張煒

[摘 要] “學為中心”的教育觀就是將教師“以教論學”轉(zhuǎn)變成“以學論教”的課堂教學模式，強調(diào)學生是學習的主體. 在這樣的教育觀的指導下，教學探索的重點目標是“學什么，為什么學，怎樣學”等重要內(nèi)容.

[關(guān)鍵詞] 教育觀；學為中心；教學探索

“學為中心”的教育觀是教與學的辯證關(guān)系的一種看法. 初中數(shù)學“學為中心”教育觀的基本觀點是：首先，學生是學習的主體，教師是學習的組織者、引導者與合作者. 其次，學生的學是課堂教學的核心，學什么、為什么學、怎樣學等應(yīng)成為教學探索的重要內(nèi)容. 特別是在學習過程中，除了獲得相應(yīng)的基礎(chǔ)知識和基本技能的提升，更重要的是學習之后問題探索思維上的提升，基本數(shù)學思想方法及基本活動經(jīng)驗的收獲. 但筆者在浙江省象山縣舉行的以浙教版《義務(wù)教育課程標準實驗教科書·數(shù)學》七年級下冊“5.2 分式的基本性質(zhì)”為載體的“同課異構(gòu)”式“學為中心”的數(shù)學教師培訓活動中發(fā)現(xiàn)，課堂教學存在著共同的問題：學什么、為什么學、怎樣學等內(nèi)容存在缺失或者顯得突兀. 這有悖于“學為中心”的教育觀，不能滿足教與學和諧發(fā)展的需要. 基于此，筆者對本節(jié)課重新進行了進一步地教學探索，本文簡錄其教學過程，并提供教后反思，以饗讀者.

教學過程簡錄

第一階段：以探索有價值的“數(shù)學題材”為載體的活動

環(huán)節(jié)1：課前預(yù)習——自主探索

課前，教師設(shè)計如下的“先行組織者”供學生課前預(yù)習，并允許合作探討.

（3）已知這樣一個表達式：+2b，請同學們?nèi)我饨o出你喜歡的a，b的值. 老師馬上就能給出答案，你知道其中的奧妙嗎？

反思：在問題（1）中每一組左邊的分式化成右邊的分式體現(xiàn)了什么思想？其數(shù)學本質(zhì)是什么？

在問題（2）中，根據(jù)圖1和圖2的聯(lián)系，能給你哪些啟示？

在問題（3）中，你能發(fā)現(xiàn)老師速算的秘訣嗎？你從中獲得哪些啟發(fā)？根據(jù)分數(shù)與分式的類比性，你從中獲得分式的哪些不變性？

環(huán)節(jié)2：匯報交流——矯正互學

上課一開始，教師出示課前布置的問題，要求學生匯報預(yù)習成果，并進行交流. 必要時，教師進行追問、激勵與評析. 在此基礎(chǔ)上，教師進行總結(jié).

問題（1）中的每一組彼此相等，前兩個等式的左邊，分子、分母采用擴大倍數(shù)，分子、分母擴大的倍數(shù)分別是6倍、10倍；后三個等式的左邊采用分子、分母縮小倍數(shù)，縮小的倍數(shù)分別是2a3，x，a-b. 每個分式從左邊到右邊是化歸的思想，其數(shù)學本質(zhì)是將分式的變形轉(zhuǎn)化成分子、分母中整式的變形. 分子、分母的系數(shù)從分數(shù)化為整數(shù)，在變化中存在不變性. 后三個等式中從左到右的變形體現(xiàn)了數(shù)學運算的簡約性.

在問題（2）中圖1的寬=，圖2的寬=，在寬不變的前提下，面積與長擴大或縮小的倍數(shù)一致，這是后續(xù)研究正比例與反比例的關(guān)鍵. 圖形的直觀性有利于直觀認識周圍世界的變化，從變化中發(fā)現(xiàn)規(guī)律；“數(shù)”的抽象通過“形”的直觀來刻畫，有利于學生用直觀、多維度的眼光看世界.

