楊 坤，于文華，魏 宇

(1.成都理工大學(xué)商學(xué)院，四川 成都 610059；2.云南財(cái)經(jīng)大學(xué)金融學(xué)院，云南昆明 650221；3.西南交通大學(xué)經(jīng)濟(jì)管理學(xué)院，四川 成都 610031)

基于R-vine copula的原油市場極端風(fēng)險(xiǎn)動態(tài)測度研究

楊 坤1，于文華1，魏 宇2,3

(1.成都理工大學(xué)商學(xué)院，四川 成都 610059；2.云南財(cái)經(jīng)大學(xué)金融學(xué)院，云南昆明 650221；3.西南交通大學(xué)經(jīng)濟(jì)管理學(xué)院，四川 成都 610031)

近年來，原油價(jià)格的暴漲暴跌給實(shí)體經(jīng)濟(jì)的穩(wěn)定發(fā)展帶來了眾多的不確定因素，因此對原油市場的極端波動風(fēng)險(xiǎn)進(jìn)行準(zhǔn)確刻畫和預(yù)測具有重要的理論和現(xiàn)實(shí)意義。結(jié)合EVT極值理論，構(gòu)建五類R-vine copula模型，刻畫了六大原油市場間的極值風(fēng)險(xiǎn)相依關(guān)系，在此基礎(chǔ)上，分別構(gòu)建資產(chǎn)組合的在險(xiǎn)價(jià)值(VaR)與預(yù)期損失(ES)模型，進(jìn)行樣本外極端風(fēng)險(xiǎn)的滾動測度，并通過backtesting方法，對比了各類模型測度精度的差異狀況。研究結(jié)果表明：結(jié)合EVT極值理論的Mixed R-vine copula模型能夠有效地描述原油市場間的尾部極值風(fēng)險(xiǎn)相依關(guān)系，取得了更好的風(fēng)險(xiǎn)測度效果；VaR模型能夠較好地測度較低風(fēng)險(xiǎn)水平上的組合風(fēng)險(xiǎn)價(jià)值，但在高風(fēng)險(xiǎn)水平上的測度效果卻有所不足，而ES模型則在高風(fēng)險(xiǎn)水平上表現(xiàn)出了更為優(yōu)異的組合風(fēng)險(xiǎn)測度能力。

原油市場；R-vine copula；極值理論；在險(xiǎn)價(jià)值(VaR)；預(yù)期損失(ES)；Backtesting

1 引言

原油是經(jīng)濟(jì)增長的重要物質(zhì)保障，原油與經(jīng)過加工的原油產(chǎn)品被廣泛地使用于社會生產(chǎn)之中，原油市場的波動將對實(shí)體經(jīng)濟(jì)的發(fā)展產(chǎn)生重大影響[1]。同時(shí)，由于原油具有較強(qiáng)的金融屬性，以原油作為標(biāo)的物的衍生產(chǎn)品常常被視為重要的投資產(chǎn)品[2]，原油價(jià)格波動也將對金融市場形成一定的風(fēng)險(xiǎn)沖擊[3]。隨著世界原油貿(mào)易的發(fā)展，不同原油市場間相依程度逐漸增強(qiáng)[4]，相較而言，能源對外依存度大的國家更易受到能源價(jià)格波動的影響[5]，而我國作為最大的石油進(jìn)口國[6]，進(jìn)行原油風(fēng)險(xiǎn)測度尤為重要。更進(jìn)一步地，由于國內(nèi)原油市場較大程度地受到國外原油市場的影響，因而將其他原油價(jià)格作為風(fēng)險(xiǎn)因素納入測度框架，進(jìn)行原油組合的風(fēng)險(xiǎn)測度，能夠更加全面地體現(xiàn)原油市場的風(fēng)險(xiǎn)狀況，從而提高金融風(fēng)險(xiǎn)管理的效果。自2014年6月以來，國際原油價(jià)格持續(xù)走低，西得克薩斯輕質(zhì)原油最大跌幅近75%，在原油價(jià)格劇烈波動的背景下，對于原油市場進(jìn)行風(fēng)險(xiǎn)測度的必要性更加凸顯。

在市場風(fēng)險(xiǎn)測度的方法中，VaR(Value at Risk，VaR)模型由于經(jīng)濟(jì)含義明確、數(shù)理基礎(chǔ)嚴(yán)謹(jǐn)且易于計(jì)算[7]，在經(jīng)濟(jì)研究與實(shí)務(wù)操作中運(yùn)用廣泛。但是，VaR模型常常因?yàn)椴⒎怯肋h(yuǎn)滿足次可加性的缺陷而備受爭議[8]。Artzner等[9]提出了滿足“一致性風(fēng)險(xiǎn)測度”的ES(Expected Shortfall，ES)模型，更加貼近金融風(fēng)險(xiǎn)的經(jīng)濟(jì)意義與測度意義，能夠彌補(bǔ)VaR存在的缺陷[10]，近年來越發(fā)受到重視與運(yùn)用。

進(jìn)行組合風(fēng)險(xiǎn)測度的重要前提條件是準(zhǔn)確地刻畫市場間相依結(jié)構(gòu)，事實(shí)上，長期以來，不同原油市場間的風(fēng)險(xiǎn)聯(lián)動問題也一直是學(xué)者們關(guān)注的焦點(diǎn)。劉明磊等[11]利用GARCH族模型計(jì)算了各原油市場的在險(xiǎn)價(jià)值，并在此基礎(chǔ)上進(jìn)行因果關(guān)系檢驗(yàn)，指出目前我國原油市場只能被動接受來自國際原油市場的風(fēng)險(xiǎn)沖擊；Fan Ying等[12]比較了不同模型在原油市場風(fēng)險(xiǎn)測度上的能力，并在此基礎(chǔ)上對極端風(fēng)險(xiǎn)溢出效應(yīng)進(jìn)行了研究，發(fā)現(xiàn)西得克薩斯輕質(zhì)原油與布倫特原油間存在雙向溢出關(guān)系；王雪標(biāo)等[4]運(yùn)用多元GARCH模型對于不同原油市場間的風(fēng)險(xiǎn)傳導(dǎo)關(guān)系進(jìn)行了研究，發(fā)現(xiàn)西得克薩斯輕質(zhì)原油以及布倫特原油對于國內(nèi)原油具有顯著的單向波動溢出效應(yīng)。然而需要指出的是，傳統(tǒng)的線性相關(guān)模型僅能描述市場間的線性關(guān)系，但金融系統(tǒng)卻往往呈現(xiàn)出非線性的狀態(tài)[13]；格蘭杰因果關(guān)系檢驗(yàn)方法只能描述市場風(fēng)險(xiǎn)的傳導(dǎo)方向，卻不能對相依強(qiáng)度進(jìn)行測量；多元GARCH模型假設(shè)研究對象均服從相同分布[14]，這一要求在刻畫多個(gè)市場間的相依關(guān)系方面顯然過于嚴(yán)格。Copula函數(shù)允許各新生量服從不同的分布假定，能夠有效刻畫變量間的非線性尾部相依關(guān)系，并且與VaR以及ES模型相結(jié)合取得了較好的風(fēng)險(xiǎn)測度效果[15-16]。

