劉 程， 史文庫(kù)， 陳志勇， 何 偉， 榮如松， 宋懷蘭

(1.吉林大學(xué) 汽車仿真與控制國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室, 長(zhǎng)春 130022；2．南京依維柯汽車有限公司車橋分公司，南京 210028)

汽車驅(qū)動(dòng)橋準(zhǔn)雙曲面齒輪時(shí)變嚙合剛度計(jì)算

劉 程1， 史文庫(kù)1， 陳志勇1， 何 偉1， 榮如松2， 宋懷蘭2

(1.吉林大學(xué) 汽車仿真與控制國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室, 長(zhǎng)春 130022；2．南京依維柯汽車有限公司車橋分公司，南京 210028)

針對(duì)汽車準(zhǔn)雙曲面齒輪動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)建模中齒輪時(shí)變嚙合剛度計(jì)算困難的問(wèn)題，提出一種完整的基于有限元法計(jì)算準(zhǔn)雙曲面齒輪嚙合剛度的計(jì)算方法。詳細(xì)描述利用有限元方法計(jì)算齒輪嚙合剛度理論模型，并利用此模型計(jì)算直齒漸開線齒輪嚙合剛度，結(jié)果表明此方法計(jì)算結(jié)果與KUANG模型計(jì)算結(jié)果一致。利用MATALAB和CATIA建立了準(zhǔn)雙曲面齒輪三維幾何模型，并在ABAQUS中建立此齒輪準(zhǔn)靜態(tài)嚙合有限元模型。詳細(xì)論述了由準(zhǔn)雙曲面齒輪嚙合有限元分析結(jié)果后處理得到嚙合剛度計(jì)算過(guò)程，并對(duì)不同載荷下齒輪嚙合剛度的變化趨勢(shì)進(jìn)行討論。結(jié)果表明，準(zhǔn)雙曲面齒輪嚙合過(guò)程中嚙合剛度隨齒輪旋轉(zhuǎn)位置和所加載力矩周期性變化，其變化周期等于齒輪嚙合周期；當(dāng)齒輪加載力增大齒輪嚙合剛度平均值增大，同時(shí)嚙合剛度的波動(dòng)減小。

準(zhǔn)雙曲面齒輪；時(shí)變嚙合剛度；三維模型；有限元分析

齒輪的運(yùn)動(dòng)傳遞誤差是齒輪振動(dòng)能量的主要激勵(lì)，在大多數(shù)齒輪設(shè)備中會(huì)引起其它部件振動(dòng)并以噪聲的形式向外輻射，使人產(chǎn)生煩躁的感受[1]。對(duì)于汽車驅(qū)動(dòng)橋主減速器中準(zhǔn)雙曲面齒輪系統(tǒng)，以前的研究主要集中在模擬齒輪的加工過(guò)程從而得到高精度的齒輪外輪廓，通過(guò)齒輪幾何接觸分析來(lái)優(yōu)化齒輪幾何參數(shù)以及機(jī)床加工參數(shù)，然后對(duì)準(zhǔn)雙曲面齒輪靜態(tài)有限元計(jì)算齒輪齒根應(yīng)力，載荷分布，運(yùn)動(dòng)傳遞誤差等[2]，但是這些計(jì)算結(jié)果并不能全面的反映齒輪嚙合過(guò)程中齒輪系統(tǒng)的振動(dòng)噪聲響應(yīng)，許多反感的齒輪嚙合噪聲問(wèn)題在車輛驅(qū)動(dòng)橋中依然存在。為此有很多研究者建立了主減速器齒輪系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)響應(yīng)數(shù)學(xué)模型，研究齒輪系統(tǒng)中各部件剛度，阻尼、慣性質(zhì)量對(duì)齒輪動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)的影響，通過(guò)嚙合剛度建立齒輪靜態(tài)分析與系統(tǒng)動(dòng)態(tài)響應(yīng)之間關(guān)聯(lián)[3-7]。在建立齒輪動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)時(shí)這三類參數(shù)中準(zhǔn)雙曲面齒輪與直齒齒輪最大的區(qū)別是齒輪嚙合剛度，主要由于直齒漸開線齒輪嚙合時(shí)嚙合力的方向基本保持不變，已有較為成熟的計(jì)算方法和經(jīng)驗(yàn)公式[8]，但是準(zhǔn)雙曲面齒輪幾何外形和嚙合過(guò)程復(fù)雜，齒輪嚙合過(guò)程中嚙合力的方向和嚙合點(diǎn)位置隨齒輪旋轉(zhuǎn)角度和加載力大小改變而改變[9]，與直齒齒輪相比在此類齒輪嚙合剛度的研究較少。

