數(shù)列求和方法

陳亞肅

1. 前言

數(shù)列是一個(gè)古老的數(shù)學(xué)問題。在我國古代，數(shù)學(xué)家對數(shù)列的認(rèn)識特別早，《易經(jīng)》中有這樣的記載“河出圖，洛出書，圣人則之；兩儀生四象，四象生八卦”[1]，這在世界數(shù)學(xué)史上都算得上是最早的相關(guān)等差數(shù)列記載。在國外，古印度宰相西薩發(fā)明國際象棋的故事就初步涉及到等比數(shù)列求和的問題；古巴比倫人很早就計(jì)算出了具體的等比數(shù)列之和；歐幾里得在著作《幾何原本》中對等比數(shù)列之和給出了具體的證明。固數(shù)列有著非常悠久的歷史。

本文總結(jié)出高中教材涉及的幾種數(shù)列求和方法：公式法，倒序相加法，錯(cuò)位相減法。這幾種最為基礎(chǔ)的求和方法一般用來解決規(guī)律性強(qiáng)的數(shù)列。對于以上的每種數(shù)列求和方法，在介紹、總結(jié)了計(jì)算法則之后，都用比較具有代表性的計(jì)算題或證明題來進(jìn)行了例題示范。使用以上這些數(shù)列求和方法，可以解決生活中常見的比較多的數(shù)列求和問題。

2. 數(shù)列求和方法

生活中遇到的有關(guān)數(shù)列的問題，如果數(shù)列的規(guī)律性較強(qiáng)，比如等差數(shù)列、等比數(shù)列、等差與等比相乘的數(shù)列，如果對這類數(shù)列進(jìn)行求和，可以用高中教材涉及的方法來計(jì)算，下面介紹中學(xué)教材中涉及的四種基礎(chǔ)性的數(shù)列求和方法。

2.1 直接求和法

對于數(shù)列求和的題目，如果題目是對于等差或等比數(shù)列進(jìn)行求和，可直接根據(jù)公式來進(jìn)行求和。

直接求和法常用公式有：

，

，

，

等差數(shù)列前 項(xiàng)和公式：

，

等比數(shù)列前 項(xiàng)和公式：

.

2.2 倒序相加法

對于已知的數(shù)列 ，如果首尾兩項(xiàng)之和等于所有與前后距離相等的項(xiàng)數(shù)之和，那么這樣的數(shù)列 求和就可以采用倒序相加法，其具體操作就是：第一，把數(shù)列前 項(xiàng)和按順序依次展開；第二，把數(shù)列的前 項(xiàng)和展開再按倒敘排列；第三，把兩個(gè)式子對應(yīng)相加，會(huì)發(fā)現(xiàn)相加后的數(shù)列每一項(xiàng)都相等，即轉(zhuǎn)化為常數(shù)列，此時(shí)問題就可以迎刃而解了。

例2.2.1 假設(shè)已知有一個(gè)等差數(shù)列 ，此數(shù)列的首項(xiàng)和公差都為1，計(jì)算出這個(gè)數(shù)列的前100項(xiàng)之和。

解：由倒敘相加法可得：

由

，

，

.

2.3 錯(cuò)位相減法

給定一個(gè)數(shù)列 ，該數(shù)列的通項(xiàng)公式可以分解，分解后通項(xiàng)成等差與等比的乘積 ，中間 代表等差數(shù)列， 代表等比數(shù)列，那么求數(shù)列 的前 項(xiàng)和的時(shí)候可以采用錯(cuò)位相減法。

例2.3.1 已知數(shù)列 ， ，求

解： 時(shí)，該數(shù)列從第二項(xiàng)起都為零，

時(shí)，數(shù)列是一個(gè)常數(shù)列， ；

時(shí)，數(shù)列是一個(gè)合成數(shù)列，可拆為等差數(shù)乘以等比數(shù)列的形式

，其中， ，采用錯(cuò)位相減法可以得到如下結(jié)果：

，

，

，

.

經(jīng)過檢驗(yàn)，當(dāng) 的時(shí)候式子也成立。