☉湖北省武漢中學(xué) 田 靖
概率解題錯(cuò)誤分析
☉湖北省武漢中學(xué) 田 靖
在概率解題過(guò)程中常常陷入一些誤區(qū),讓人覺(jué)察不到自己的錯(cuò)誤.其原因是因?yàn)闆](méi)有真正理解概率的模型,以及事件的度量,從而導(dǎo)致了錯(cuò)誤思維的發(fā)生.本文以如下幾道高考模擬題為例進(jìn)行分析.
例1在某校教師趣味投籃比賽中,比賽規(guī)則是:每場(chǎng)投6個(gè)球,至少投進(jìn)4個(gè)球且最后2個(gè)球都投進(jìn)者獲獎(jiǎng);否則不獲獎(jiǎng).已知教師甲投進(jìn)每個(gè)球的概率都是
(1)記教師甲在每場(chǎng)的6次投球中投進(jìn)球的個(gè)數(shù)為x,求x的分布列及數(shù)學(xué)期望;
(2)求教師甲在一場(chǎng)比賽中獲獎(jiǎng)的概率.
解析:(1)由題意可得x的所有可能取值為0,1,2,3,4,5,6.
(2)設(shè)教師甲在一場(chǎng)比賽中獲獎(jiǎng)為事件A,包含恰好投進(jìn)4個(gè)球,恰好投進(jìn)5個(gè)球,恰好投進(jìn)6個(gè)球共三種情況,故P(A)=,所以教師甲在一場(chǎng)比賽中獲獎(jiǎng)的概率為
這道題能得到這樣的解法其實(shí)是一件很自然的事情,但是有時(shí)多思考一會(huì),覺(jué)得第一問(wèn)如果換一種分析方式是不是也正確呢?
投球事件的結(jié)果只能有這7種可能,分別投進(jìn)0個(gè)球,1個(gè)球,2個(gè)球,3個(gè)球,…,6個(gè)球.所以有:
出現(xiàn)這樣截然不同的結(jié)果,原因在于求概率時(shí)將概率模型誤當(dāng)成了古典概型.例如:“第一個(gè)球投進(jìn),后五個(gè)球投不進(jìn)”這個(gè)事件的概率與“第一個(gè)球投進(jìn),后五個(gè)球也都投進(jìn)”這個(gè)事件的概率是不等的.
例2設(shè)袋中有4只白球和2只黑球,現(xiàn)從袋中無(wú)放回地摸出2只球.
(1)求這2只球都是白球的概率;
(2)求這2只球中1只是白球,1只是黑球的概率.
解析:我們把4只白球分別標(biāo)為1,2,3,4號(hào),2只黑球標(biāo)為5,6號(hào).則基本事件有:(1,2),(1,3),…,(1,6),(2,1),(2,3),…,(2,6),…,(6,1),(6,2),…,(6,5),共30個(gè).
(1)用A表示“2只球都是白球”這一事件,則A={(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3)},共12個(gè).
(2)用B表示“2只球中1只是白球1只是黑球”這一事件,則B={(1,5),(1,6),(2,5),(2,6),(3,5),(3,6),(4,5),(4,6),(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(6,1),(6,2),(6,3),(6,4)},共16個(gè).
錯(cuò)解:一次摸出2只球,觀察結(jié)果只能是(白,白),(白,黑),(黑,黑)3種情況.
(1)用A表示“2只球都是白球”這一事件,則A={(白,白)},所以P(A)=
(2)用B表示“2只球中1只是白球1只是黑球”這一事件,則B={(白,黑)},所以P(B)=
出現(xiàn)這個(gè)錯(cuò)誤的原因是:(白,白),(白,黑),(黑,黑)3種結(jié)果的出現(xiàn)不是等可能的.
例3在等腰直角三角形ABC中,過(guò)直角頂點(diǎn)C在∠ACB內(nèi)部任作一射線(xiàn)CM,與線(xiàn)段AB交于點(diǎn)M,求AM<AC的概率.
錯(cuò)解:如圖1,點(diǎn)M隨機(jī)地落在線(xiàn)段AB上,故線(xiàn)段AB的長(zhǎng)為基本事件的度量.
當(dāng)M位于線(xiàn)段AD(不含端點(diǎn)AC=AD)上時(shí),AM<AD,所以線(xiàn)段AD的長(zhǎng)為所求事件的度量.
圖1
出現(xiàn)這個(gè)錯(cuò)誤的原因是:本題是在∠ACB內(nèi)作射線(xiàn)CM,等可能分布的是CM在∠ACB內(nèi)的任一位置,因此基本事件的度量應(yīng)是∠ACB的大小,而不是線(xiàn)段AB的長(zhǎng).
正解:AM<AC的概率應(yīng)該為滿(mǎn)足條件的∠ACM與∠ACB大小的比,即P(AM<AC)=
變式:已知等腰Rt△ACB,在斜邊AB上任取一點(diǎn)M,求AM的長(zhǎng)小于AC的長(zhǎng)的概率.
解析:因?yàn)镸點(diǎn)可以等可能地取遍線(xiàn)段AB上的點(diǎn),所以P(AM<AC)=
概率是高考考查的熱點(diǎn)問(wèn)題,如果對(duì)概率知識(shí)理解不夠透徹就往往會(huì)陷入困境.所以,在解答概率問(wèn)題時(shí),需要認(rèn)清概率模型,找到事件正確的度量,對(duì)號(hào)入座,才能給出正確的答案.