Copula函數(shù)在相關(guān)性的研究中具有一定的優(yōu)勢，但是在多變量相依關(guān)系的描述上，傳統(tǒng)二元Copula方法面臨著“維度災(zāi)難”問題，多元Copula又缺乏準(zhǔn)確性與靈活性[17]。vine copula方法能夠較好地刻畫多變量間的相依結(jié)構(gòu)，并為相關(guān)性問題研究提供了思路。Joe[18]最早提出了Pair-copula理念，在此基礎(chǔ)上，Bedford等[19-20]引入“vine”圖形描述Pair-copula分解的邏輯結(jié)構(gòu)，提出了Regular vine(R-vine)，但他們僅僅選擇了Gaussian copula作為構(gòu)建模塊。Aas等[21]提出了兩種特別的vine copula：Canonical vine(C-vine)與Drawable vine(D-vine)，同時(shí)利用Pair-copula的方法詳細(xì)討論了C-vine和D-vine的參數(shù)估計(jì)與數(shù)理模擬等問題，并將該方法推廣到所有二元Copula族。由于vine copula設(shè)置了條件市場，同時(shí)可以在節(jié)點(diǎn)間選擇不同類別的Copula函數(shù)進(jìn)行構(gòu)建，因此能夠更加準(zhǔn)確地描述多元市場間的相依關(guān)系。多變量分解結(jié)構(gòu)的差異將形成不同類別的vine copula模型，其中，R-vine在構(gòu)建多市場相依關(guān)系時(shí)，不需要提前預(yù)設(shè)變量的分解方式，而是依據(jù)市場間的實(shí)際相依強(qiáng)度進(jìn)行選擇，這與僅能刻畫特定相依結(jié)構(gòu)的C-vine、D-vine相比，在高維相關(guān)性建模中具有更強(qiáng)的靈活性。Koliai[22]通過比較R-vine、C-vine與D-vine模型的風(fēng)險(xiǎn)測度能力，發(fā)現(xiàn)R-vine能夠取得更高的測度精度；而國內(nèi)學(xué)者馬鋒等[7]也證實(shí)了R-vine的靈活性優(yōu)勢。

在對市場間的相依關(guān)系研究過程中，另一棘手問題則是尾部相關(guān)的測度問題。由于金融市場的尾部風(fēng)險(xiǎn)往往代表著極端事件造成的巨額損失，因此需要人們進(jìn)行重點(diǎn)關(guān)注。在現(xiàn)有文獻(xiàn)中，學(xué)者們多將GARCH族模型與vine copula相結(jié)合，通過GARCH族模型能夠較好地構(gòu)造變量的邊緣分布，但其并非是直接對尾部建模[23]。極值理論(extreme value theory，EVT)不用假設(shè)資產(chǎn)服從的分布，而是直接進(jìn)行尾部建模，能夠較好地描述收益率的尾部分布狀況。魏宇[24]通過對比主流收益分布假設(shè)與EVT極值理論的風(fēng)險(xiǎn)測度效果，證明了EVT在測度金融尾部極端風(fēng)險(xiǎn)上具有較強(qiáng)的優(yōu)越性。此外，在多元投資組合的研究中，張幫正等[14]的研究認(rèn)為，將EVT與vine copula結(jié)合，能夠準(zhǔn)確地刻畫不同金融市場間的極值相依關(guān)系。Ayusuk等[25]通過構(gòu)建C-vine-EVT模型，較為準(zhǔn)確地測量了亞洲新興市場的極端風(fēng)險(xiǎn)狀況。

總的來說，現(xiàn)有研究在不同vine copula模型風(fēng)險(xiǎn)測度能力的比較上值得做進(jìn)一步的探索；同時(shí)，學(xué)者們常通過構(gòu)建vine copula-VaR模型進(jìn)行多元組合的風(fēng)險(xiǎn)測度，但是VaR模型并不能夠永遠(yuǎn)滿足次可加性，而運(yùn)用ES預(yù)期損失模型則更加符合“一致性風(fēng)險(xiǎn)測度”的要求；并且結(jié)合EVT極值理論能夠更好地對于極端風(fēng)險(xiǎn)狀況進(jìn)行刻畫。鑒于此，本文選取西得克薩斯輕質(zhì)原油、布倫特原油、迪拜原油、辛塔原油、塔皮斯原油以及大慶原油6個(gè)原油市場作為研究對象；運(yùn)用ARMA(1,1)-EGARCH(1,1)-t模型過濾得到標(biāo)準(zhǔn)殘差序列，結(jié)合EVT建立邊緣分布；分別構(gòu)建5類R-vine copula模型(Mixed R-vine、R-vine all Frank、R-vine all Clayton、R-vine all Joe、R-vine all Gumbel)；在此基礎(chǔ)上，進(jìn)行滾動時(shí)間窗的蒙特卡羅模擬計(jì)算動態(tài)VaR與ES值，然后結(jié)合返回測試(Backtesting)，比較不同模型的風(fēng)險(xiǎn)測度能力。與現(xiàn)有文獻(xiàn)相比，本文的研究特色在于：(1)結(jié)合EVT極值理論與vine copula進(jìn)行風(fēng)險(xiǎn)測度研究，更加關(guān)注極端風(fēng)險(xiǎn)狀況；(2)選擇Frank copula、Clayton copula、Joe copula、Gumbel copula作為節(jié)點(diǎn)間的Copula函數(shù)，分別建立R-vine all Frank、R-vine all Clayton、R-vine all Joe以及R-vine all Gumbel模型，同時(shí)構(gòu)建Mixed R-vine模型，通過擬合效果檢驗(yàn)以及backtesting，比較不同R-vine模型在相依關(guān)系刻畫以及風(fēng)險(xiǎn)測度中的效果差異；(3)基于R-vine copula-EVT模型所構(gòu)建的相依結(jié)構(gòu)，進(jìn)行樣本外動態(tài)VaR與ES測度，并分別利用失敗率似然比(LR)檢驗(yàn)法以及基于自舉法(bootstrap)的backtesting方法進(jìn)行返回測試，進(jìn)一步比較各類風(fēng)險(xiǎn)模型的測度精度。

