函數(shù)定義域的類(lèi)型與求法淺析

胡效華

摘要：本文通過(guò)梳理函數(shù)的類(lèi)型及求法，給出五年制數(shù)學(xué)函數(shù)定義域?qū)W習(xí)過(guò)程中學(xué)生的難點(diǎn)及易錯(cuò)點(diǎn)，提醒學(xué)生在做函數(shù)類(lèi)題目時(shí)一定要重視定義域，對(duì)學(xué)生以后的函數(shù)學(xué)習(xí)乃至微積分課程的學(xué)習(xí)都有一定的幫助。

關(guān)鍵詞：函數(shù)定義域

函數(shù)定義域是函數(shù)三要素之一，對(duì)應(yīng)法則的作用對(duì)象，是函數(shù)的關(guān)鍵所在。討論函數(shù)的問(wèn)題時(shí)，往往都要從定義域出發(fā)，它對(duì)于函數(shù)的解析式、圖象和性質(zhì)起著制約作用。在五年制學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程中，有必要讓學(xué)生在入門(mén)之初，明確函數(shù)定義域的類(lèi)型和求法，對(duì)于今后的初等數(shù)學(xué)以及微積分的學(xué)習(xí)起到一定的幫助作用。

函數(shù)的定義域是指自變量的取值范圍。若不考慮函數(shù)的實(shí)際意義，而抽象地研究用解析式表達(dá)的函數(shù)，函數(shù)的定義域就是使函數(shù)的解析式有意義的一切實(shí)數(shù)的全體。

一、一般題型

即給出函數(shù)的解析式求定義域，其解法的一般原則是：

（1）解析式為多項(xiàng)式（整式），函數(shù)定義域?yàn)镽；

（2）解析式為分式，函數(shù)定義域是使分母不為零的實(shí)數(shù)的集合；

（3）解析式為偶次根式，函數(shù)定義域是使被開(kāi)方數(shù)（式子）大于等于零的實(shí)數(shù)集合；

（4）解析式是基本初等函數(shù)時(shí)，函數(shù)定義域是使其有意義的實(shí)數(shù)集合；

（5）解析式如果含有以上幾種函數(shù)，則應(yīng)取各部分定義域的交集。

以下給出幾個(gè)學(xué)生不易掌握的例題，以幫助五年制學(xué)生加深對(duì)函數(shù)定義域的理解。

例1 y=x0

分析：因?yàn)?的零次方無(wú)意義，所以x≠0

解：函數(shù)的定義域是

例2

分析：無(wú)論x取何值，分母不可能等于0（分母不等于零恒成立），所以

解：函數(shù)的定義域是

例3 y=lnx2

分析：根據(jù)對(duì)數(shù)的性質(zhì)，應(yīng)滿足x2>0，而x2≥0，所以x2≠0即x≠0

解：函數(shù)的定義域是

例4

分析：本題涉及對(duì)數(shù)的性質(zhì)和分式的意義

解：要使函數(shù)有意義，則必須滿足

所以函數(shù)的定義域是（2，3）.

二、實(shí)際問(wèn)題型

在實(shí)際問(wèn)題中，函數(shù)的定義域是根據(jù)問(wèn)題的實(shí)際意義確定的。

例5 用邊長(zhǎng)為48cm的正方形鐵皮做一個(gè)無(wú)蓋的鐵盒時(shí)，在鐵皮的四角各截去一個(gè)面積相等的小正方形，然后將四邊折起，就能焊成鐵盒，求鐵盒的容積。

解：設(shè)截去的小正方形邊長(zhǎng)為x（cm），則鐵盒的底邊長(zhǎng)為（48-2x）cm，

那么鐵盒的容積解析式為V=x（48-2x）2（單位m3）.

很多學(xué)生解題往往到此為止，不再考慮自變量的取值范圍。

事實(shí)上，這是一個(gè)實(shí)際問(wèn)題，自變量x代表邊長(zhǎng)，所以x>0，同時(shí)另一個(gè)邊長(zhǎng)48-2x>0，兩個(gè)條件同時(shí)滿足，所以0

綜上，鐵盒的容積是V=x（48-2x）2（0

在實(shí)際問(wèn)題中，建立數(shù)學(xué)模型是問(wèn)題解決的第一步，而在這一步中一定要記住分析自變量的取值范圍，否則不利于整個(gè)問(wèn)題的最終解決。

函數(shù)定義域的題型除了上面的兩種基本題型，還有抽象函數(shù)型等等，鑒于五年制學(xué)生的特征，在此不再贅述。