圓錐曲線參數(shù)方程在高中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用

尹麗

摘要：BaconRoger曾經(jīng)說過：數(shù)學(xué)是科學(xué)的大門鑰匙，忽視數(shù)學(xué)必將傷害所有的知識，因為忽視數(shù)學(xué)的人是無法了解任何其他科學(xué)乃至世界上任何其他事物的。數(shù)學(xué)是多種學(xué)科里面最為重要的學(xué)科，隨著學(xué)習(xí)的深入，數(shù)學(xué)的難度也隨之增加，高中階段的數(shù)學(xué)中讓學(xué)生較頭疼的就是圓錐曲線參數(shù)方程這一塊的知識點了，這一方面的知識不僅難度較大，而且占有較高的分值，如何突破圓錐曲線參數(shù)方程在高中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用是本文重點討論的對象。

關(guān)鍵詞：高中數(shù)學(xué)；圓錐曲線方程；應(yīng)用

圓錐曲線類數(shù)學(xué)題目的解題關(guān)鍵是利用橢圓、雙曲等其它變形的圓錐曲線上的不同焦點進(jìn)行解題。橢圓方程、雙曲線方程在一些公式上面非常相似，所以在解答時，一定要認(rèn)真分析，牢記二者的相關(guān)概念，不要混淆，相互轉(zhuǎn)化，由點至面，熟練運(yùn)用各類方法技巧解答圓錐曲線參數(shù)方程問題。

一、靈活轉(zhuǎn)換，利用圓錐曲線參數(shù)方程解決最值問題

很多學(xué)生在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的時候存在一個誤區(qū)，總認(rèn)為數(shù)學(xué)成績提不上去的原因是習(xí)題量不夠，所以有的學(xué)生會陷入一種盲目的刷題狀態(tài)，而忽略學(xué)習(xí)方法和思維模式上存在的不足。學(xué)生要根據(jù)自身知識水平以及學(xué)習(xí)習(xí)慣安排數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，善于總結(jié)和歸納，了解自身知識掌握情況，有針對性的進(jìn)行習(xí)題設(shè)計，而非一味追求練習(xí)量，認(rèn)清數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)更重要的是建立數(shù)學(xué)思維，而不是培養(yǎng)做題機(jī)器。

例如在這道題中：橢圓x2/a2+y2/b2（a>b>0），橢圓內(nèi)接四邊形為ABCD，各邊和對應(yīng)的坐標(biāo)軸平行，求該四邊形的周長和面積?？吹竭@道題時，首先要根據(jù)已知條件畫出相應(yīng)的圖形，不難分析出該題目中的四邊形是長方形，在長和寬未知的情況下計算長方形的周長和面積有一定的難度，所以要運(yùn)用轉(zhuǎn)換思想，將長和寬和橢圓聯(lián)系起來。我們在學(xué)習(xí)橢圓概念的時候知道，x=a×cosθ，y=b×sinθ，S=4xy=4ab cosθsinθ= 2absin2θ。由于y=sinx函數(shù)的最大值是1，所以當(dāng)sin2θ=1時，四邊形的面積達(dá)到最大值，此時S=2ab；當(dāng)sin（θ+β）=1時，周長取到最大值，為（4a2+b2）1/2。這種由一般規(guī)律總結(jié)的公式可以直接拿來應(yīng)用，在做選擇題和填空題時可以有效節(jié)省計算過程，提高做題質(zhì)量。

二、牢記定義，熟練應(yīng)用正余弦定理

高斯曾經(jīng)說過：寧可少些，但要好些，二分之一個證明等于0，波利亞也曾說過：從最簡單的做起，這些都是說學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)要從基礎(chǔ)抓起，只有牢記基礎(chǔ)概念，才能有所創(chuàng)新，才能有更多發(fā)散式的思維。圓錐曲線問題復(fù)雜多變，不可能記住所有的題型，但是基礎(chǔ)知識都是通用的。解題時，可以多于同學(xué)互相討論，尋求解決問題的最簡單方法，著名數(shù)學(xué)家華羅庚說過，“新的數(shù)學(xué)方法和概念，常常比解決數(shù)學(xué)問題本身更重要”[1]。

例如在下面這個問題中：已知雙曲線x2/a2+y2/b2（a<0，b>0），P為雙曲線上的一個動點，∠F1PF2=θ，求三角形F1PF2的面積。首先由面積公式列出S=1/2| PF1|×| PF2| sinθ，（2c）2=| PF1|2+| PF2|2- 2| PF1|×| PF2| cosθ，聯(lián)立上述兩個方程，就可以得到| PF1|×| PF2| =2b2/（1-cosθ），帶入面積公式，即可求得問題答案。

