張輝+李應(yīng)岐++趙偉舟+吳聰偉

【中圖分類號】O171-4

極限是高等數(shù)學(xué)最重要的概念之一，它是研究微積分學(xué)的必備工具。怎樣合理有效地講授數(shù)列極限的定義，才能讓學(xué)生真正理解和掌握其思想方法，而不只是簡單地理解定義和形式地掌握使用方法？重要的是如何引導(dǎo)學(xué)生從數(shù)列極限的描述性定義向“ ”定義的過渡和轉(zhuǎn)化。下面從七個(gè)環(huán)節(jié)對數(shù)列極限定義的教學(xué)過程進(jìn)行設(shè)計(jì)。

一、無窮數(shù)列本質(zhì)是整標(biāo)函數(shù)

無窮數(shù)列 可以看作自變量只取正整數(shù) 的一類特殊函數(shù)，稱為整標(biāo)函數(shù)，即 ，其中 稱為數(shù)列的通項(xiàng)或一般項(xiàng)。數(shù)列作為整標(biāo)函數(shù)，也具有有界性和單調(diào)性。

二、從幾何問題到代數(shù)問題，引出極限思想

先介紹我國魏晉時(shí)期大數(shù)學(xué)家劉徽利用圓的內(nèi)接正多邊形來推算圓的面積的方法-----割圓術(shù)。首先作圓的內(nèi)接正六邊形，再作圓的內(nèi)接正八邊形、內(nèi)接正十邊形…，從數(shù)值角度而言，當(dāng)邊數(shù)無限增大時(shí)，內(nèi)接正多邊形的面積無限接近于圓的面積。再介紹公元前四世紀(jì)，我國古代哲學(xué)家莊周著作《莊子·天下篇》所引用一句話“一尺之錘，日取其半，萬事不竭”，從數(shù)值角度而言每天截去一半所余的尺數(shù)為一等比數(shù)列 ，然后啟發(fā)學(xué)生思考如何從數(shù)列 的變化趨勢解釋“萬世不竭”的本質(zhì)。通過講授分析得出結(jié)論：“當(dāng) 越來越大時(shí)， 越來越接近0，但永遠(yuǎn)不等于0，即萬世不竭。”進(jìn)而提出問題：對于數(shù)列 ，主要研究當(dāng) 無限增大時(shí)，數(shù)列 無限接近于哪個(gè)數(shù)？這就是所謂極限存在性問題。

三、歸納給出數(shù)列極限的描述性定義

由第二環(huán)節(jié)現(xiàn)歸納出數(shù)列極限的描述性定義：“如果 無限增大時(shí)，數(shù)列 無限接近于一個(gè)常數(shù) ，則稱 為該數(shù)列的極限，記作 或 。否則，稱 發(fā)散。

四、將描述性定義轉(zhuǎn)化為“ ”定義

一般情況下描述性定義容易理解但并不精確，因此必須將“無限增大”、“無限接近”這些定性描述用數(shù)學(xué)語言轉(zhuǎn)換為定量描述。然后以數(shù)列 為例來探究怎樣用精確的數(shù)學(xué)語言來闡述“當(dāng) 無限增大時(shí)， 無限接近于常數(shù)1”變化趨勢。首先，“ 無限接近于常數(shù)1”就是要 可以任意小，也就是可以小于預(yù)先任意給定的、無論怎樣小的正數(shù)；“ 無限增大”就是要 充分大，大到足以保證 小于這個(gè)預(yù)先給定的、無論怎樣小的正數(shù)。具體而言，就是對于任意給定的 ，無論怎樣小，相應(yīng)地總能找到一個(gè)大于或等于 的正整數(shù) ，即 ，使當(dāng) 時(shí)的一切 都滿足 。

由于 的任意性，上述不等式就精確地刻畫了數(shù)列 隨 無限增大（記作 ）而無限接近于常數(shù)1這一變化趨勢。也就是說，我們用 的數(shù)量關(guān)系把“當(dāng) 無限增大時(shí)， 無限接近于常數(shù)1”的含義作了精確的描述。數(shù)列的極限概念就是來源于對數(shù)列進(jìn)行這種變化趨向的研究，而運(yùn)用 的數(shù)量關(guān)系就能對極限概念作精確的闡述，于是就給出數(shù)列極限的“ ”定義 。

五、幾何解釋

將“ ”定義的數(shù)學(xué)語言轉(zhuǎn)化為幾何語言：不管 多么小，總能找到一個(gè)正整數(shù) 從 項(xiàng)開始后面的所有項(xiàng) 都落在點(diǎn) 的 鄰域內(nèi)，而此鄰域外最多只有有限項(xiàng) 。通過對極限定義的幾何解釋，使學(xué)生利用數(shù)形結(jié)合形式進(jìn)行理解和掌握。

六、“ ”定義的進(jìn)一步說明

為了更好理解“ ”定義，作以下幾點(diǎn)說明。

（1）數(shù)列的斂散性與其前有限項(xiàng)的大小無關(guān)，而是由后面無限多項(xiàng)的大小而定。

（2） 具有三重性。一是任意性，它不是一個(gè)固定的常數(shù)，是用來刻畫 無限接近于常數(shù) 的程度；二是固定性， 一旦給定就固定下來，以便去尋找與之有關(guān)的自然數(shù) 。三是表達(dá)式的多樣性，定義中若取 、 、 也可。

（3） 的相應(yīng)性。 依賴于 ，但并不唯一，因此也不是 的函數(shù)。事實(shí)上， 未必一定是正整數(shù)，若取正數(shù)顯然也成立。當(dāng) 給定后，才能找到與之有關(guān)的 ，當(dāng) 滿足 時(shí)，才有 ，一般情況下尋找到 即可。

（4）不等號的推廣。由 的多樣性和 的不唯一性，在“ ”定義中，若把“ ”變?yōu)椤?”，或把“ ”變?yōu)椤?”也成立。

七、舉例說明如何使用“ ”定義證明極限

利用“ ”定義證明 ，關(guān)鍵是對于任意給定的正數(shù) ，尋找一個(gè)與之有關(guān)的正整數(shù) 使得當(dāng) 時(shí)恒有 。那么怎么尋找 呢？首先從這個(gè)關(guān)于 和 的不等式 出發(fā)，解出 的形式，其中涉及不等式適當(dāng)放大的技巧，此時(shí)取 即可。事實(shí)上，若取 或其他也可，并不唯一。然后利用此方法證明幾個(gè)常見極限，要求學(xué)員達(dá)到熟能生巧、舉一反三的能力。

以上從七個(gè)環(huán)節(jié)介紹了數(shù)列極限定義的教學(xué)設(shè)計(jì)，采用兩個(gè)學(xué)時(shí)授課，而收斂數(shù)列的性質(zhì)下次課再講授。在此教學(xué)過程中，將數(shù)列極限的“ ”定義內(nèi)容進(jìn)行了合理優(yōu)化，學(xué)生充分理解和掌握極限的本質(zhì)，而不是簡單地理解定義和形式地掌握使用方法，同時(shí)為函數(shù)極限的講授提供了有力的幫助，并奠定了堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。

參考文獻(xiàn)

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第二炮兵工程大學(xué)科研基金青年項(xiàng)目（編號：2015QN012）endprint