殷澤陽，羅建軍，魏才盛，袁建平

(1. 西北工業(yè)大學航天學院，西安 710072；2. 航天飛行動力技術重點實驗室，西安 710072)

非合作目標接近與跟蹤的低復雜度預設性能控制

殷澤陽1,2，羅建軍1,2，魏才盛1,2，袁建平1,2

(1. 西北工業(yè)大學航天學院，西安 710072；2. 航天飛行動力技術重點實驗室，西安 710072)

針對追蹤航天器接近和跟蹤非合作目標任務中的相對位姿控制問題，基于預設性能控制理論提出一種低復雜度預設性能控制方法(LCPPC)。該控制方法一方面無需對模型的具體參數(shù)(如追蹤航天器與非合作目標的質(zhì)量、慣量參數(shù)等)進行先驗估計或在線辨識，另一方面又能預先設計系統(tǒng)的瞬態(tài)和穩(wěn)態(tài)性能，保證相對位姿控制系統(tǒng)在存在外部干擾、不確定性和非合作目標不可測機動的條件下仍能滿足預先設計的性能要求。仿真結(jié)果表明，該控制方法能夠在未知系統(tǒng)參數(shù)的條件下，實現(xiàn)非合作目標交會任務的快速實時高精度控制。

預設性能控制；非合作目標；無模型；低復雜度；魯棒控制

0 引 言

自主空間交會是對目標進行在軌服務的前提，也是當前空間技術領域的研究熱點。隨著空間技術的不斷發(fā)展，針對空間非合作目標的在軌服務任務引起了學者的關注。2016年，國家自然科學基金委員會[1]將“空間翻滾目標捕獲過程中的航天器控制理論與方法”列為國家自然科學基金重大項目，充分證明了針對非合作目標的接近、跟蹤和在軌服務是我國航天領域未來發(fā)展的重大需求，具備重要的理論及工程意義。

由于非合作目標具有外形與動力學參數(shù)的先驗信息少、缺少合作標識、可能存在翻滾、信息層面不溝通、機動行為不配合等特點，其交會軌跡規(guī)劃與控制需要綜合考慮交會過程中的不確定性、目標運動特性與后續(xù)操作的精度需求[1-4]。針對非合作目標接近與跟蹤問題，陳統(tǒng)等[3]建立了基于視線坐標系的姿軌聯(lián)合運動模型，并結(jié)合模糊控制理論的魯棒性克服非合作目標所帶來的不確定性。高登巍等[4]則將視線跟蹤模型與最優(yōu)控制理論相結(jié)合，利用θ-D方法求解非線性最優(yōu)控制，實現(xiàn)高精度非合作目標接近與跟蹤。姜博嚴等[5]將自適應滑?？刂品椒ㄒ虢粫舆^程的姿軌控制中，并在控制器設計中考慮了輸入飽和問題。基于預測控制理論，Weiss等[6]提出了一種具有避障功能的空間交會模型預測控制方法。郭永等[7]則基于蔓葉線與人工勢場法提出了一種非合作目標安全交會的姿軌聯(lián)合控制方法。馮麗程等[8]將人工勢場法與有限時間控制方法相結(jié)合，提出具有動態(tài)避障功能的交會控制方法。朱戰(zhàn)霞等[9]從建模的角度入手，利用螺旋理論對相對姿軌運動進行耦合建模，并提出了一種姿軌耦合同步控制律。值得注意的是，上述控制方法均依賴于精確的系統(tǒng)模型和參數(shù)，是“模型依賴”的控制方法。而在實際工況中，由于非合作目標缺乏合作測量標識，測量結(jié)果存在較大的不確定性；追蹤航天器在進行多次變軌接近非合作目標的過程中，其質(zhì)量和慣量矩陣也因燃料消耗和液體晃動存在一定的變化；非合作目標還可能存在難以測量的機動(如逃逸行為等)。因此基于精確模型提出的控制方法在實際工況中很難獲得理想的效果。除此之外，非線性最優(yōu)控制和模型預測控制等方法計算復雜度較高，難以滿足在線控制的需求。