2 模型介紹

2.1 結(jié)合EVT極值理論構(gòu)造邊緣分布

2.1.1 ARMA-EGARCH-t

由于金融市場常常表現(xiàn)出尖峰、有偏、自相關(guān)性、波動集聚性、杠桿效應(yīng)等典型事實(shí)[26]，因此在建立邊緣分布模型時(shí)有必要對這些特征進(jìn)行刻畫，本文利用ARMA(1,1)-EGARCH(1,1)-t模型構(gòu)建其邊緣分布：

rt=a0+a1rt-1+b1et-1+et

(1)

et=σtεt，εt～t(v)

(2)

(3)

其中，rt為第t期的原油收益率；a0為條件均值自回歸方程的常數(shù)項(xiàng)；a1為AR(1)項(xiàng)的系數(shù)，表示第t-1期收益率對第t期收益率的影響程度大??；b1為MA(1)項(xiàng)的系數(shù)，表示過去誤差對于當(dāng)期收益率的影響程度；et為第t期的殘差項(xiàng)；其中σt為第t期的條件標(biāo)準(zhǔn)差，ω為條件方差回歸項(xiàng)的均值，α與β為條件方差回歸項(xiàng)中的系數(shù)，γ為杠桿系數(shù)，γ=0說明利好信息與利空信息的影響是對稱的，γ<0表示利空信息對于價(jià)格波動的沖擊更大，γ>0表示利好信息的沖擊更大；εt被稱為新生量(Innovation)或標(biāo)準(zhǔn)化殘差(Standardized residual)，假定其服從一個(gè)自由度為v的學(xué)生t分布。

2.1.2 EVT極值理論

結(jié)合EVT極值理論構(gòu)建邊緣分布，即利用2.1.1中所擬合得到的標(biāo)準(zhǔn)化殘差，對于上下尾部閥值間的部分利用高斯核密度估計(jì)(Gaussian kernel estimate)法求得累積分布函數(shù)(Cumulative distribution function，CDF)，而對于落入上下尾部的標(biāo)準(zhǔn)殘差則采用一元極值理論中的POT(Peaks over threshold)模型進(jìn)行建模。POT模型關(guān)注隨機(jī)變量z超過某個(gè)閥值的分布Fu，F(xiàn)u又被稱為條件極端損失分布函數(shù)，函數(shù)如下：

Fu(y)=p(z-u≤y|z>u)，0≤y≤zF-u

(4)

其中，u為閾值；y=z-u為極端統(tǒng)計(jì)量；zF≤∞為分布的右端點(diǎn)。Fu(y)也可表示為：

(5)

Pickands[27]、Balkema等[28]的研究表明，對于一個(gè)充分大的閥值u，超出該閥值的分布將近似于廣義帕累托分布(generalized Pareto distribution ，GPD)，即Fu(y)≈Gξ,β(y)，u→∞。Gξ,β(y)的表達(dá)式為：

(6)

其中，β是標(biāo)度參數(shù)(scale parameter)，β>0；ξ為尾部形狀參數(shù)(tail parameter)，當(dāng)ξ≥0，z≥u，當(dāng)ξ<0，u≤z≤u-β/ξ。對于任意的z>u，令y=z-u，可由式(5)與式(6)得：

F(z)=(1-F(u))Gξ,β(z-u)+F(u)

(7)

(8)

2.2 R-vine copula模型

Bedford[19-20]最早提出了R-vine copula模型，用以描述多元市場間的相依結(jié)構(gòu)。以一種6維R-vine為例，其分解結(jié)構(gòu)如圖1所示。

在圖1中，6維R-vine被分解為5層樹，第i(i=1,…,5)層樹共有(7-i)個(gè)節(jié)點(diǎn)與(6-i)條邊，第i層樹的邊在第(i+1)層樹將變?yōu)楣?jié)點(diǎn)。由于R-vine并未統(tǒng)一規(guī)定vine結(jié)構(gòu)的形狀，而是根據(jù)變量間的關(guān)系最終確定其分解結(jié)構(gòu)，因此相較于C-vine與D-vine，R-vine在構(gòu)建上顯得較為復(fù)雜。Di?mann[29]提出的R-vine矩陣(R-vine matrices，RVM)才使得R-vine能夠較方便地進(jìn)行估計(jì)與模擬，RVM需要滿足以下條件：

LM(i)?LM(j)，1≤j

(9)

mi,i?Lm(i+1)，i=1,…,d-1

(10)

(11)

Di?mann[29]指出，對于一個(gè)n維R-vine，存在著2n-1個(gè)不同的RVM。當(dāng)維數(shù)較高時(shí)，RVM的數(shù)量將較多，此時(shí)對于所有的RVM進(jìn)行遍歷將較為困難。本文采用Brechmann[30]提出的最大生成樹(maximum spanning tree)方法選取合適的RVM。

圖1 6維R-vine的樹結(jié)構(gòu)

