淺析求解非恒力做功問題的幾種方法

邱勇涵

1引言

高中物理中定義力對(duì)物體做功的公式為F=FXcosα，特別注明這一公式適用于恒力做功。有關(guān)非恒力做功的求解，教材并沒有詳盡說明，而高中物理試題中非恒力做功是一種常見的題型，如何求解非恒力做功為題一直以來都是高中力學(xué)中重要的知識(shí)點(diǎn)。

2非恒力做功的平均力求解法

采用平均力求解非恒力做功時(shí)，物體受到的非恒力必須具備兩個(gè)條件，一個(gè)是這個(gè)非恒力方向固定，另一個(gè)是力的大小隨著物體位移的變化發(fā)生均勻的改變。此時(shí)，力的平均值為F平均=（F1+F2）/2，F(xiàn)1為初始狀態(tài)時(shí)物體受到的力，F(xiàn)2為物體終止?fàn)顟B(tài)時(shí)受到的力。

圖1所示的彈簧勁度系數(shù)為k，原始長(zhǎng)度為x0，對(duì)彈簧施加外力F，使得彈簧由原始狀態(tài)O點(diǎn)逐漸拉伸至A點(diǎn)，此時(shí)彈簧形變?yōu)棣，對(duì)拉伸過程中拉力F做功進(jìn)行分析。

外力F的方向不變，大小隨著彈簧的伸長(zhǎng)逐漸改變，因此可以采用平均力求解法。拉伸過程非常緩慢，那么彈簧此過程中中任意一瞬間的彈力與F大小相等，方向相反。根據(jù)胡克定律初始狀態(tài)時(shí)F1=0，終止?fàn)顟B(tài)為彈簧位于A時(shí)，此時(shí)F2=kΔx，拉伸過程中彈簧受到的平均力為F平均=（F1+F2）/2=kΔx/2，因此非恒力F做功如式（1）所示：

[W=F平均?x=12k?x2] （1）

3非恒力做功的等效求解法

以具體實(shí)例說明這種方法的應(yīng)用，如圖2所示，物體一端系有細(xì)繩，穿過定滑輪，在細(xì)繩另一端施加一個(gè)恒力F，定滑輪距離物體上表面的高度為h，物體由初始狀態(tài)開始運(yùn)動(dòng)，此時(shí)細(xì)繩與水平方向呈30°夾角（α），一段時(shí)間后物體運(yùn)動(dòng)至終止?fàn)顟B(tài)，此時(shí)細(xì)繩與水平方向呈45°夾角（β）。忽略拉動(dòng)過程中摩擦和繩子的質(zhì)量，分析繩子拉力T在這個(gè)過程中做的功。

上述實(shí)例中細(xì)繩拉力T是一個(gè)大小不變，只有方向不停改變的非恒力，細(xì)繩上的拉力T和施加于細(xì)繩的力F大小是相等的，而F是一個(gè)大小和方向都不變的恒力，因此可以使用等效求解法，即將T做的功等效為F做的功。細(xì)繩的水平夾角由α變化為β的過程中，F(xiàn)作用的一端移動(dòng)的距離為ΔL=L1-L2=h（1/sinα-1/sinβ）。如式（2）所示：

[W=F?L=Fh1sinα-1sinβ=（2-2）Fh] （2）

4非恒力做功的圖像求解法

根據(jù)力做功的公式W=Fx，一段時(shí)間內(nèi)力所做的功可以看作是力F和位移x累積后得到的結(jié)果，如果以位移x為橫坐標(biāo)，力F為縱坐標(biāo)作圖，得到的圖像中曲線與x軸“圍成”的面積就代表做功的大小。正功指x軸以上部分的面積，負(fù)功則是指x軸以下部分的面積。也就是說在求解非恒力做功時(shí)，如果能將變力繪制成以位移x為自變量的函數(shù)圖像，就可以利用圖像求解非恒力做功的大小。

實(shí)例3為非恒力做功的圖像求解法：現(xiàn)有一個(gè)作用于物體的力F使物體運(yùn)動(dòng)，首先從10N逐漸增大至60N，這一過程中物體移動(dòng)了0.3m，之后力F保持60N的大小，使物體移動(dòng)了0.5m，很明顯力F是一個(gè)方向不變，大小改變的非恒力，將力F隨物體位移x的函數(shù)圖像繪出，如圖3所示：

非恒力F已經(jīng)轉(zhuǎn)化為與位移x有關(guān)的函數(shù)關(guān)系，那么圖3中曲線與x軸和y軸圍成的面積就是非恒力F做功的大小，圖3中這個(gè)面積是一個(gè)直角梯形和矩形之和，那么F做的功W如式（3）所示：

[W=S梯形+S矩形=（10+60）×0.32+0.5×60=40.5]J （3）

5結(jié)論

綜上所述，求解非恒力做功問題都是從功的定義是W=FXcosα著眼的，無論是平均力求解法、等效求解法還是圖像求解法，都是將非恒力進(jìn)行一定程度的變形轉(zhuǎn)化后，應(yīng)用于定義式中。這三種方法求解非恒力做功問題可以提高解題的速度，非常方便和快捷。endprint