在國(guó)外，Teik等建立了準(zhǔn)雙面齒輪嚙合的多自由度模型，利用一個(gè)恒定常量和三角級(jí)數(shù)來(lái)對(duì)齒輪嚙合剛度近似處理。Mohammadpour等[9-10]通過(guò)專業(yè)有限元軟件calyx得到準(zhǔn)雙曲面齒輪時(shí)變嚙合剛度，并將齒輪嚙合剛度簡(jiǎn)化三角級(jí)數(shù)形式，最后得到齒輪嚙合剛度經(jīng)驗(yàn)公式。在國(guó)內(nèi)，方宗德[11]根據(jù)齒輪嚙合時(shí)靜態(tài)受力狀態(tài)建立準(zhǔn)雙曲面齒輪動(dòng)態(tài)嚙合模型，但是此模型并沒有考慮到齒輪嚙合過(guò)程中嚙合剛度的時(shí)變特點(diǎn)。唐進(jìn)元等[12]從齒輪剛度的基本理論出發(fā)計(jì)算得到單個(gè)輪齒的嚙合剛度，再由單個(gè)輪齒疊加得到多個(gè)輪齒同時(shí)嚙合時(shí)的嚙合剛度，此模型忽略了準(zhǔn)雙曲面嚙合過(guò)程齒輪嚙合力的方向隨齒輪嚙合位置改變而變化的影響。

以上分析可得，準(zhǔn)雙曲面齒輪時(shí)變嚙合剛度在國(guó)外已經(jīng)提出相應(yīng)的計(jì)算方法，并將嚙合剛度進(jìn)行傅里葉級(jí)數(shù)近似處理，通過(guò)軟件直接輸出齒輪嚙合剛度表達(dá)式，而實(shí)際傅里葉級(jí)數(shù)并不能完全表征齒輪的嚙合剛度特性，并且具體的計(jì)算細(xì)節(jié)并未公開，而當(dāng)前基于應(yīng)用較多的ABAQUS或ANSYS有限元的計(jì)算準(zhǔn)雙曲面齒輪嚙合剛度研究很少。在國(guó)內(nèi)，真實(shí)反映準(zhǔn)雙曲面齒輪嚙合特征的研究較少，同時(shí)軟件calyx應(yīng)用較少，在建立精確的準(zhǔn)雙曲面幾何模型以及有限元模型還存在困難，為此本文提出一種完整的準(zhǔn)雙曲面齒輪時(shí)變剛度計(jì)算方法，利用當(dāng)前成熟的數(shù)值計(jì)算軟件MATLAB得到齒輪的齒面坐標(biāo)點(diǎn)，然后導(dǎo)入到CATIA中建立準(zhǔn)雙曲面齒輪三維模型，接著利用ABAQUS軟件詳細(xì)說(shuō)明準(zhǔn)雙曲面齒輪有限元模型建模過(guò)程，并對(duì)有限元計(jì)算結(jié)果進(jìn)行后處理得到準(zhǔn)雙曲面齒輪時(shí)變嚙合剛度。此齒輪嚙合剛度可以應(yīng)用在齒輪系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)分析過(guò)程中，而不需要任何其它假設(shè)，因此可以為更好預(yù)測(cè)汽車驅(qū)動(dòng)橋準(zhǔn)雙曲面齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)響應(yīng)提供基礎(chǔ)。