在非線性控制領域，近期有學者提出了一種無模型的預設性能控制方法[10-12]。該控制方法僅依賴系統(tǒng)的狀態(tài)反饋設計控制器，并能夠預先設計狀態(tài)量的收斂軌跡邊界，而該邊界約束又能夠通過非線性映射函數(shù)進行無約束化處理。相比于傳統(tǒng)控制方法，該方法的優(yōu)勢如下：首先，該控制方法無須對系統(tǒng)模型的具體參數(shù)進行先驗估計或在線辨識，具有“無模型”的特征。此外，該方法還能預先設計系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)和瞬態(tài)性能，保證系統(tǒng)狀態(tài)按照期望的性能收斂于期望值。再者，該方法也不存在耗時嚴重的迭代計算、參數(shù)辨識等過程，是一種低復雜度的、適合在線計算的控制方法。由于具有上述優(yōu)勢，該控制方法一經(jīng)提出就得到了控制領域內(nèi)的極大關注，并成功應用于機器人關節(jié)位置與速度跟蹤[13]、高超聲速飛行器[14-15]等對象中，并取得了良好的控制效果。

本文針對非合作目標接近與跟蹤任務，區(qū)別于傳統(tǒng)模型依賴的控制方法，探索一種不依賴模型參數(shù)的魯棒控制方法。首先，針對姿軌相對運動模型與控制方法不匹配的問題，本文將視線坐標系下航天器相對軌道與姿態(tài)跟蹤模型進行坐標變換，轉(zhuǎn)化為一種直接反饋形式。接著設計用戶可調(diào)的預設性能邊界，規(guī)定系統(tǒng)變量收斂的穩(wěn)態(tài)和瞬態(tài)性能。進而構(gòu)造廣義狀態(tài)變量，提出了基于無模型控制理論的預設性能控制方法，在未知系統(tǒng)參數(shù)(如追蹤航天器與非合作目標的質(zhì)量、慣量矩陣等)的前提下實現(xiàn)了非合作目標高精度接近和跟蹤。隨后證明了廣義狀態(tài)變量和系統(tǒng)狀態(tài)量在控制器的作用下均處于預設范圍內(nèi)。最終設計仿真試驗，對比該控制方法與PID控制方法和基于非線性最優(yōu)控制的θ-D方法的控制性能。

1 相對運動建模與轉(zhuǎn)化

1.1 相對軌道運動建模[3-4]

視線坐標系下相對軌道運動動力學模型為

(1)

設追蹤航天器與非合作目標的最終相對距離為ρf，追蹤航天器的期望視線傾角qεd和期望視線偏角qβd可由下式計算得到[4]

(2)

1.2 追蹤航天器姿態(tài)運動建模

基于四元數(shù)的追蹤航天器姿態(tài)運動學方程為[16]

(3)

追蹤航天器的姿態(tài)動力學方程為

(4)

追蹤航天器的期望姿態(tài)應綜合考慮非合作目標的位置和太陽光線的入射方向。不妨令其本體坐標系的xbcf軸為觀測設備的中心軸線，太陽能帆板沿追蹤航天器的ybcf軸安裝。假設太陽光線的入射方向為χ，則追蹤航天器的期望空間姿態(tài)為

(5)

1.3 相對運動模型轉(zhuǎn)化

(6)

式中：

(7)

式中：

ga=(1/2)T(q)J-1

2 無模型預設性能控制

2.1 預設性能的概念

在設計控制器時，往往期望狀態(tài)量能以較快的速度(如指數(shù)速度)收斂于其期望軌跡；在收斂的過程中狀態(tài)量也不能出現(xiàn)過高的超調(diào)量；此外，在穩(wěn)態(tài)過程中，狀態(tài)量在干擾的作用下應能始終保持有界。因此，如圖1所示，若能合理地為狀態(tài)量設計其收斂軌跡的邊界，并設計控制器保證該狀態(tài)量嚴格在邊界以內(nèi)收斂，就能保證系統(tǒng)狀態(tài)在瞬態(tài)和穩(wěn)態(tài)的性能[12]。

圖1 預設性能邊界約束下狀態(tài)量示意圖Fig.1 Illustration of the state under prescribed performance function

預設性能邊界主要包含三方面的約束，即指數(shù)收斂速度、超調(diào)量和穩(wěn)態(tài)誤差邊界。首先考慮指數(shù)收斂速度和穩(wěn)態(tài)誤差邊界。定義如下所示嚴格遞減的正值預設性能函數(shù)