在問題（3）中分式約分之后為a-b，再合并同類項a-b+2b=a+b. 在運算的過程中，分式的合理變形是分式運算化難為易的重要環(huán)節(jié). 如何合理變形？如何學以致用？分式的基本性質(zhì)蘊涵在分式的運算中，類比不僅在分式基本性質(zhì)的產(chǎn)生中，同時也在分式的運算中. 類比不能局限在分式基本性質(zhì)產(chǎn)生的認識上，應(yīng)具有全面性，既要與分數(shù)變形上的橫向類比，也應(yīng)該注意與整式甚至是代數(shù)式的縱向比較.

第二階段：以生成“數(shù)學方法和理論”的引導探究

環(huán)節(jié)3：引導探究——合作研討

師：既然分式的基本性質(zhì)是形成分式變形的關(guān)鍵，是分式的約簡和分式混合運算中分母變形的核心依據(jù)，這決定了從數(shù)學角度來認識分式性質(zhì)的必要性. 這節(jié)課的研究對象就是分式的基本性質(zhì)（揭示課題）.

接著教師提出以下具有挑戰(zhàn)性的問題：分式的性質(zhì)可以類比分數(shù)，那么你認為分式的基本性質(zhì)在運用中會出現(xiàn)哪些易錯點？請大家合作研討并發(fā)表自己的觀點，結(jié)合具體的實例來說明.

以下是學生在獨立學習的基礎(chǔ)上小組合作交流后的匯報結(jié)果：

師：非常好，在變化中尋求不變性是研究數(shù)學的基本思想，但需要科學的方法. 分式的基本性質(zhì)從書寫形式上可以根據(jù)分子、分母的整式特點分為單項式和多項式；根據(jù)運算的變形特點分為特殊（符號變化）到一般（字母系數(shù)的變形）；從運算的類別可以劃分為分式的約分（縮小倍數(shù)）和分式的通分（擴大倍數(shù)）；從運算的題型可以劃分為三種表現(xiàn)形式，第一種是字母系數(shù)符號的變形，第二種是字母最高次項的系數(shù)的變形，第三種是分式的約分與通分. 這些都是認識分式基本性質(zhì)的視角.

環(huán)節(jié)4：建構(gòu)理論，綜合概括

在此基礎(chǔ)上，進行分式基本性質(zhì)的知識點結(jié)構(gòu)的概括.

把一個分式的分子和分母的公因式約去，叫作分式的約分，約分要約去分子、分母所有的公因式. 分子、分母沒有公因式的分式叫作最簡分式.

（1）本質(zhì)是同變與不變，即：分子與分母同時乘以或者除以不為零的整式（簡稱同變），分式的值不變（簡稱不變）.

（2）蘊含的數(shù)學思想：從特殊（具體的實例）到一般（抽象的字母）；化歸（從分式整體的變形化為分式的分子、分母中整式的變形）；類比（分式的基本性質(zhì)類比分數(shù)的基本性質(zhì)）.

（3）研究方法：觀察、猜想、歸納、概括、驗證.

（4）數(shù)學價值：將分式的運算化歸到整式的運算，分式的簡潔美.

（5）研究分式的基本性質(zhì)的基本過程是“三部曲”：①學什么——分式的基本性質(zhì). 即在分式的值不變的前提下，分式的變化化歸到分子、分母中整式的變化. ②為什么學——解決含有分式的運算、變形等問題. ③怎樣學——方案1：類比分數(shù)的除法法則，猜想、歸納、概括、驗證、歸納法的運用，從特殊到一般，化歸思想. 方案2：從生活材料的問題解決進行抽象、概括、猜想、驗證，數(shù)形結(jié)合思想.endprint

（6）分式與分數(shù)的聯(lián)系結(jié)構(gòu)圖（圖3）.