1 齒輪嚙合剛度計(jì)算模型

1.1 齒輪嚙合剛度模型數(shù)學(xué)描述

以前的齒輪嚙合模型基于經(jīng)驗(yàn)設(shè)計(jì)公式或者齒輪幾何嚙合分析，隨著齒輪設(shè)計(jì)和分析的要求提高，對(duì)齒輪接觸分析提出更高要求，因此需要對(duì)齒輪接觸進(jìn)行更深入研究。本文基于有限元方法建立準(zhǔn)雙曲面齒輪嚙合模型，來(lái)模擬齒輪的真實(shí)運(yùn)行過(guò)程。下面詳細(xì)介紹齒輪嚙合剛度計(jì)算基本原理。

如圖1所示為基于有限元模型建立的齒輪嚙合耦合模型，從嚙合簡(jiǎn)圖可以看出，在任意嚙合時(shí)刻，大小齒輪之間有很多相互作用點(diǎn)。每個(gè)相互作用點(diǎn)之間包含了齒側(cè)間隙和摩擦非線性因素的影響，模型不需要更多的假設(shè)條件限制，可以較精確的模擬齒輪的接觸。

圖1 準(zhǔn)雙曲面齒輪嚙合模型Fig.1 Hypoid gear pair mesh model

圖2 齒輪嚙合時(shí)接觸點(diǎn)位置及受力關(guān)系Fig.2 The relationship for location and force of gears contact point

為獲得嚙合剛度，做如下參數(shù)定義：

將齒輪的接觸區(qū)域離散為較小的網(wǎng)格單元，嚙合剛度kij是齒輪的空間形狀、嚙合位置以及所施加力矩的函數(shù)

(1)

令Wt=ktδt，則：

(2)

(3)

定義等效嚙合點(diǎn)位置

(4)

任意時(shí)刻等效嚙合位置作用力矩

(5)

(6)

對(duì)于理想的剛性齒輪對(duì)，被驅(qū)動(dòng)齒輪的位置可以通過(guò)驅(qū)動(dòng)齒輪的位置除以傳動(dòng)比得到，即：

(7)

式中：θ2為大齒輪旋轉(zhuǎn)角度；θ1為小齒輪旋轉(zhuǎn)角度；N1為小齒輪齒數(shù)；N2為大齒輪齒數(shù)。

然而由于齒輪對(duì)總不是剛性，在接觸過(guò)程中會(huì)產(chǎn)生變形，例如齒面彎曲，Hertzian接觸變形以及齒胚變形等，被驅(qū)動(dòng)齒輪的實(shí)際旋轉(zhuǎn)位置和理論旋轉(zhuǎn)位置的差值即為傳遞誤差

(8)

齒輪無(wú)加載的傳遞誤差為Δθ0t，加載后傳遞誤差ΔθLt。因此嚙合剛度可定義為法向的接觸力與線性變形的比值

(9)

式中：δt定義為由于嚙合力使得嚙合齒輪面產(chǎn)生的等效變形。

(10)

由于此齒輪旋轉(zhuǎn)軸線為x軸，繞其它軸的旋轉(zhuǎn)角度接近為零，則

(11)

可以得到t時(shí)刻嚙合剛度為

(12)

1.2 齒輪嚙合剛度模型驗(yàn)證

選擇直齒齒輪為對(duì)象對(duì)模型進(jìn)行驗(yàn)證，這主要是由于當(dāng)前直齒齒輪嚙合剛度計(jì)算方法已經(jīng)有廣泛應(yīng)用的經(jīng)驗(yàn)公式，可以對(duì)比計(jì)算結(jié)果，而且上述嚙合剛度計(jì)算方法同樣適用于直齒齒輪，因此可以通過(guò)直齒齒輪剛度計(jì)算來(lái)驗(yàn)證上述計(jì)算方法的準(zhǔn)確性。直齒漸開線齒輪參數(shù)，如表1所示。

表1 直齒齒輪參數(shù)Tab.1 Straight involute gear parameters

根據(jù)齒輪參數(shù)建立有限元模型，并利用1.1節(jié)中齒輪嚙合剛度計(jì)算方法獲得齒輪嚙合剛度，有限元計(jì)算結(jié)果和齒輪嚙合剛度結(jié)果如圖3，從圖中可得通過(guò)本