確定RVM結(jié)構(gòu)后，需要選擇每條邊所對應(yīng)的Copula函數(shù)。在R-vine模型中，能夠在節(jié)點(diǎn)間選擇不同類別Copula的模型稱為Mixed R-vine，本文將根據(jù)AIC準(zhǔn)則(Akaike information criterion，AIC)在31種Copula函數(shù)中進(jìn)行選擇，其中包括對稱分布的Gaussian copula、t copula、Frank copula，對上尾分布敏感的Gumbel copula、Joe copula、混合copula(BB6、BB8)，對下尾分布敏感的Clayton copula，對上下尾都敏感的混合copula(BB1、BB7)，以及它們所對應(yīng)的旋轉(zhuǎn)形式(90度、180度、270度)，從而構(gòu)建Mixed R-vine模型。同時(shí)，本文還將引入R-vine all Frank、R-vine all Clayton、R-vine all Joe、R-vine all Gumbel進(jìn)行對比研究。

根據(jù)Aas等[21]的研究結(jié)論，多元變量聯(lián)合密度函數(shù)按照某種結(jié)構(gòu)分解成為一系列的Pair-copula密度函數(shù)和邊緣密度函數(shù)的乘積，R-vine的聯(lián)合概率密度函數(shù)如公式(12)所示。

(Fmk,k|mi+1,k,…,mn,k,Fmi,k|mi+1,k,…,mn,k)

(12)

對于Pair-copula概率密度函數(shù)中的條件分布函數(shù)，可以通過公式(13)進(jìn)行構(gòu)建。

(13)

其中，v表示一個(gè)n維分量，而v-j表示v除去vj后剩下的(n-1)維分量。

對于所構(gòu)建的vine copula模型，可以利用AIC值進(jìn)行比較，AIC值越小，則表示所構(gòu)建的模型越好，R-vine所對應(yīng)的AIC值計(jì)算方法如下所示：

AICR-vine=-2lRVine(θ|u)+2k

(14)

公式中的lRVine表示R-vine的對數(shù)似然函數(shù)，計(jì)算方法如式(15)所示。

(15)

此外，對于vine copula模型的比較，能夠利用Vuong檢驗(yàn)作為判斷標(biāo)準(zhǔn)。假設(shè)m表示每個(gè)點(diǎn)處的距離值，v表示標(biāo)準(zhǔn)后的距離總和，構(gòu)建方法如下：

(16)

(17)

2.3 基于vine copula-EVT的動態(tài)極端風(fēng)險(xiǎn)測度

2.3.1 vine copula的滾動Monte Carlo模擬

組合VaR計(jì)算的方法主要包括歷史模擬法、方差-協(xié)方差法以及蒙特卡羅(Monte Carlo)方法。其中，歷史模擬法給與所有歷史信息相同權(quán)重的做法與現(xiàn)實(shí)情況相違背，同時(shí)歷史信息具有一定的局限性；方差-協(xié)方差法的正態(tài)分布假設(shè)并不符合金融資產(chǎn)收益率的實(shí)際分布特征，因此本文采用Monte Carlo方法計(jì)算組合VaR，具體步驟如下：

(1)假設(shè)資產(chǎn)數(shù)量為m，樣本總數(shù)為n，估計(jì)樣本長度為t(n>t)。將(t+1)～n天的數(shù)據(jù)稱為預(yù)測樣本，預(yù)測樣本所對應(yīng)的估計(jì)樣本則固定包含其前t個(gè)數(shù)據(jù)。

(2)將1～t天的收益率數(shù)據(jù)作為第1個(gè)估計(jì)樣本，首先利用ARMA(1,1)-EGARCH(1,1)-t模型對收益率數(shù)據(jù)進(jìn)行擬合，得到標(biāo)準(zhǔn)化殘差序列，同時(shí)保證序列滿足或近似滿足獨(dú)立同分布(i.i.d)；在此基礎(chǔ)上，使用EVT極值理論對標(biāo)準(zhǔn)化殘差序列進(jìn)行尾部建模，使得序列服從i.i.d的(0,1)均勻分布，將序列標(biāo)記為Udata1(共t行m列，因?yàn)楣烙?jì)樣本長度為t，資產(chǎn)數(shù)量為m)。

(3)利用所得到的Udata1，按照最大生成樹方法確定RVM；然后根據(jù)AIC準(zhǔn)則確定節(jié)點(diǎn)間的最優(yōu)copula函數(shù)；最后使用最大似然法估計(jì)法(Maximum likelihood estimation，MLE)計(jì)算4種R-vine模型的參數(shù)，并利用參數(shù)估計(jì)結(jié)果進(jìn)行Monte Carlo模擬，分別模擬1000個(gè)服從R-vine(包括MixedR-vine、R-vine all Frank、R-vine all Clayton、R-vine all Joe、R-vine all Gumbel)的m維隨機(jī)數(shù)組；再結(jié)合EVT建模部分相關(guān)參數(shù)估計(jì)結(jié)果對隨機(jī)數(shù)組進(jìn)行逆函數(shù)轉(zhuǎn)化，得到第(t+1)天的標(biāo)準(zhǔn)殘差模擬序列，記為Simdata1(共1000行m列，因?yàn)槟M數(shù)量為1000組，資產(chǎn)數(shù)量為m)。

(4)保持估計(jì)樣本長度不變(為t)，將估計(jì)樣本區(qū)間總體向后移動1天，即第2個(gè)估計(jì)樣本為2～(t+1)。重復(fù)步驟(1)、(2)與(3)的方法，得到第(t+2)天的標(biāo)準(zhǔn)殘差模擬序列，記為Simdata2。

(5)不斷重復(fù)步驟(4)，能夠得到對于第(t+3)～n天所模擬的標(biāo)準(zhǔn)殘差序列。當(dāng)所有模擬結(jié)束時(shí)，總共能夠得到(n-t)天的模擬數(shù)據(jù)。

2.3.2 構(gòu)建動態(tài)VaR與ES模型

VaR是指在一定期限內(nèi)，在給定的分位數(shù)水平下，資產(chǎn)或資產(chǎn)組合的最大損失值。假定一個(gè)m維資產(chǎn)組合，其VaR在q分位數(shù)下的VaR可由下式求得：