α(t)=(α0-α∞)exp(-βt)+α∞

(8)

為考慮超調(diào)量問題，利用式(8)定義的預設性能函數(shù)，可規(guī)定如下所示的預設性能邊界

Lα(t)

(9)

式中：

(10)

其中，δ是為防止狀態(tài)量超調(diào)而定義的常量，滿足

(11)

2.2 相對軌道無模型預設性能控制

針對式(6)所示的相對軌道運動模型，定義如下廣義狀態(tài)量

zo(t)=xo1(t)+λoxo2(t)

(12)

式中：常值矩陣λo=diag(λo1,λo2,λo3)。在定義廣義狀態(tài)量時，考慮相對軌道速度xo2(t)的目的是為了保證預設性能控制器在相對軌道初速度很大的情況下仍能保證系統(tǒng)的穩(wěn)定。

結(jié)合式(9)中預設性能函數(shù)的概念，針對廣義狀態(tài)量zo=[zo1,zo2,zo3]T，定義如下所示的相對軌道預設性能邊界

Loiαoi(t)

(13)

式中：Loi，Uoi的定義方式與式(10)相同，且

此外，參數(shù)矩陣λo在進行參數(shù)選取時，應滿足

0<λoiβoi<1,i=1,2,3

(14)

對定義在(Loi,Uoi)上的任意變量ξoi，定義非線性映射函數(shù)Poi:(Loi,Uoi)→R,i=1,2,3如下

Poi(ξoi)=ln[(ξoi-Loi)/(Uoi-ξoi)],i=1,2,3

(15)

該函數(shù)局部Lipschitz可微，且滿足

基于式(15)中的非線性映射函數(shù)，可利用廣義狀態(tài)量zo(t)構(gòu)造映射狀態(tài)量so=[so1,so2,so3]T如下

(16)

則相對軌道無模型預設性能控制器設計為

(17)

式中：ko>0為可調(diào)增益，Ro=diag(ro1,ro2,ro3)且

Qo=diag(ηo1,ηo2,ηo3)為一正定對角陣，且其參數(shù)的選取應滿足

so(zo(0))TQoso(zo(0))<1

(18)

(19)

從上述控制器形式可以看出，控制量的計算過程不包含任何系統(tǒng)信息(均由狀態(tài)反饋計算得到)，是一種典型的無模型控制方法。同時，控制器計算過程也不包含任何自適應、參數(shù)辨識和尋優(yōu)迭代過程，控制器復雜度很低，可以在線使用。

2.3 姿態(tài)跟蹤無模型預設性能控制

針對式(7)所示的姿態(tài)跟蹤運動模型，可設計如下姿態(tài)跟蹤無模型預設性能控制器

3 穩(wěn)定性分析

在進行穩(wěn)定性證明前，首先給出證明必需的一個定義與兩個引理。

定義 1[17]. 考慮如下所示的初值問題

(21)

定理 1. 考慮式(6)所示的相對軌道運動控制系統(tǒng)和無模型預設性能控制器(19)，假設相對運動干擾d、非合作目標的未知加速度a均保持有界，則系統(tǒng)(6)中的相對軌道狀態(tài)量xo1將以預設的指數(shù)收斂速度收斂于預設穩(wěn)定域內(nèi)。

證. 定理1將通過以下三個步驟進行證明。第一步，證明狀態(tài)量θoi(soi(zoi(t)))(后文中簡記為θoi(t))在某非空開集中存在唯一最大解。

(22)

對θoi(t)求導可得

(23)

第二步，證明廣義狀態(tài)量zo(t)以預設的指數(shù)速度收斂于預設穩(wěn)定域內(nèi)。

考慮映射狀態(tài)量so，在區(qū)間[0,tmax)上定義如下李雅普諾夫函數(shù)

(24)

對該函數(shù)求導可得

(25)

對式(16)進行微分運算有

(26)

將式(12)及系統(tǒng)狀態(tài)方程(6)代入式(26)可得

(27)

式中：foi為fo的第i維元素，goij為矩陣go第i行第j列的元素。

式(27)可改寫為如下矢量形式

(28)

式中：

Ao(t)=diag(αo1(t),αo2(t),αo3(t))