(a) 有限元計(jì)算結(jié)果

(b) 齒輪嚙合剛度圖3 直齒齒輪Fig.3 Straight involute gear

方法計(jì)算的齒輪嚙合剛度與文獻(xiàn)[8]中Kuang方法計(jì)算結(jié)果基本相同，有限元方法中由于考慮了齒輪接觸非線性，以及摩擦非線性的影響，使得計(jì)算結(jié)果存在波動(dòng)，齒輪從雙齒嚙合到單齒嚙合出現(xiàn)突變使得此齒輪嚙合剛度突變，導(dǎo)致直齒齒輪在嚙合過(guò)程中會(huì)出現(xiàn)較大嚙合沖擊噪聲。

2 準(zhǔn)雙曲面齒輪三維模型和有限元模型建立

2.1 準(zhǔn)雙曲面齒輪三維幾何模型的建立

當(dāng)前汽車用準(zhǔn)雙曲面齒輪加工方法中，一般當(dāng)大輪錐角較大時(shí)即可以采用成形法加工(HFT)，也可以采用展成法加工(HGT)，當(dāng)大輪錐角較小時(shí)必須采用展成法加工，小輪采用展成法加工。準(zhǔn)雙曲面齒輪齒面建模方法應(yīng)用最多的是基于Litvin提出的共軛曲面法，Litvin通過(guò)研究準(zhǔn)雙曲面齒輪的生產(chǎn)過(guò)程，將齒輪加工過(guò)程中刀具旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)產(chǎn)生的點(diǎn)通過(guò)空間變換得到齒輪面上的點(diǎn)，對(duì)齒輪面上的離散數(shù)據(jù)點(diǎn)進(jìn)行插值，即可生成高精度的輪齒面。齒輪面建模方法的具體流程見圖4，圖中u,θ為刀具旋轉(zhuǎn)所形成齒面參數(shù)，ψ為齒胚旋轉(zhuǎn)角度。建模過(guò)程描述如下：首先根據(jù)刀具參數(shù)得到刀具坐標(biāo)矢量，然后對(duì)上述矢量進(jìn)行坐標(biāo)變換得到刀具所形成曲面，接著根據(jù)機(jī)床參數(shù)將刀具曲面變換到齒輪坐標(biāo)系中，由準(zhǔn)雙曲面齒輪嚙合原理得到嚙合方程，再根據(jù)輪齒面上點(diǎn)必須在輪齒齒胚上，得到輪齒齒面離散點(diǎn)，最后對(duì)這些離散點(diǎn)利用非均勻B樣條曲線(NURBS)進(jìn)行重構(gòu)，得到準(zhǔn)雙曲面大小齒輪三維數(shù)字模型。

本文以HFT準(zhǔn)雙曲面齒輪進(jìn)行分析，即小齒輪采用展成法加工，大齒輪采用成形法加工，齒輪的齒胚參數(shù)和機(jī)床加工參數(shù)如表2、3所示，最后得到齒輪的三維CATIA模型如圖5所示。

圖4 準(zhǔn)雙曲面齒輪齒面建模流程Fig.4 Flowchart of hypoid gear tooth surfaces constructed表2 齒輪齒胚參數(shù)Tab.2 Gear pair bank parameters

小齒輪大齒輪模數(shù)6.861偏置距/mm-25.4旋向左旋右旋齒數(shù)843齒寬/mm44.841平均壓力角22D30M22D30M外錐距/mm150.69151.26中點(diǎn)錐距/mm128.32130.75齒頂高/mm91.59齒根高/mm3.1710.45法向齒頂寬/mm2.743.63分錐頂點(diǎn)超過(guò)交叉點(diǎn)距離/mm0.071.08面錐頂點(diǎn)超過(guò)交叉點(diǎn)距離/mm-0.441根錐頂點(diǎn)超過(guò)交叉點(diǎn)距離/mm-6.670.05根錐角11D56M73D33M面錐角16D4M77D51M分錐角12D33M77D13M中點(diǎn)螺旋角45D3M33D49M