(18)

其中，wi為資產(chǎn)組合中各資產(chǎn)所占據(jù)的權(quán)重；q為分位數(shù)值；Ωt-1為(t-1)時(shí)刻的所有信息集。

(19)

本文中采取樣本外滾動的方法進(jìn)行動態(tài)風(fēng)險(xiǎn)測度。具體做法如下：

(1)假設(shè)資產(chǎn)數(shù)量為m，樣本總數(shù)為n，估計(jì)樣本長度為t(n>t)。將(t+1)～n天的數(shù)據(jù)稱為預(yù)測樣本，預(yù)測樣本所對應(yīng)的估計(jì)樣本則固定包含其前t個(gè)數(shù)據(jù)。

(2)將1～t天的收益率數(shù)據(jù)作為第1個(gè)估計(jì)樣本，首先利用ARMA(1,1)-EGARCH(1,1)-t模型對收益率數(shù)據(jù)進(jìn)行擬合；根據(jù)所建立的模型預(yù)測各資產(chǎn)在(t+1)天的條件波動率σi,t+1與條件均值μi,t+1(i=1,…,m)；然后利用蒙特卡羅模擬出的Simdata1(zi,t+1，i=1,…,m)，依據(jù)公式(20)計(jì)算各資產(chǎn)在(t+1)天的模擬收益率，記為Xi,t+1；最后利用公式(18)與(19)依次計(jì)算資產(chǎn)組合在(t+1)天的VaR與ES值。

Xi,t+1=μi,t+1+zi,t+1σi,t+1，i=1,…,m

(20)

(3)保持估計(jì)樣本長度不變(為t)，將估計(jì)樣本區(qū)間總體向后移動1天，即第2個(gè)估計(jì)樣本為第2～(t+1)天。重復(fù)步驟(1)、(2)的方法，得到資產(chǎn)組合第(t+2)天的VaR與ES值。

(4)不斷重復(fù)步驟(3)，能夠得到資產(chǎn)組合在第(t+3)、(t+4)直至預(yù)測期間最后一天的動態(tài)VaR與ES值。

2.4 VaR及ES模型的返回測試

在計(jì)算得到VaR與ES值后，需要對各模型風(fēng)險(xiǎn)測量的精度進(jìn)行比較，即需要進(jìn)行backtesting。本文使用Kupiec[32]提出的失敗率似然比(LR)檢驗(yàn)法對VaR的測度效果進(jìn)行backtesting，而對于ES的檢驗(yàn)，采用McNeil等[33]提出的backtesting方法。

2.4.1 Kupiec檢驗(yàn)

根據(jù)Kupiec給出的方法構(gòu)造LR檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量，公式如下：

LRuc==2ln((1-P)T-NpN)+

2ln((1-N/T)T-N(N/T)N)

(21)

其中，P為顯著性水平，T為風(fēng)險(xiǎn)測度的天數(shù)，N為測度失敗的天數(shù)，N/T則為失敗率。通過檢驗(yàn)失敗率是否顯著不同于P(即H0：N/T=P)，能夠得到模型的風(fēng)險(xiǎn)測度效果。在原假設(shè)下，LRuc～2(1)。

2.4.2 基于bootstrap的backtesting

(1)定義xt為實(shí)際損失超出VaR值的真實(shí)收益率，同時(shí)按照式(22)構(gòu)造超出殘差(Exceedance residuals)yt。

(22)

(2)假設(shè)超出殘差共有m個(gè)樣本點(diǎn)，則可計(jì)算初始樣本(Initial sample)lt(t=1,2,…,m)。

(23)

(24)

(4)生成服從{1,2,…,m}均勻分布的m個(gè)隨機(jī)數(shù)，并且按照隨機(jī)數(shù)在lt中找出對應(yīng)樣本點(diǎn)，從而構(gòu)成新樣本。接著重復(fù)1000次，可以得到1000個(gè)新的bootstrap樣本。

(5)將初始樣本計(jì)算的t(l)記為t0(l)，同時(shí)將bootstrap樣本計(jì)算的t(l)分別記為{t1(l),t2(l),…,t1000(l)}，計(jì)算{t1(l),t2(l),…,t1000(l)}中超出t0(l)數(shù)值占據(jù)的比例，即為bootstrap法的p值。p值越大，說明模型的測度能力更好。

3 實(shí)證研究

3.1 數(shù)據(jù)與描述性統(tǒng)計(jì)

眾所周知，作為國際三大原油市場，美國西德克薩斯輕質(zhì)(WTI)原油、北海布倫特(Brent)原油以及迪拜(Dubai)原油常被作為原油的基準(zhǔn)價(jià)格，對于各國原油定價(jià)產(chǎn)生重大影響；同時(shí)，東南亞馬來西亞輕質(zhì)(Tapis)原油作為亞洲地區(qū)原油供需的重要指標(biāo)，為原油定價(jià)提供了重要參考依據(jù)；此外，與Brent原油以及Dubai原油統(tǒng)稱為“三地原油”的辛塔(Cinta)原油，其價(jià)格波動影響著我國的成品油定價(jià)；近年來，經(jīng)濟(jì)的快速增長帶動著我國原油消費(fèi)水平的不斷提高，作為全球最大的石油進(jìn)口國，國內(nèi)原油(Daqing)價(jià)格的影響力不斷提高。因此本文選取WTI、Brent、Dubai、Cinta、Tapis以及Daqing原油代表原油市場，原油數(shù)據(jù)均使用現(xiàn)貨價(jià)格，記為pt，t=1,2,3,…,N，各市場數(shù)據(jù)來源于美國能源署以及鳳凰財(cái)經(jīng)網(wǎng)站，樣本區(qū)間為2010年1月1日～2016年4月4日，剔除不匹配數(shù)據(jù)后共計(jì)1512組。在金融風(fēng)險(xiǎn)計(jì)量中，常使用對數(shù)收益率進(jìn)行研究，將對數(shù)收益率rt定義為：

rt=ln(pt)-ln(pt-1)