因此可以得到：

(29)

將式(29)代入式(25)中可得

(30)

(31)

則由式(30)和式(31)可得

(32)

(33)

(34)

式中：gmin為go的最小奇異值，λmin=min(λo1,λo2,λo3),ηmin=min(ηo1,ηo2,ηo3),rmax=max(ro1,max,ro2,max,ro3,max),roi,max為roi(t)在區(qū)間[0,tmax)上的上界。

(35)

考慮到

(36)

0≤κ(t)≤κ*=max{κ(0),γ/(γ+C)}<1

(37)

進而由κ(t)的定義可以得到

i=1,2,3, ?t∈[0,tmax)

(38)

恒成立。結(jié)合式(15)和函數(shù)Poi的單調(diào)性可以得到如下關系

(Loi,Uoi)

(39)

根據(jù)引理2可得，若tmax<+∞，那么對于ζθoi的任意緊集都存在t′∈[0,tmax)使得θoi(t′)不恒在該緊集內(nèi)。然而，在式(39)中尋找到ζθoi的一個緊集

(40)

使得θoi(t)恒位于該緊集內(nèi)，因此可得

tmax=+∞

(41)

進而可以得出：θoi(t)在[0,+∞)上恒位于開集(Loi,Uoi)以內(nèi)。換言之，廣義狀態(tài)量zo(t)在[0,+∞)上以預設的指數(shù)速度收斂于預設穩(wěn)定域內(nèi)。

第三步，證明當廣義狀態(tài)量zo(t)以預設的指數(shù)速度收斂于預設穩(wěn)定域內(nèi)時，相對軌道運動狀態(tài)量xo1(t)也將以指數(shù)速度收斂于該穩(wěn)定域內(nèi)。

在第二步中，已經(jīng)證明了廣義狀態(tài)量zo(t)的性質(zhì)。考慮廣義狀態(tài)量zo(t)的定義式(12)，以zo(t)作為系統(tǒng)(12)的輸入，xo1(t)作為該系統(tǒng)的輸出，則系統(tǒng)(12)可以看作一個線性時不變解耦系統(tǒng)。該系統(tǒng)的第i維(i=1,2,3)的傳遞函數(shù)為

(42)

式中：sl為拉普拉斯算子，w=1/λoi。傳遞函數(shù)的時域微分方程可由拉氏反變換得到

h(t)=L-1(H(sl))=wexp(-wt)

(43)

根據(jù)式(42)和式(43)，有

xo1,i(t)=zoi(t)*h(t)=

∫t0zoi(τ)h(t-τ)dτ

(44)

(45)

定理1證明完畢。

姿態(tài)跟蹤系統(tǒng)(7)在無模型預設性能控制器(20)作用下的穩(wěn)定性證明與上述證明過程類似，不再贅述。

4 仿真校驗

為進行控制性能對比，本文將所提出的低復雜度預設性能控制(Low-complexity prescribed performance control,LCPPC)方法與兩種典型的控制方法進行對比分析：第一種是無模型控制方法中的典型方法，PID控制方法；第二種是模型依賴控制方法中的典型方法，基于非線性最優(yōu)控制的θ-D方法[4]。

4.1 仿真條件與參數(shù)設置

為進行對比仿真，兩組仿真的初始條件設置與文獻[4]相同。

在軌道初始條件方面，追蹤航天器和非合作目標的初始軌道要素設置見文獻[4]中的表1。初始時追蹤航天器到非合作目標的距離ρ(0)設置為0.3 km，最終相對距離為ρf=0.02 km，非合作目標特征點方向為nb=[1,0,0]T，軌道控制發(fā)動機所提供的單軸最大加速度為4.9 N/kg。

4.2 非合作目標自旋但無機動

在本文仿真中，假設相對運動過程無干擾，且非合作目標只進行自旋，不存在未知機動。該工況相對理想，主要用來校驗所提出控制方法的可行性。圖2～6為三種控制器的仿真與對比圖。