表3 齒輪機(jī)床參數(shù)Tab.3 Gear pair machine parameters

圖5 準(zhǔn)雙曲面齒輪三維數(shù)字模型Fig.5 3D digital model of hypoid gear

2.2 準(zhǔn)雙曲面齒輪有限元模型建立

將上節(jié)建立的齒輪三維模型保存為*.stp格式，并導(dǎo)入到軟件Hypermesh中進(jìn)行網(wǎng)格劃分，為了提高準(zhǔn)雙曲面齒輪嚙合過(guò)程計(jì)算精度，減小齒輪幾何簡(jiǎn)化對(duì)齒輪嚙合的影響，本文對(duì)整個(gè)齒輪建立有限元模型，選用六面體網(wǎng)格，對(duì)應(yīng)單元數(shù)為276 722個(gè),節(jié)數(shù)點(diǎn)237 804個(gè)，最后得到此齒輪有限元網(wǎng)格如圖6所示。

圖6 準(zhǔn)雙曲面齒輪網(wǎng)格劃分Fig.6 Hypoid gear meshing grid

先進(jìn)的有限元分析軟件ABAQUS在求解齒輪嚙合等非線性模型上具有獨(dú)特的優(yōu)勢(shì)，本文選取Standard/static,general求解器，對(duì)齒輪嚙合過(guò)程進(jìn)行準(zhǔn)靜態(tài)有限元分析。以汽車在勻速行駛工況時(shí)驅(qū)動(dòng)橋齒輪嚙合過(guò)程為研究對(duì)象，根據(jù)汽車行駛工況確定小齒輪輸入端轉(zhuǎn)速及大齒輪輸出端阻力矩。

齒輪有限元求解模型的建立注意以下要點(diǎn)：齒輪材料的定義如表4所示，六面體網(wǎng)格選用具有沙漏和自鎖控制的線性減縮積分單元C3D8R。為保證求解過(guò)程收斂，定義兩個(gè)分析步：①載荷加載，時(shí)間長(zhǎng)度設(shè)置為1，打開幾何非線性，其它參數(shù)值為默認(rèn)值；②齒輪嚙合旋轉(zhuǎn)，時(shí)間長(zhǎng)度根據(jù)齒輪旋轉(zhuǎn)速度及齒輪的轉(zhuǎn)過(guò)角度設(shè)定，同樣打開幾何非線性，其它參數(shù)同上一分析步。大小齒輪之間建立面面接觸輪齒對(duì)，接觸屬性中切向行為摩擦系數(shù)為0.1，法向行為為‘硬’接觸，其它參數(shù)為默認(rèn)設(shè)置。載荷加載分析步中，固定小齒輪的輸入端，在大齒輪輸出端上約束除繞自身軸線旋轉(zhuǎn)外的所有自由度，并在輸出端以斜坡線性加載行駛阻力矩。在齒輪嚙合旋轉(zhuǎn)分析步中，約束大小齒輪端除繞自身軸線外的所有自由度，小齒輪輸入轉(zhuǎn)角位移，同樣以斜坡線性加載，大齒輪加載大小與前一步相同的瞬態(tài)阻力矩。為增加嚙合過(guò)程的穩(wěn)定性，在初始條件中定義主被動(dòng)齒輪初始速度，在邊界條件模塊中，利用‘預(yù)定義場(chǎng)’對(duì)齒輪的初始嚙合速度進(jìn)行定義。

表4 驅(qū)動(dòng)橋部件材料屬性Tab.4 Material properties of drive axle components

這里先模擬汽車在40 km/h勻速行駛工況，在小齒輪輸入端輸入轉(zhuǎn)速為9.6 rad/s，大齒輸出端9 500 N·m阻力矩，如圖7所示，得到大小齒輪對(duì)應(yīng)的最大主應(yīng)力，可以看出在齒面部位由于接觸擠壓出現(xiàn)較大壓應(yīng)力，接觸部位近似為橢圓，在齒部位由于受到拉伸出現(xiàn)較大拉應(yīng)力，此時(shí)齒輪有三個(gè)齒處于嚙合，中間部位的齒輪齒面出現(xiàn)最大壓應(yīng)力，相應(yīng)齒根部位出現(xiàn)最大拉應(yīng)力，由有限元分析結(jié)果可知，準(zhǔn)雙曲面嚙合過(guò)程中齒輪的接觸始終由一端向另一端過(guò)渡，因此不會(huì)像直齒齒輪那樣嚙合剛度出現(xiàn)突變。