第三階段：以解決“具體問題”為載體的數(shù)學應(yīng)用

環(huán)節(jié)5：嘗試應(yīng)用——檢測評價

教師提出3個問題，學生在獨立學習的基礎(chǔ)上交流合作，必要時教師進行積極地認知干預(yù)及解題過程的示范.

問題1：填空.

（3）用分式表示下列各式的商，并約分：①14ab÷（-21ab2）；②（3a2+a）÷（1+6a+9a2）.

設(shè)計意圖：進一步鞏固綜合運用有關(guān)知識與經(jīng)驗解決實際問題的能力，強化“為什么學”.

環(huán)節(jié)6：反思拓展——深化認識

問題1：分式的分母中字母的系數(shù)化為整數(shù)要乘的倍數(shù)是怎樣確定的？

問題2：分式的分子與分母中含有字母最高次項的系數(shù)化為正數(shù)，通常將負號放在哪里？

問題3：分式的分子與分母什么情形下適合約分？什么情形下適合通分？約分和通分與分式的基本性質(zhì)的關(guān)系是什么？

第四階段：以交流“問題清單”內(nèi)容為載體的反思總結(jié)

環(huán)節(jié)7：回顧思考——交流合作

教師在解題后反思的基礎(chǔ)上，列出“問題清單”，要求學生在思考的基礎(chǔ)上匯報.

（1）分式的基本性質(zhì)是什么？學習分式的基本性質(zhì)有何意義？

（2）分式的約分與分式的基本性質(zhì)的關(guān)系是什么？你認為約分時的注意事項有什么？

（3）分式的通分與分式基本性質(zhì)的關(guān)系是什么？你認為分式通分時的注意事項是什么？

（4）分式的基本性質(zhì)中數(shù)學思想方法有哪些？

（5）你在學習的過程中獲得了哪些數(shù)學活動經(jīng)驗？有何感觸？

（6）你認為分式還應(yīng)該研究什么呢？

環(huán)節(jié)8：歸納提煉——課堂總結(jié)

教師在傾聽學生匯報后，讓學生欣賞分式的基本性質(zhì)的自述，這部分內(nèi)容可以移至課后.

Hi！我是分式的基本性質(zhì). 我的本質(zhì)是整式除法運算的變化特點. 我是在分式的值不變的前提下的一種書寫變形. 從運算的方式上我的出現(xiàn)有兩種，一種是分子與分母擴大倍數(shù)，通分的需要；另一種是分子與分母縮小倍數(shù)，約分的需要. 我的親緣是分數(shù)的基本性質(zhì)，你想熟悉我的性格可以和我的兄弟（分數(shù)）進行類比. 從整式的特點細化我為三種形式：第一種是特殊的倍數(shù)（-1），也稱為符號變化，含有字母的最高次項的系數(shù)從負數(shù)變?yōu)檎龜?shù)；第二種是含有字母的系數(shù)從分數(shù)（或小數(shù)）化為整數(shù)，這樣我的外表可以更簡潔、靚麗；第三種是我在分式值不變的前提下，可以增肥也可以瘦身，也稱為通分（或約分）. 你們之所以喜歡我，因為我是分式運算的源泉. 沒有我的出現(xiàn)，分式的任何運算都會失靈. 我的變形具有多樣性，但也具有不變性，抓住不變與同變是關(guān)鍵. 不變是分式的值不變，同變是指分子與分母同時改變. 你可以用認識分數(shù)的變形來理解我，也可以用化歸的思想，從整式除法的特點來認識我的變化. 正確掌握我的變化，是后續(xù)分式運算的依據(jù). 你在認識我的過程中，還能發(fā)展智力、能力和個性.