圖2為LCPPC控制器作用下的相對運動軌跡示意圖。從圖2可以看出，追蹤航天器首先快速接近非合作目標，進而懸停在非合作目標特征點上方20 m處進行觀測。

圖2 LCPPC作用下的相對運動軌跡Fig.2 Relative motion trajectory under LCPPC

圖3為三種控制方法分別作用下的相對位置的變化圖。從圖3可以看出，三種方法均可以完成對非合作目標的視線跟蹤。LCPPC方法能夠使追蹤航天器以最快的速度接近非合作目標，收斂時間約18 s?；谧顑?yōu)控制的θ-D方法由于良好的優(yōu)化效果，呈現(xiàn)的性能也十分優(yōu)異，收斂時間為23 s。而PID方法由于不使用模型信息，動態(tài)性能較差，收斂時間為40 s。

圖4為接近與跟蹤過程中視線傾角與視線偏角的變化圖。從圖4可以看出，LCPPC的控制方法盡管未知系統(tǒng)信息，但仍能使視線角以很快的速度收斂。θ-D方法的收斂也十分平穩(wěn)，但收斂速度稍慢。PID控制方法作用下的系統(tǒng)在收斂的過程中出現(xiàn)了很大的震蕩。

圖3 非合作目標無機動時的相對距離變化圖Fig.3 Relative distance without orbit maneuver of non-cooperative target

圖5為仿真中相對軌道運動的控制加速度變化圖。從圖5可以看出，PID控制方法的控制加速度波動很大，在收斂的過程中浪費了很多的能量。LCPPC方法收斂過程很穩(wěn)定，且燃料消耗較小。θ-D方法表現(xiàn)最為優(yōu)異，僅使用很小的能量就能完成系統(tǒng)穩(wěn)定。但是值得注意的是，相對于其他兩種方法，θ-D方法使用了精確的系統(tǒng)模型，且耗費了較多的時間進行優(yōu)化，并不適用于實際系統(tǒng)的在線控制。

圖4 非合作目標無機動時的視線角變化圖Fig.4 Angle of LOS without orbit maneuver of non-cooperative target

圖5 非合作目標無機動時的控制加速度變化圖Fig.5 Control accelerations without orbit maneuver of non-cooperative target

圖6為仿真中真實姿態(tài)四元數(shù)矢量部分qv和期望四元數(shù)矢量部分qdv的變化圖。從圖6可以看出，三種控制方法在穩(wěn)態(tài)過程均能使真實四元數(shù)保持較高的精度。在瞬態(tài)過程中，LCPPC方法的期望四元數(shù)相對穩(wěn)定，真實四元數(shù)跟蹤過程迅速。PID方法由于相對軌道控制過程的系統(tǒng)狀態(tài)出現(xiàn)震蕩，給出的期望四元數(shù)也出現(xiàn)震蕩，跟蹤難度加大。θ-D方法的期望四元數(shù)相對穩(wěn)定，但是真實四元數(shù)的跟蹤過程相對較慢。

4.3 非合作目標存在未知機動

在本文仿真中，假設非合作目標不僅存在自旋運動，還存在控制系統(tǒng)未知的機動行為，追蹤航天器還存在質(zhì)量和慣量矩陣的不確定性。該工況主要用來驗證所提出控制方法在復雜條件下的性能和魯棒性。假設非合作目標存在的未知機動和系統(tǒng)外部干擾的總和(以非合作目標的未知機動為主，系統(tǒng)外部干擾量級較小)為：

追蹤航天器的質(zhì)量存在30%的不確定性(即真實施加的控制加速度變?yōu)樵瓉淼?/1.3倍)，追蹤航天器的慣量矩陣存在不確定性ΔJ=diag(-5,3,7)，仿真的其它初始條件和所有的控制參數(shù)選擇均與第4.1節(jié)相同。

圖7為三種控制方法分別作用下的相對位置的變化圖。從圖7可以看出，盡管非合作目標存在未知機動、系統(tǒng)存在不確定性和外部干擾，LCPPC控制方法仍能保證系統(tǒng)以較快的速度收斂(25 s)，且在非合作目標存在未知機動時，能夠保證相對位置控制精度在±0.5 m以內(nèi)(若實際任務需要更高的控制精度，則可調(diào)節(jié)預設性能函數(shù)來實現(xiàn))。PID控制方法作用下的系統(tǒng)收斂速度仍然比較慢，且出現(xiàn)了較大震蕩，但是穩(wěn)態(tài)控制精度不受非合作目標未知機動、不確定性和外部干擾的影響，保持了較高的精度。θ-D方法能夠使系統(tǒng)較快收斂，系統(tǒng)進入穩(wěn)態(tài)后，由于對非合作目標的機動信息和模型不確定性缺乏認知，因此優(yōu)化后的控制量無法使穩(wěn)態(tài)跟蹤過程保持較高的精度，最終只能保證相對位置控制精度在±3 m以內(nèi)。