(a) 大齒輪

(b) 小齒輪圖7 準(zhǔn)雙曲面齒輪有限元分析結(jié)果Fig.7 Hypoid gear FEM results

3 準(zhǔn)雙曲面齒輪嚙合剛度計(jì)算

3.1 較小載荷下齒輪傳遞誤差

由齒輪嚙合剛度計(jì)算模型可知，在計(jì)算加載狀態(tài)齒輪嚙合剛度之前，首先計(jì)算無(wú)載荷下的齒輪的傳遞誤差，本文以小載荷代替無(wú)載荷。這里施加小的旋轉(zhuǎn)力矩載荷主要是由于，當(dāng)前的嚙合分析模型大多是基于齒輪幾何嚙合關(guān)系得到，此時(shí)并沒有考慮齒輪加載力矩，為了對(duì)比分析結(jié)果，齒輪接觸分析時(shí)應(yīng)不施加任何力，但是在齒輪進(jìn)行有限元接觸分析時(shí)為了使輪齒對(duì)保持接觸需要施加一個(gè)力，這個(gè)力矩可以非常小，這里可以取齒輪最大工作力矩的百分之一。在這個(gè)小力矩作用下，有限元接觸分析基本上可以模擬齒輪無(wú)載荷作用下接觸過(guò)程，可以確保在有限元分析過(guò)程中始終只有一個(gè)輪齒接觸，并可以近似得到齒輪在無(wú)載荷狀態(tài)下齒輪傳遞誤差。

本文在大齒輪輸出端施加10 N·m阻力矩，如圖8所示為齒輪旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，三對(duì)嚙合輪齒接觸面等效嚙合點(diǎn)處法向方向嚙合力變化歷程，接觸面表示為SUF_i,其中i=1,3,5表示為大齒輪齒面，i=2,4,6表示為小齒輪齒面，大齒輪的SUF_1與小齒輪的SUF_2為嚙合齒輪對(duì)，依次類推，大小齒輪的齒面法向力為作用力和反作用力，因此本文只給出大齒輪齒面的作用力，從圖上可以看出每個(gè)輪齒的法向嚙合力不存在重疊，齒輪始終處于單齒嚙合狀態(tài)，并且此時(shí)嚙合力值較小。對(duì)大小齒輪嚙合分析結(jié)果進(jìn)行后處理可以得到齒輪嚙合過(guò)程中傳遞誤差，如圖9所示，從圖中可以看出，在較小載荷下齒輪的傳遞誤差近似為拋物線，這與文獻(xiàn)[13]實(shí)驗(yàn)測(cè)量的準(zhǔn)雙曲面齒輪在小載荷作用下齒輪實(shí)際傳遞誤差一致，這是為了減小齒輪的在嚙合過(guò)程中的接觸沖擊，齒輪設(shè)計(jì)時(shí)把齒輪無(wú)載荷時(shí)的傳遞誤差設(shè)計(jì)為拋物線形狀。

圖8 小載荷作用下單個(gè)輪齒嚙合力Fig.8 Gear meshing force under small loads of single teeth

圖9 小載荷作用下齒輪傳遞誤差Fig.9 Gear transmission error under small loads

準(zhǔn)雙曲面齒輪嚙合仿真方法應(yīng)用最多的是齒輪幾何接觸分析(TCA)，他可以求得齒面的瞬時(shí)嚙合點(diǎn)，通過(guò)齒輪接觸分析可以快速得到齒輪嚙合中點(diǎn)位置以及嚙合中點(diǎn)的法向向量，對(duì)比TCA分析結(jié)果和在較小載荷下有限元計(jì)算結(jié)果如表5所示，有限元分析結(jié)果和TCA分析結(jié)果基本一致，表明此有限元模擬具有較高的計(jì)算精度。