(25)

為了比較不同風(fēng)險(xiǎn)測度模型的樣本外推廣能力，本文將1511組收益率數(shù)據(jù)中的1～1311組數(shù)據(jù)作為第一估計(jì)樣本，而1312～1511組數(shù)據(jù)作為預(yù)測樣本，進(jìn)行樣本外動態(tài)風(fēng)險(xiǎn)測度，計(jì)量分析軟件主要為Matlab 2013a、RStudio以及S-plus。本文首先對各原油市場收益率數(shù)據(jù)進(jìn)行描述性統(tǒng)計(jì)，結(jié)果見表1。如表1所示，原油市場收益率序列表現(xiàn)出了一定的“尖峰”與“有偏”形態(tài)；J-B檢驗(yàn)結(jié)果表明，在1%的顯著性水平下，各收益率數(shù)據(jù)拒絕服從正態(tài)分布的原假設(shè)；LM與BDS檢驗(yàn)顯示，收益率序列均存在顯著的ARCH效應(yīng)且不服從i.i.d；L-BQ(24)統(tǒng)計(jì)值表明，各原油市場收益率均呈現(xiàn)出顯著的自相關(guān)性特征。

3.2 邊緣分布的構(gòu)建

由3.1中的分析可知，原油市場表現(xiàn)出了尖峰、有偏、自相關(guān)性等典型事實(shí)特征，因此本文結(jié)合使用

表1 收益率序列的描述性統(tǒng)計(jì)結(jié)果

注：***表示在1%的水平上顯著，**表示在5%的水平上顯著，*表示在10%的水平上顯著，J-B為Jarque-Bera統(tǒng)計(jì)量，LM為ARCH-LM統(tǒng)計(jì)量，L-BQ(24)為滯后24階的Ljune-BoxQ統(tǒng)計(jì)量。

表2 ARMA(1,1)-EGARCH(1,1)-t模型的參數(shù)估計(jì)結(jié)果

注：***表示在1%的水平上顯著，**表示在5%的水平上顯著，*表示在10%的水平上顯著。

表3 標(biāo)準(zhǔn)殘差序列的BDS檢驗(yàn)結(jié)果

注：括號里為檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量所對應(yīng)的p值。

ARMA(1,1)-EGARCH(1,1)-t模型構(gòu)建其邊緣分布，該模型能夠有效捕捉變量的自相關(guān)性、波動集聚性、杠桿效應(yīng)、厚尾等特征。考慮到篇幅，本文在此僅給出模型對于第一次估計(jì)樣本的擬合結(jié)果，其相關(guān)參數(shù)估計(jì)結(jié)果羅列在表2中。

如表2所示，原油收益率的杠桿系數(shù)γ均顯著小于0，這表明原油市場存在著較強(qiáng)的杠桿效應(yīng)，利空消息對于收益率波動的影響將大于利好消息的影響。由于EVT方法的適用條件為時(shí)間序列滿足或者近似滿足i.i.d的特征[8]，而BDS檢驗(yàn)?zāi)軌蚺袆e序列的獨(dú)立同分布性，因此本文對于標(biāo)準(zhǔn)殘差序列進(jìn)行BDS檢驗(yàn)，檢驗(yàn)結(jié)果見表3。根據(jù)BDS檢驗(yàn)結(jié)果，在1%的顯著性水平下，標(biāo)準(zhǔn)殘差序列均不能拒絕服從i.i.d的原假設(shè)，因此能夠運(yùn)用EVT方法對于標(biāo)準(zhǔn)殘差序列進(jìn)行尾部建模。

在運(yùn)用EVT極值理論時(shí)，首先需要確定合適的尾部閥值u，過低的閥值將導(dǎo)致尾部數(shù)據(jù)較多，使得EVT方法的條件不成立；過高的閥值將使得尾部數(shù)據(jù)較少，影響GPD的估計(jì)結(jié)果。根據(jù)DuMouchel[34]的研究結(jié)論，選擇10%的原始變量作為極值，從而得到相對應(yīng)的閥值，進(jìn)而對于尾部進(jìn)行GPD擬合的效果最好。因此本文選取各原油市場數(shù)據(jù)的10%作為尾部極值，表4為尾部閥值與GPD擬合的參數(shù)估計(jì)結(jié)果。此外Copula模型的建立需要各邊緣分布服從i.i.d的(0,1)均勻分布，而K-S(Kolmogorov-Smirnov)檢驗(yàn)可用于判斷序列是否服從(0,1)的均勻分布，因此本文將對EVT極值理論所構(gòu)造出的邊緣分布進(jìn)行K-S與BDS檢驗(yàn)，表5為各市場邊緣分布的K-S與BDS檢驗(yàn)結(jié)果。

表4 尾部閥值與GPD擬合的參數(shù)估計(jì)結(jié)果

表5 邊緣分布的K-S與BDS檢驗(yàn)結(jié)果

注：括號里為檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量所對應(yīng)的p值。

由表4與表5可知，除Brent原油的上尾尾部參數(shù)ξU小于0，其他尾部參數(shù)均大于0，這表明原油市場具有厚尾的特征；同時(shí)根據(jù)K-S與BDS檢驗(yàn)結(jié)果，在5%的顯著性水平下，各邊緣分布滿足i.i.d的(0,1)均勻分布，這表明運(yùn)用ARMA(1,1)-EGARCH(1,1)-t模型得到標(biāo)準(zhǔn)殘差序列，在此基礎(chǔ)上結(jié)合EVT極值理論建立邊緣分布是合適的，并且能夠進(jìn)一步建立R-vinecopula模型。

3.3 各類R-vinecopula模型的構(gòu)建與擬合效果檢驗(yàn)

利用3.2所構(gòu)建的邊緣分布，分別建立5類R-vinecopula模型(MixedR-vine、R-vineallFrank、R-vineallClayton、R-vineallJoe、R-vineallGumbel)，并在此基礎(chǔ)上進(jìn)行模型擬合效果的比較，結(jié)果見表6。

