整體單元化設計理念下的“漸近線”教學

☉浙江省象山縣第二中學 呂增鋒

整體單元化設計理念下的“漸近線”教學

☉浙江省象山縣第二中學 呂增鋒

最近，我縣舉行了數(shù)學優(yōu)質課比賽，上課的主題是“雙曲線的漸近線”.筆者全程觀摩了8位老師的課，他們基本上沿襲了“定義+應用”的教學套路，如圖1所示.

圖1

一、教學過程簡介

下面是其中一位教師的上課過程.

1.給出定義與公式

問題1：雙曲線開口大小由什么決定的？

通過作圖，發(fā)現(xiàn)兩條相交直線開口大小決定了雙曲線的開口大小，由此給出漸近線的定義與公式.

問題2：如何證明漸近線與雙曲線“無限接近，永不相交”.

主要有兩種方法，一是漸近線方程與雙曲線方程作差后求極限；二是對雙曲線上的點到漸近線的距離取極限.

2.漸近線的應用

例1通過求下列雙曲線的漸近線，你能得到什么啟發(fā)嗎？

（1）16x2-9y2=144；

（2）16x2-9y2=-144；

（3）16x2-9y2=1.

設計意圖：通過求雙曲線的漸近線獲得求漸近線方程的“快捷”方法，即，從而使學生擺脫對“漸近線公式”的機械記憶.

例2若雙曲線的漸近線方程為y=±3x，求滿足下列條件的雙曲線方程.

設計意圖：利用雙曲線方程與漸近線的關系，快速獲得雙曲線方程.比如，由y=±3x，可設雙曲線方程為y2-9x2=λ（λ≠0）.

例3設雙曲線的一個焦點為F；虛軸的一個端點為B，如果直線FB與該雙曲線的一條漸近線垂直，那么此雙曲線的離心率為（ ）.

例4設雙曲線=1（a＞0，b＞0）的右焦點為F，直線l與兩條漸近線交于P、Q兩點，如果△PQF是直角三角形，則雙曲線的離心率e=________.

設計意圖：明確漸近線方程與雙曲線方程基變量之間的關系，能夠應用漸近線的性質求離心率.

點評：單純地站在“雙曲線的幾何性質”這節(jié)內容來看，上述的教學設計應該是比較合理的，比如，“會求雙曲線的漸近線”的教學目標得到了很好的落實，“漸近線雙曲線的初步聯(lián)系”得到很好的揭示；但仔細琢磨后發(fā)現(xiàn)還有幾個重要的問題沒有得到解決，比如，漸近線作為雙曲線特有的幾何要素，它跟雙曲線到底有什么內在的聯(lián)系？我們知道反比例函數(shù)的圖像是雙曲線，它的漸近線與雙曲線標準方程的漸近線在求法上是否一致？還有一些函數(shù)的圖像也有漸近線，例如“對勾函數(shù)”，它跟雙曲線有什么關系？這些問題若能得到揭示，不僅能夠充實本節(jié)的教學內容，而且有助于學生對“漸近線”本質的理解.

要對“漸近線”進行詮釋，顯然不能拘泥于“雙曲線的幾何性質”這一節(jié)課，而是要站在“圓錐曲線”整個章節(jié)甚至“解析幾何”模塊的高度，根據(jù)章節(jié)或模塊中不同知識點的需要，綜合利用各種教學形式和教學策略，通過系統(tǒng)的學習，從而讓學習者獲得對“漸近線”的完整認知，這就是“整體單元化教學設計”.

二、整體化教學分析

數(shù)學知識間相互聯(lián)系，具有很強的整體性與連續(xù)性，教師在進行教學分析時不能簡單地停留在對某節(jié)課教材文本的解讀上，而是要站在知識系統(tǒng)的高度，開展“整體化”教學分析.具體而言就是站在章節(jié)、模塊，甚至是數(shù)學課程的高度去認識教學內容，全面地整合教材，連貫地理解目標，突出學科知識的系統(tǒng)性和教學的方向性.

1.漸近線求解原理的揭示

由漸近線定義中的“無限接近，永不相交”，我們可以獲得漸近線的基本求解原理，那就是“極限思想”.對于雙曲線的標準方程=1（a＞0，b＞0），變形+1，當x，y趨向于無窮大時，常數(shù)1就可以忽略不計，方程就變?yōu)?，即得到漸近線方程為y=±x.

這種求漸近線的思想可以推廣到一般函數(shù).

利用此思想，還可以求類似于“分式”函數(shù)的漸近線.通過求漸近線不僅讓學生學會了求解的技巧，更為重要的是掌握了數(shù)學基本原理.

2.對雙曲線的再認知

我們知道圓錐曲線一般都具有類似的定義、方程結構和幾何性質，唯獨雙曲線具有漸近線.漸近線的開口大小決定了雙曲線的開口大小，漸近線與雙曲線似乎存在著某種深刻的聯(lián)系.

設兩條相交直線方程為bx±ay=0，“有向”距離之積為k，當然k不等于0.則有k，化簡得，顯然所求點的軌跡為雙曲線.

雙曲線第三定義：到兩條相交直線的“距離”之積為定值的點的軌跡，其中這兩條相交直線就是雙曲線的漸近線.

由定義出發(fā)，我們很容易得到下面推論.

推論：以兩條相交直線A1x+B1y+C1=0，A2x+B2y+C2=0為漸近線的雙曲線方程為（A1x+B1y+C1）（A2x+B2y+C2）=k（k≠0）.反之，曲線方程（A1x+B1y+C1）（A2x+B2y+C2）=k（k≠0）表示為以直線方程A1x+B1y+C1=0，A2x+B2y+C2=0為漸近線的雙曲線.

借助定義與推論我們可以判斷曲線是否為雙曲線.

更加復雜的曲線x2+xy-2y2+3y-4=0?（x+2y-1）（xy+1）=3，它表示以x+2y-1=0，x-y+1=0為漸近線的雙曲線.

三、單元化教學設計

通過“整體化”教學分析，相關教材內容得到統(tǒng)籌重組和優(yōu)化，我們就可以將優(yōu)化后的教學內容視為一個相對獨立的教學單元進行“單元化”教學設計，如圖2所示.

圖2

這樣設計的好處是從單元教學的整體目標出發(fā)，統(tǒng)攬全局，將教學活動的每一步、每一個環(huán)節(jié)都放到教學活動的大系統(tǒng)中考量，突出教學內容的主線及知識間的關聯(lián)性，而不是片面地突出或者強調某一點.以這節(jié)課為例，學生不僅獲得了求解漸近線的一般方法，更為重要的是同時也掌握如何判定一條曲線為雙曲線，比如，“對勾函數(shù)”原來就是雙曲線，而很多“分式函數(shù)”的圖像也是雙曲線，這樣就建立起了“圓錐曲線”與“函數(shù)”之間的聯(lián)系，實現(xiàn)了數(shù)學知識的融會貫通.

事物的聯(lián)系不僅是客觀的、普遍的，而且是辯證的，即聯(lián)系形式具有多樣性和可變性，所以對任何過程的分析都應因時、因地、因勢，根據(jù)具休事物的實際聯(lián)系，進行具體的分析，整體單元化設計的就是普遍聯(lián)系哲學觀點在數(shù)學教學中的具體應用.它的價值在于從更高觀點對數(shù)學教學中的各要素進行系統(tǒng)的綜合考量，使其產生整體效益，從而可以避免糾纏于細枝末節(jié)，做到胸有成竹、游刃有余.