圖6 非合作目標無機動時的姿態(tài)四元數(shù)變化圖Fig.6 Attitude quaternion without orbit maneuver of non-cooperative target

圖8為系統(tǒng)穩(wěn)定過程中三種方法所需的控制加速度變化圖。從圖8可以看出，LCPPC方法在非合作目標存在未知機動、系統(tǒng)存在不確定性和外部干擾的情況下，所需的控制力仍然保持較低水平。PID控制器在開始時所需的控制力較大，但是在穩(wěn)態(tài)能夠保持較低水平。而θ-D方法雖然在開始時能夠使用的控制力很小，但是在進入穩(wěn)態(tài)后，由于對非合作目標的機動信息缺乏了解，優(yōu)化過程計算困難，控制加速度出現(xiàn)了嚴重的震蕩，會浪費大量的燃料。

圖7 非合作目標存在未知機動時的相對位置變化圖Fig.7 Relative distance with unknown orbit maneuver of non-cooperative target

圖8 非合作目標存在未知機動時的控制加速度變化圖Fig.8 Control accelerations with unknown orbit maneuver of non-cooperative target

5 結(jié) 論

本文針對非合作目標的接近和視線跟蹤問題，基于相對運動模型設計了相對軌道和姿態(tài)跟蹤的低復雜度預設性能控制器，并證明了該控制方法能夠在未知模型的前提下保證系統(tǒng)的瞬態(tài)和穩(wěn)態(tài)性能在預設范圍內(nèi)。通過與兩種典型的控制方法進行數(shù)值仿真對比可以得出：針對非合作目標這種存在強不確定性、強干擾和未知機動等特點的特殊對象，傳統(tǒng)的模型依賴控制方法(如θ-D方法等)無法獲得精確的系統(tǒng)信息，工程應用能力差；傳統(tǒng)的無模型控制方法(如PID等)雖然具有較強的穩(wěn)定性，但其控制性能很差，無法保證追蹤航天器的安全和精度；本文提出的無模型預設性能控制方法不僅不需要對系統(tǒng)信息和不確定性進行先驗了解或在線辨識，還能夠保證系統(tǒng)狀態(tài)滿足實際工程預設的性能范圍，具有較強的理論意義和工程應用價值。

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[17] Sontag E D. Mathematical control theory: deterministic finite dimensional systems[M]. New York:Springer, 1998.

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Low-Complexity Prescribed Performance Control for Approaching andTracking a Non-Cooperative Target

YIN Ze-yang1,2, LUO Jian-jun1,2, WEI Cai-sheng1,2, YUAN Jian-ping1,2

(1. School of Astronautics, Northwestern Polytechnical University, Xi’an 710072, China;2. Science and Technology on Aerospace Flight Dynamics Laboratory, Xi’an 710072, China)

A low-complexity prescribed performance control (LCPPC) method on basis of the prescribed performance control theory is proposed in this paper for a chasing spacecraft approaching and tracking a non-cooperative target spacecraft. Any information of the system parameters, including the mass and inertia matrix of the chasing and target spacecraft, is unnecessary. Moreover, the transient performance as well as the steady performance of the system can be prescribed and guaranteed despite the external disturbance, parameter uncertainties and unknown non-cooperative target’s maneuver. The simulation results show that the high precision real-time control is realized for approaching and tracking the non-cooperative target in a line-of-sight coordinate system.

Prescribed performance control; Non-cooperative target; Model-free; Low-complexity; Robust control

2017- 04- 05;

2017- 05-22

國家自然科學基金(61690211,11472213)；西北工業(yè)大學博士論文創(chuàng)新基金(CX201711)

V448

A

1000-1328(2017)08-0855-10

10.3873/j.issn.1000-1328.2017.08.010

殷澤陽(1993-)，男，博士生，主要從事航天飛行動力學與控制方面研究。