表6 不同R-vine模型擬合效果比較

通過比較表6中的AIC值可知，Mixed R-vine取得的擬合效果最好；同時(shí)根據(jù)Vuong檢驗(yàn)結(jié)果，所取得的p值均拒絕模型沒有差異的原假設(shè)，并且Vuong檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量都大于臨界值，這表明Mixed R-vine模型的擬合效果顯著地優(yōu)于其他R-vine copula模型。綜合來看，Mixed R-vine模型能夠更為準(zhǔn)確地刻畫能源市場間的相依關(guān)系，所以本文在此列出該模型利用第一估計(jì)樣本構(gòu)建的RVM以及所對應(yīng)的Copula函數(shù)，為了表述方便，本文對于不同原油市場進(jìn)行編號：WTI(1)、Brent(2)、Dubai(3)、Cinta(4)、Tapis(5)、Daqing(6)，表7為RVM估計(jì)結(jié)果，表8為Copula函數(shù)的選擇矩陣。

表7 Mixed R-vine的RVM估計(jì)結(jié)果

表8 Copula函數(shù)的選擇矩陣

表7為Mixed R-vine的RVM估計(jì)結(jié)果，矩陣共分為5層樹，每列第6行與第1個(gè)數(shù)字所代表的市場間構(gòu)成一對非條件相關(guān)關(guān)系，為樹結(jié)構(gòu)的第1層(包括1-2、2-5、3-5、4-5、4-6)。每列第5行與第1個(gè)數(shù)字所代表的市場，以第6行市場為條件所構(gòu)成的條件相關(guān)關(guān)系為樹結(jié)構(gòu)的第2層(包括1-5|2、2-4|5、3-4|5、5-6|4)。每列第4行與第1個(gè)數(shù)字所代表的市場，同時(shí)以第5行與第6行市場為條件所構(gòu)成的條件相關(guān)關(guān)系為樹結(jié)構(gòu)的第3層(包括1-4|25、2-6|45、3-6|45)。同理可推出第4層與第5層樹結(jié)構(gòu)的條件相關(guān)關(guān)系。

表8為Copula函數(shù)的選擇矩陣，其中，T代表t copula，F(xiàn)代表Frank copula，C代表Clayton copula，RC代表Clayton copula旋轉(zhuǎn)90度，SC代表Clayton copula旋轉(zhuǎn)180度，RG代表Gumbel copula旋轉(zhuǎn)270度，BB1與BB8分別為BB1copula和BB8 copula。由此可見，Mixed R-vine在節(jié)點(diǎn)間能夠選擇多種Copula函數(shù)，因而更加具有靈活性。

3.4 風(fēng)險(xiǎn)測度模型的Backtesting結(jié)果

通過不同R-vine copula-EVT模型建立多原油市場間的極值相依關(guān)系，在此基礎(chǔ)上，運(yùn)用2.3中所介紹的方法進(jìn)行樣本外動態(tài)極端風(fēng)險(xiǎn)測度，并通過backtesting比較不同模型的測量精度。在相等權(quán)重(即1/6)下，本文分別計(jì)算多頭(1%、5%、10%)與空頭(99%、95%、90%)共六個(gè)風(fēng)險(xiǎn)水平上的VaR與ES值，表9為原油市場不同風(fēng)險(xiǎn)模型的backtesting結(jié)果。

結(jié)合表9，分別比較各類VaR與ES模型在不同分位數(shù)水平上返回測試的p值，可以發(fā)現(xiàn)：

(1)在1%的顯著性水平上，除R-vine all Joe在極少數(shù)情況下不能通過backtesting檢驗(yàn)，其他風(fēng)險(xiǎn)模型均能通過檢驗(yàn)，這表明基于R-vine copula模型能夠較好地對于多原油組合進(jìn)行風(fēng)險(xiǎn)測度；更進(jìn)一步地，對于不同風(fēng)險(xiǎn)水平上的VaR與ES測度，Mixed R-vine所取得的p值為最大共有10次，這表明Mixed R-vine模型在風(fēng)險(xiǎn)測度上更加靈活，能夠取得更好的風(fēng)險(xiǎn)測度效果。

(2)相較于高風(fēng)險(xiǎn)狀態(tài)，VaR在低風(fēng)險(xiǎn)水平下所取得的p值更大，因此VaR對于高風(fēng)險(xiǎn)的測度能力相對較差。而與之相反的是，ES的高風(fēng)險(xiǎn)測度所取得的p值更大，這表明ES在高風(fēng)險(xiǎn)狀態(tài)下能夠取得較好的測度效果。

(3)對于ES風(fēng)險(xiǎn)測度，R-vine copula模型的多頭風(fēng)險(xiǎn)測度能力顯著高于空頭風(fēng)險(xiǎn)；而在VaR風(fēng)險(xiǎn)測度中，風(fēng)險(xiǎn)模型對于多頭與空頭兩方的測度能力沒有明顯的差異。

此外，考慮到等權(quán)重是一種比較特殊的情況，為了保證結(jié)果的穩(wěn)健性，我們將進(jìn)一步選取新的組合權(quán)重進(jìn)行穩(wěn)健性檢驗(yàn)。根據(jù)Lu等[35]的研究結(jié)論，WTI與Brent原油在市場中占據(jù)主導(dǎo)地位，只有當(dāng)特殊事件發(fā)生時(shí)，Dubai與Tapis原油才會對WTI與Brent原油產(chǎn)生反向引導(dǎo)作用。同時(shí)考慮到國內(nèi)原油市場受國外市場的影響較大[11]，本文重新設(shè)置各原油市場的比重為：WTI(0.22)、Brent(0.22)、Dubai(0.15)、Cinta(0.15)、Tapis(0.15)、Daqing(0.11)。樣本外VaR與ES的計(jì)算方法同上，并同時(shí)進(jìn)行backtesting，檢驗(yàn)結(jié)果見表10。從表10可以看出，其檢驗(yàn)結(jié)果與表9類似，進(jìn)一步證明了上述結(jié)論的準(zhǔn)確性與穩(wěn)健性。

