

（4）此外相比于現(xiàn)有的另一種方法——換面法，本文的方法節(jié)省了兩個步驟：一是建立與空間直線平行的鉛垂面；二是以鉛垂面為投影面作空間直線AB的投影。而恰恰是將這兩個步驟在紙面上實現(xiàn)以便從原理上對換面法進行理解這個操作，對于空間感不強的學(xué)習(xí)者來說本身就是一個難題，就更談不上對換面法的理解了。因此利用本文的方法求解空間直線的實長更具有思路簡明好理解、步驟緊湊易操作的特點，學(xué)生獨自進行原理推導(dǎo)會變得更加容易實現(xiàn)，從而真正做到在理解的基礎(chǔ)上掌握。

三、結(jié)論

現(xiàn)有方法的基本原理是以所要求解長度的空間直線為斜邊，通過在空間中建立一個直角三角行進行求解的。雖然實現(xiàn)步驟上并不繁瑣，但是推導(dǎo)過程的進行很大程度上有賴于良好的空間想象能力，增加了學(xué)生理解的難度。而本文中介紹的方法則直接利用已經(jīng)存在的四邊形作為問題求解的載體，對四邊形的確定過程也簡單直接，因此最大程度地簡化思路，便于理解和記憶，達到了降低“門檻”的目的，新方法在現(xiàn)實教學(xué)中實踐獲得了更好的教學(xué)效果，具有很強的推廣應(yīng)用價值。

四、教學(xué)思路改革的意義

新方法實踐成功的事實再次證明，對于工程制圖這種以觀察實踐為主要教學(xué)方法和教學(xué)手段的課程，如果不進行與時俱進的創(chuàng)新改革，用創(chuàng)新的方式降低工程制圖的學(xué)習(xí)難度，而是照本宣科地進行教學(xué)，一味地強調(diào)提高學(xué)生的空間想象能力，短時間內(nèi)很難達到理想的效果。學(xué)生甚至?xí)黄涑橄蟮目臻g思維方式所難倒，大大限制了學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性，最終使這門課程變得枯燥無味，毫無吸引力可言。只有對教學(xué)思路進行適當?shù)母母?，有效地降低難度，才能打破工程制圖在學(xué)生心目中的神秘感和恐懼感，讓學(xué)生意識到即使空間感不是很好，依然能夠通過創(chuàng)新出的新方法理解并學(xué)好工程制圖，從而培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)工程制圖的興趣、建立信心，甚至鼓勵學(xué)生在學(xué)好的基礎(chǔ)上進行獨立的思考，由學(xué)習(xí)者變?yōu)閯?chuàng)新者，在學(xué)習(xí)知識的同時獲得成就感。更重要的是通過對工程制圖的學(xué)習(xí)，保持學(xué)生思考的獨立性，不墨守成規(guī)，勇于創(chuàng)新，用創(chuàng)造性的方法解決學(xué)習(xí)當中遇到的實際問題，培養(yǎng)學(xué)生走向社會后獨立工作的能力。因此可以說，新方法給我們帶來的工程制圖教學(xué)思路改革的啟示，要比新方法本身幫助學(xué)生解決的某些具體問題更具有實際意義。

參考文獻：

[1]吳碧金，胡志超，崔曉梅.“畫法幾何及工程制圖”教學(xué)改革研究與實踐[J].集美大學(xué)學(xué)報，2007，8（2）：82.

[2]何銘新，錢可強，徐祖茂.機械制圖[M].高等教育出版社，2010.

責(zé)任編輯：孫 瑤endprint