教學反思

1. “學為中心”的課堂教學應(yīng)還給學生真實的“學習過程”

《義務(wù)教育數(shù)學課程標準》（2011年版）（以下簡稱新課標）指出，有效的課堂教學在呈現(xiàn)作為知識與技能的數(shù)學結(jié)果的同時，重視學生已有的經(jīng)驗，使學生體驗從實際背景中抽象出數(shù)學問題、構(gòu)建數(shù)學模型、尋求解決問題的過程. “學為中心”就是把學生對于知識發(fā)生、發(fā)展的認識過程作為課堂的核心，教學設(shè)計圍繞學生對于新知識的思考過程. 有專家指出，有效的課堂教學本質(zhì)就是過程與結(jié)果的和諧關(guān)系. 知識的獲得既要有結(jié)果，也要有相應(yīng)的過程. 應(yīng)當既有認知的“前半段”，即：學什么，也要有認知的“后半段”，即為什么學、怎樣學. 認知過程的前半段是感性到理性的認識過程，以獲得數(shù)學結(jié)果（或解決問題）；認知過程的后半段是理性認識的加深并反作用于實踐.

通過反思來欣賞數(shù)學結(jié)果，感悟蘊含的數(shù)學思想方法等過程. 具體講，首先通過在預(yù)習先行組織者中提出問題，思考問題揭示課題的現(xiàn)實意義：學什么、怎樣學. 其次，通過問題解決和解題后的反思揭示課題的數(shù)學意義：為什么學. 課堂教學的最終目的是實現(xiàn)學生解題思維的升華，是在以學習材料為載體的基礎(chǔ)上實現(xiàn)知識與能力的提升，實現(xiàn)從現(xiàn)象看本質(zhì)，體會解題過程中蘊含的數(shù)學思想方法與解題經(jīng)驗的提煉過程；是在“做中學”中實現(xiàn)“授之魚”到“授之漁”的發(fā)展過程.

在感受問題解決的全部過程中認識數(shù)學是過程教育，揭示了課題學習的教育意義：數(shù)學是一門科學，科學的認識是需要探究過程的，是滿載著疑惑，不斷地進行思維詮釋的憤悱的啟發(fā)過程. 這個過程不是教師教、學生聽、機械模仿的被動式教學，是以學生的學習經(jīng)歷過程為核心，從不知到知之，再到熟知的歷程. 通過學生參與問題互動式過程，得到問題的解決、方法的歸納，問題解決后方法、經(jīng)驗的反思總結(jié)與提煉.

其具體操作方法有以下幾個特點. ①類比結(jié)合確定學什么——分式的基本性質(zhì)，并初步形成理論. ②數(shù)形結(jié)合確定為什么學——分式的基本性質(zhì)現(xiàn)實意義化，化抽象為直觀. ③化歸結(jié)合確定怎樣學——分式的基本性質(zhì)，類比到分數(shù)的基本性質(zhì)可以溫故而知新，轉(zhuǎn)化到整式的認識，提煉分式基本性質(zhì)的本質(zhì)——不變與同變. 這符合學生“最近發(fā)展區(qū)”的認識，通過從知識的形成、發(fā)展、理解、應(yīng)用的認識過程使學生不僅知其然，更知其所以然，有利于教與學的和諧發(fā)展.

2. “學為中心”的課堂教學注重“四基”的落實

新課標指出，學生應(yīng)當在課堂教學中實現(xiàn)理解和掌握基本的數(shù)學知識與技能，體會和運用數(shù)學思想與方法，獲得基本的數(shù)學活動經(jīng)驗（簡稱四基）. 本節(jié)課在“學為中心”理論的指導下，注重“四基”的落實. 一是通過課前預(yù)習體會課題學習的必要性，改變多數(shù)教師采用開門見山的導入模式，雖然開門見山入題比較快捷，但這樣的模式是教師“逼著”學生接受學習的內(nèi)容，成為學習的“容器”. 二是采用類比反思代替了學生高強度、大容量的訓練，通過學生的自我總結(jié)，揭示分式基本性質(zhì)的數(shù)學本質(zhì)，實現(xiàn)理解和掌握數(shù)學知識和技能的目標. 三是注重學生在數(shù)學活動中學會解題反思，反思問題中蘊含的從現(xiàn)象看本質(zhì)、數(shù)學思想的總結(jié)歸納、解題中蘊含的“核心思想”. 四是實現(xiàn)從學生之間、師生之間解題經(jīng)驗的分享，知識上的“導富濟貧”. 五是在課題學習中獲得“共同富裕”、通過鞏固練習后的問題清單式的課堂小結(jié)，實現(xiàn)數(shù)學知識的融會貫通，舉一反三，達到做一題、通一片的課堂效果.endprint