表9 不同R-vine模型的backtesting結(jié)果

表10 新權(quán)重下不同R-vine模型的backtesting結(jié)果

4 結(jié)語

原油市場的價(jià)格波動將影響實(shí)體經(jīng)濟(jì)以及金融市場的穩(wěn)定發(fā)展，因此對于原油市場進(jìn)行風(fēng)險(xiǎn)測度具有較強(qiáng)的理論與現(xiàn)實(shí)意義。本文結(jié)合EVT極值理論，建立5類R-vine copula模型(Mixed R-vine、R-vine all Frank、R-vine all Clayton、R-vine all Joe、R-vine all Gumbel)，對于原油市場間的極值相依關(guān)系進(jìn)行刻畫。在此基礎(chǔ)上，通過AIC準(zhǔn)則以及Vuong檢驗(yàn)比較不同模型在極值相依關(guān)系刻畫上的差異。更進(jìn)一步地，運(yùn)用backtesting方法，在多頭頭寸與空頭頭寸共6種分位數(shù)水平下，比較了5類R-vine copula模型對于VaR以及ES測度的精度差異。研究結(jié)果表明：首先，原油收益序列呈現(xiàn)出了一定的厚尾特征，而結(jié)合EVT極值理論構(gòu)建邊緣分布，能夠有效地描述原油市場的尾部風(fēng)險(xiǎn)狀況。近年來，國際原油價(jià)格波動劇烈，投資者應(yīng)當(dāng)更加關(guān)注原油市場的極端風(fēng)險(xiǎn)，將EVT極值理論引入風(fēng)險(xiǎn)測度能夠有效規(guī)避原油市場的極端損失，從而提高風(fēng)險(xiǎn)管理效果。其次，在5類R-vine copula模型中，Mixed R-vine能夠更為靈活地構(gòu)建多原油市場間的極值相依結(jié)構(gòu)，并且在風(fēng)險(xiǎn)測度中取得更好的樣本外推廣能力。Mixed R-vine模型在相依結(jié)構(gòu)的描述中具有較強(qiáng)的靈活性優(yōu)勢，能夠更為準(zhǔn)確地刻畫原油市場間的相依關(guān)系，特別是在國際油價(jià)劇烈波動的環(huán)境中，Mixed R-vine模型能夠更加適應(yīng)原油市場相依狀況的變化。最后，VaR模型能夠較好地測度較低風(fēng)險(xiǎn)水平上的組合風(fēng)險(xiǎn)價(jià)值，但對于高風(fēng)險(xiǎn)水平上的測度精度卻有所不足，而ES預(yù)期損失模型則在高風(fēng)險(xiǎn)水平上表現(xiàn)出了更為優(yōu)異的組合風(fēng)險(xiǎn)測度能力。

本文仍然存在值得繼續(xù)改進(jìn)的地方，例如：在vine copula模型的建立過程中，使用時(shí)變Copula代替靜態(tài)Copula作為構(gòu)建模塊，用以描述金融市場瞬息萬變的動態(tài)關(guān)系；此外，隨著數(shù)據(jù)采集與處理能力的增強(qiáng)，使得基于高頻數(shù)據(jù)進(jìn)行研究成為了可能，因此將vine copula模型應(yīng)用到高頻數(shù)據(jù)研究將是下一步的方向。

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Dynamic Measurement of Extreme Risk among Various Crude Oil Markets Based on R-vine copula

YANG Kun1, YU Wen-hua1, WEI Yu2,3

(1. Commercial College, Chengdu University of Technology, Chengdu, 610059,China;2.School of Finance,Yunnan University of Finance and Econamics,Kunming 650021,China;3. School of Economics and Management, Southwest Jiaotong University,Chengdu, 610031,China)

In recent years, the strong fluctuations in crude oil prices bring many uncertain factors to the stable development of real economy, so there is an important theoretical and practical significance in accurately characterizing and predicting the extreme volatility riskamong various crude oil markets. In this paper, combining extreme value theory(EVT) with fivecategories of R-vine copula models, the extreme dependence relationship between six crude oil markets is depicted. Based on that the value at risk(VaR) and expected shortfall(ES) models are constructed to measure the out-of-sample extreme risk using a sliding time window method. Finally, a backtesting for unconditional coverage and backtesting based on bootstrap are, and carried out the VaR and ES measurement accuracy of different models is compared. The empirical results are summarized as follows: (1) Mixed R-vine-EVT model can describe the extreme dependence relationshipamong various crude oil marketsmore excellent and show a better risk measures efficiency.(2) VaR model can well depict the riskstatusat low risk levels, while the measure precision at high risk levels is insufficient. On the contrary, ES model shows a better risk measurement capability at the high risk levels.Accordingly, some practical suggestions are put forward e.g., investors should introduceextreme value theory to describe the extreme risk situation of crude oil markets; under the background of sharp fluctuations in international crude oil prices, Mixed R-vine model can more adapt to the changes of dependency relationship among various crude oil markets.

crude oil market; R-vine copula; extreme value theory; value at risk;expected shortfall; backtesting

1003-207(2017)08-0019-11

10.16381/j.cnki.issn1003-207x.2017.08.003

2016-09-26；

2016-12-08

國家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(71371157，71671145)；教育部人文社科基金規(guī)劃項(xiàng)目(15YJA790031，16YJA790062，17YJA790015,17XJA790002)；中央高?；究蒲袠I(yè)務(wù)費(fèi)專項(xiàng)資金資助項(xiàng)目(26816WCX02)；四川省科技青年基金項(xiàng)目(2015JQO010)；四川省教育廳人文社科重點(diǎn)項(xiàng)目(14SA0039)；成都理工大學(xué)中青年骨干教師培養(yǎng)計(jì)劃資助項(xiàng)目(JXGG201420)；國家級大學(xué)生創(chuàng)新創(chuàng)業(yè)訓(xùn)練計(jì)劃項(xiàng)目(201610616035)

魏宇(1975-)，男(漢族)，四川攀枝花人，云南財(cái)經(jīng)大學(xué)金融學(xué)院教授，博士生導(dǎo)師，研究方向：金融與能源市場風(fēng)險(xiǎn)管理，E-mail:weiyusy@126.com.

F830；F224

A