表5 嚙合中點(diǎn)坐標(biāo)與嚙合點(diǎn)法向向量Tab.5 Mean point coordinates and normal vector

3.2 齒輪加載嚙合剛度

接著對(duì)齒輪進(jìn)行加載狀態(tài)下接觸分析，在大齒輪輸出端施加的阻力矩為9 000 N·m，施加轉(zhuǎn)速為9.6 rad/s，如圖10所示為單齒輪嚙合力變化過(guò)程，SURF_i定義與圖8相同，在位置1嚙合位置，從圖中對(duì)應(yīng)位置的點(diǎn)劃線可以看出，SURF_1對(duì)應(yīng)輪齒退出嚙合，SURF_5對(duì)應(yīng)輪齒進(jìn)入嚙合，此時(shí)有三個(gè)輪齒處于嚙合，同樣可得位置2處，SURF_3只有兩個(gè)齒輪處于嚙合。與直齒齒輪不同，由于準(zhǔn)雙曲面齒輪嚙合力的方向隨齒輪的旋轉(zhuǎn)角度變化而變化，不同時(shí)刻處于嚙合的相鄰輪齒嚙合力方向不同，任意時(shí)刻所有齒輪的嚙合力并不能由處于嚙合齒輪的法向嚙合力簡(jiǎn)單數(shù)值相加。對(duì)處于同一時(shí)刻齒輪嚙合力需進(jìn)行矢量相加，最后可得如圖11所示任意嚙合時(shí)刻對(duì)應(yīng)的齒輪法向嚙合力，從圖中可以看出嚙合力的大小隨齒輪旋轉(zhuǎn)周期性變化。

圖10 大載荷作用下單個(gè)嚙合齒輪嚙合力Fig.10 Gear meshing force under large loads of single teeth

圖11 大載荷作用下齒輪等效嚙合力Fig.11 Gear equivalent meshing force under large loads

大齒傳遞誤差如圖12所示，可以看出齒輪的傳遞誤差表現(xiàn)為周期性變化，同樣保持為拋物線形狀，與小載荷時(shí)齒輪傳遞誤差相比，大載荷對(duì)應(yīng)的齒輪傳遞誤差相應(yīng)向下平移，而且大載荷對(duì)應(yīng)齒輪傳遞誤差波動(dòng)要比小載荷要小。因?yàn)榇筝d荷作用下齒輪齒胚以及齒面接觸產(chǎn)生加大變形，使得傳遞誤差均值增大，而且由于所加載的力增大，齒輪的接觸更為平穩(wěn)使得大載荷作用下齒輪的嚙合誤差波動(dòng)減小。

圖12 大載荷作用下大齒輪傳遞誤差Fig.12 Gear transmission error under large loads

由齒輪力、靜態(tài)傳遞誤差、加載傳遞誤差等數(shù)據(jù)代入式(12)中即可齒輪嚙合剛度，圖13為嚙合剛度計(jì)算結(jié)果，從圖中可以看出齒輪的嚙合剛度周期性變化，嚙合剛度變化周期與齒輪嚙合力以及齒輪傳遞誤差變化周期相同，此周期等于齒輪嚙合周期。選用齒輪嚙合剛度最大時(shí)作為嚙合剛度起始點(diǎn)，兩紅色點(diǎn)劃線之間部分為一個(gè)嚙合周期，在這個(gè)周期內(nèi)齒輪的嚙合剛度先變小，然后基本保持恒定大小，再緩慢減小，最后快速上升，接著進(jìn)入下一個(gè)齒輪嚙合周期。與直齒齒輪嚙合過(guò)程中剛度變化趨勢(shì)不同，準(zhǔn)雙曲面齒輪嚙合剛度不會(huì)發(fā)生突變，這樣可以使齒輪平穩(wěn)接觸，減小嚙合沖擊。