3. 用“預(yù)習先行者”來提供保障

課前的“先行組織者”有這樣一些功能：一是為學生提供溫故知新、新知識探索的平臺，避免教師上課開門見山，學生摸不著頭緒. 二是為新知識提供“導富濟貧”的先備條件，使得不同層次的學生在學習新知識之前達到必要的知識儲備. 三是避免預(yù)習流于看書、直奔結(jié)果的膚淺的先行方式. 四是有利于打開理性思維的“閘門”，避免在學習新知識時教師主宰思考問題的一切. 五是避免教師唱獨角戲，操縱問題思考的過程. 六是有利于獨立思考與合作學習的有效結(jié)合，調(diào)動學生探求新知識的積極性，使得數(shù)學冰冷的美麗成為學生火熱的思考. 七是幫助學生克服畏懼心理，數(shù)學的思考不是少數(shù)人的聰明，而是大多數(shù)人歷經(jīng)千辛萬苦、充滿荊棘的探索，是人人都能嘗試、堅持都會成功的坎坷過程. 八是為貫徹新課標理念，面向全體學生，滿足人人都能獲得良好的數(shù)學教育，不同的人在數(shù)學上得到不同發(fā)展的需要.

4. 用有效的數(shù)學活動提升學習的有效性

一是通過預(yù)習先行者感受分式基本性質(zhì)的必要性，如分式的字母系數(shù)化為整數(shù)是為了書寫的需要，提倡數(shù)學的簡約性；分式分子分母的擴大（或縮?。┠康氖峭ǚ只蚣s分的需要，提倡數(shù)學的連續(xù)性；不是單一因為類比分數(shù)而產(chǎn)生，分式的符號問題也是為了解決分式中分子與分母整式符號變化的需要，是后續(xù)分式的混合運算中符號變化的依據(jù). 二是通過類比分數(shù)基本性質(zhì)的易錯點反思分式基本性質(zhì)使用中的易錯點，改變教師灌輸、一講到底的現(xiàn)象. 另外通過解題反思，發(fā)現(xiàn)分式的變形化歸到整式的變形，在運用中的核心是抓住不變與同變，不變的是值，同變的是分子與分母的擴大（或縮?。? 三是通過學生的自我總結(jié)、歸納，認識到學習運算不是一味地做題，而是發(fā)現(xiàn)題目中蘊含的數(shù)學思想方法，解題的經(jīng)驗. 四是從分式出現(xiàn)的三種外在變形，“舉三反一”，提煉分式問題解決中的數(shù)學本質(zhì)——分式的基本性質(zhì). 揭示本節(jié)課的重點是認識分式的基本性質(zhì)及其應(yīng)用之一約分. 五是從學生的反思中化解難點，認識到分式的基本性質(zhì)中分式的同變與不變.

總之，我們在“學為中心”課堂理念的教學模式中駕馭課堂教學，應(yīng)給學生“真、實、細”的內(nèi)需. “真”的學習意義，摒棄為了學而學的機械模仿；“實”的課堂立意，充實、真實為學生所需；“細”的學習程序，從學生的“最近發(fā)展區(qū)”出發(fā)，設(shè)置合理有效的問題情境，循序漸進，讓學生真正成為學習的主人，學得輕松，學得快樂，學得透徹. 使課堂真正成為學生成長的舞臺，這樣的課堂才會成為和諧的課堂.endprint