三、發(fā)散思維，利用圓錐曲線公式解決參數(shù)方程

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的連貫性很強(qiáng)，知識點的關(guān)聯(lián)性也很緊密，所以在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中切忌偷懶，因為有可能課堂上稍微偷個懶，老師就講過一個知識點了，自己在課下所花費的時間要遠(yuǎn)遠(yuǎn)不止這一節(jié)課的時間。如果課堂上有不明白的地方，要課下及時問老師或者跟同學(xué)討論，爭取不把問題留給明天，今天的問題今天解決。圓錐曲線是歷年來必考的題目，靈活多變，公式繁多，除了多練習(xí)之外，一些公式也是需要不斷背誦的，這樣才能強(qiáng)化記憶?？梢远喔皩W(xué)霸”交流解題方法，以培養(yǎng)自己的發(fā)散思維[2]。

例如在下面這道題中：已知橢圓方程是x2/a2+y2/b2（a>b>0），與x軸正半軸的交點記為M，，若是曲線上存在懂點N ，并且滿足ON垂直O(jiān)P，求橢圓的離心率范圍。在解這道題之前，要先畫草圖進(jìn)行分析，再結(jié)合自己已經(jīng)掌握的知識進(jìn)行發(fā)散式思維拓展，當(dāng)遇到瓶頸時，可以先放一放，跟同學(xué)進(jìn)行討論，如果仍然沒有想出解決方法，就要向老師尋求幫助。如果這是在考場上，不要因為一道題浪費太多時間，要懂得取舍，此外，對于這種常規(guī)題目，多多少少能寫出來一點解題步驟，能寫到哪一步就寫到哪一步，多一個公式就會多幾分。這道題就可以按照常規(guī)的步驟來寫，首先是設(shè)N點的坐標(biāo)是N（a×cosθ，b×sinθ），由已知得M（a，0），y然后由MP垂直O(jiān)N得（b×sinθ/ a×cosθ）×{b×sinθ/（a×cosθ- a）}=- 1，化簡得到b2/a2=1- 1/（1+ cosθ），再根據(jù)橢圓方程的基本定義a2=c2+b2，順利求出離心率范圍。

四、圓錐曲線方程解題注意事項

很多學(xué)生一看到圓錐曲線方程就頭大，會下意識認(rèn)為很難，甚至直接跳過去不做，其實圓錐曲線方程主要考察的是學(xué)生對于概念、公式的掌握情況，題目較常規(guī)，尤其是大題，基本不會出得特別刁鉆。同學(xué)們利用掌握的公式和積累的解題技巧來答題，就算計算結(jié)果有誤，也會拿到一定的分?jǐn)?shù)的。這種常規(guī)題目的解題技巧關(guān)鍵在于認(rèn)真，以及平時打下的良好基礎(chǔ)，在平常練習(xí)時，多總結(jié)、多歸納、多思考、多記憶，在考試的時候才不會無從下手，被它“嚇到”。學(xué)生在平時練習(xí)的時候要養(yǎng)成隨手將題目中的重點內(nèi)容圈出來，以免出現(xiàn)遺漏的地方。不要執(zhí)迷于計算結(jié)果，重點是熟悉解題思路和過程，時間充足的話，還可以嘗試突破常規(guī)解題方法，尋找新的解題途徑[3]。

五、結(jié)語

高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)更重要的是積累解題技巧和培養(yǎng)思維習(xí)慣，學(xué)生不應(yīng)該為了“刷題”而“刷題”，而是結(jié)合自身知識水平以及做題習(xí)慣，有針對性地練習(xí)。高中數(shù)學(xué)較難，學(xué)生可以準(zhǔn)備錯題本，及時將不會或是做錯的題目記錄下來，以便考試之前翻閱，有效提高復(fù)習(xí)的效率[4-6]。

參考文獻(xiàn)

[1] 雷鵬.圓錐曲線參數(shù)方程在高中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用[J].學(xué)周刊，2016，09：134.

[2] 王琦.圓錐曲線參數(shù)方程在高中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用[J].科學(xué)大眾（科學(xué)教育），2017，01：28.

[3] 杜素麗.淺談轉(zhuǎn)化思想在高中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用[J].學(xué)周刊，2014，21：126.

[4] 毛芹.圓錐曲線參數(shù)方程在高中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用[J].理科考試研究，2014（05）.

[5] 梁偉彬.淺析直線與圓錐曲線問題的幾種解法[J].中學(xué)數(shù)學(xué)，2012（05）.

[6] 陳堯明.直線參數(shù)方程教學(xué)設(shè)計[J].教學(xué)月刊（中學(xué)版），2011（12）.endprint