圖13 大載荷作用下齒輪嚙合剛度Fig.13 Gear meshing stiffness under large loads

3.3 不同載荷下準(zhǔn)雙曲面齒輪嚙合剛度對(duì)比

下面對(duì)比當(dāng)齒輪的受到的載荷不同時(shí)，齒輪嚙合剛度變化規(guī)律。這里大齒輪分別加載1 000 N·m、3 000 N·m、5 000 N·m、7 000 N·m阻力矩與上節(jié)輸入的9 000 N·m阻力矩進(jìn)行對(duì)比，剛度計(jì)算結(jié)果對(duì)比如圖14，從圖中可以看出隨著齒輪所加載力矩增加，齒輪的嚙合剛度增加，同時(shí)齒輪嚙合剛度波動(dòng)幅值減小。主要是由于齒輪加載力增加，齒輪的嚙合重合度增加，使得齒輪嚙合時(shí)嚙合沖擊減小。同時(shí)嚙合力增加使得齒輪齒胚變形增大，嚙合剛度平均值增大。

圖14 不同載荷齒輪嚙合剛度Fig.14 Gear meshing stiffness under different loads

4 結(jié) 論

針對(duì)準(zhǔn)雙曲面齒輪時(shí)變嚙合剛度計(jì)算中遇到的困難，本文提出了完整的真實(shí)反映齒輪嚙合狀態(tài)的通用建模方法，并得到準(zhǔn)雙曲面齒輪嚙合剛度：

(1)詳細(xì)描述了通過(guò)有限元法計(jì)算齒輪嚙合剛度通用計(jì)算模型，并通過(guò)直齒漸開線齒輪驗(yàn)證此方法的有效性。

(2)詳細(xì)描述了準(zhǔn)雙曲面齒輪三維幾何模型建模過(guò)程，并建立了準(zhǔn)雙曲面齒輪準(zhǔn)靜態(tài)嚙合ABAQUS有限元模型。

(3)對(duì)有限元計(jì)算結(jié)果進(jìn)行處理得到準(zhǔn)雙曲面齒輪嚙合剛度，結(jié)果表明此齒輪嚙合剛度周期性變化，變化周期為齒輪嚙合周期。不同載荷的嚙合剛度對(duì)比結(jié)果表明，齒輪嚙合剛度隨載荷增加，平均值增大，波動(dòng)減小。計(jì)算所得剛度可直接應(yīng)用于此準(zhǔn)雙曲面齒輪動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)建模分析中。

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Acalculationmethodforthehypoidtimevaryingstiffnessoftheautomobiledriveaxle

LIU Cheng1, SHI Wenku1, CHEN Zhiyong1, HE Wei1, RONG Rusong2, SONG Huailan2

(1. State Key Laboratory of Automotive Simulation and Control, Jilin University, Changchun 130022, China;2. Axle Branch of Naveco Company Ltd.，Nanjing 210028，China)

In the automotive driver axle hypoid gear meshing process, it is difficult to calculate the time varying mesh stiffness. To solve this problem, a complete calculation method was proposed, which is based on the finite element method. Firstly, a detailed process was described for the gear mesh stiffness calculation mathematical model, by the finite element method, and the meshing stiffness of the straight involute gear was calculated using this model. The results indicate that this method is consistent with the results of the Kuang model. Secondly, a three-dimensional model of hypoid gears was built by MATALAB and CATIA, and a quasi static engagement finite element model was established in ABAQUS software for that. Finally, the calculation process has been discussed for the gear mesh stiffness, and the gear mesh stiffness variations were analyzed under different loads. The results show that the gear mesh stiffness cycle varies with the gear rotating and the load torque changing, and the period of gear meshing stiffness is equal to the period of gear meshing. The average value of the gear meshing stiffness increases and the fluctuation reduces when the gear load torque increases.

hypoid gear; time varying mesh stiffness; three-dimensional model; finite element analysis

國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(51205158)；中國(guó)博士后科學(xué)基金面上資助項(xiàng)目(2013M541294)

2016-06-27 修改稿收到日期： 2016-08-15

劉程 男， 博士生， 1985年生

史文庫(kù) 男， 博士， 博士生導(dǎo)師，1960年生

U463.218+.1

A

10.13465/j.cnki.jvs.2017.20.036