三角形中線定理在數(shù)量積中的應(yīng)用

江蘇省平潮高級(jí)中學(xué) 魯 鋒

三角形中線定理在數(shù)量積中的應(yīng)用

江蘇省平潮高級(jí)中學(xué) 魯 鋒

在三角形中，中線是一條重要的線段，巧妙地利用好這條特殊線，可以巧妙解決相關(guān)的數(shù)量積問(wèn)題。

中線；數(shù)量積

數(shù)量積是高中數(shù)學(xué)平面向量部分中一個(gè)重要的知識(shí)點(diǎn)，也是高考數(shù)學(xué)的一個(gè)重要考點(diǎn)。如何正確地求出數(shù)量積，特別是與三角形有關(guān)的數(shù)量積問(wèn)題，是擺在高中學(xué)生面前的一個(gè)難點(diǎn)。本文從三角形的兩條特殊線“中線和角平分線”出發(fā)，以具體實(shí)例為背景，給出一些思路和觀點(diǎn)，以起拋磚引玉的作用。

例1 如圖1，在△ABC中，AB=4，AC=3，D為BC中點(diǎn)，求的值。

例2 如圖2，在△ABC中，AB=4，AC=3，D為BC中點(diǎn)，點(diǎn)P為邊BC的中垂線上一點(diǎn)，求的值。

評(píng)注：本題中雖然多了一條垂直平分線，但主要的特征還是點(diǎn)D為AB中點(diǎn)，因此還是可以利用向量的加法法則和向量垂直的條件及中線定理來(lái)處理。

例3 如圖3，已知點(diǎn)G，H分別為△ABC的重心、垂心，若的值。

解析：如圖4，連接并延長(zhǎng)AG，AH，AG交BC于點(diǎn)M ，由三角形法則可知所以由中線定理可知

評(píng)注：由于重心為中線的交點(diǎn)，因此題中的重心條件實(shí)質(zhì)是中線條件，結(jié)合重點(diǎn)位于中線的三等分點(diǎn)處，所以轉(zhuǎn)化為中線定理的問(wèn)題。對(duì)于垂心，利用 的垂直關(guān)系及三角形法則，可以轉(zhuǎn)化為向量的數(shù)量積為0，從而實(shí)現(xiàn)問(wèn)題的轉(zhuǎn)化和解決。

例4 如圖5，在△ABC中，D是BC的中點(diǎn)，E、F分別是AD上的兩個(gè)三等分點(diǎn)，的值。

例5 如圖6，△ABC的邊BC的中垂線交AC于點(diǎn)P，交BC于點(diǎn)Q，若

中線定理的應(yīng)用從根本上給學(xué)生選擇基底提供了一個(gè)較好的參考依據(jù)，同時(shí)也給三角形中的向量數(shù)量積的相關(guān)運(yùn)算帶來(lái)了簡(jiǎn)便，因此學(xué)生應(yīng)較好地利用題中出現(xiàn)的中點(diǎn)、中線、重心等相關(guān)信息來(lái)解決向量問(wèn)題。