王 劍， 張振果， 任龍龍， 華宏星

(1. 上海交通大學(xué) 振動、沖擊、噪聲研究所，上海 200240；2. 上海交通大學(xué) 機械系統(tǒng)與振動國家重點實驗室，上海 200240)

考慮質(zhì)量偏心的階梯梁-基礎(chǔ)的強迫振動計算

王 劍1,2， 張振果1,2， 任龍龍1,2， 華宏星1,2

(1. 上海交通大學(xué) 振動、沖擊、噪聲研究所，上海 200240；2. 上海交通大學(xué) 機械系統(tǒng)與振動國家重點實驗室，上海 200240)

軸系的質(zhì)量非均勻會導(dǎo)致縱橫振動的耦合，結(jié)合導(dǎo)納綜合法與改進的傳遞矩陣法，針對質(zhì)量偏心階梯梁-彈性基礎(chǔ)模型，提出了一種理論/實驗混合計算方法。通過與有限元計算結(jié)果對比，驗證了方法的正確性；考察了質(zhì)量偏心對系統(tǒng)響應(yīng)的影響。結(jié)果表明：在垂向激勵下，質(zhì)量偏心對系統(tǒng)的垂向位移響應(yīng)無影響，但是會使系統(tǒng)產(chǎn)生縱向位移響應(yīng)；由于縱向位移以eθ的形式被引入彎-縱耦合振動方程，因此其頻率特征與垂向響應(yīng)一致，且其幅值與偏心程度成正比。

質(zhì)量偏心； 階梯梁； 彈性基礎(chǔ)； 導(dǎo)納綜合法

作為軸系的物理簡化模型，階梯梁的動力學(xué)問題引起了大量學(xué)者的關(guān)注[1-4]。實際中，由于加工或安裝的原因，軸系一般會存在質(zhì)量偏心(質(zhì)心與截面形心不重合)，從而導(dǎo)致垂向振動與縱向振動的耦合[5]。殼體n=0 (n為殼體的周向波數(shù))的模態(tài)擁有較高的聲輻射效率[6]，軸系的縱向振動導(dǎo)致的縱向力傳遞至殼體會引發(fā)較大的聲輻射[7]，因此很有必要對質(zhì)量偏心引起的軸系縱橫耦合振動進行研究。王劍等給出了考慮質(zhì)量偏心Timoshenko梁的彎(垂直)-縱耦合振動控制方程，但未涉及強迫響應(yīng)。

梁結(jié)構(gòu)一般安裝在彈性基礎(chǔ)上，近年來，國內(nèi)外學(xué)者對此梁-彈性基礎(chǔ)耦合系統(tǒng)的振動問題展開了一系列工作。對于梁-彈性基礎(chǔ)的建模，常用的方法[8]有阻抗綜合法、有限元法和傳遞矩陣法。Bonello等[9]基于阻抗綜合法，對階梯梁-基礎(chǔ)模型的振動進行了研究，該建模方法的優(yōu)勢在于可以將理論與實驗結(jié)果結(jié)合起來描述系統(tǒng)，但其求解矩陣的維數(shù)與梁結(jié)構(gòu)的支撐數(shù)目成正比。有限元法在基礎(chǔ)比較復(fù)雜的情況下通常要耗費較大的資源[10]。傳遞矩陣法[11]只適用于鏈式結(jié)構(gòu)，不能將復(fù)雜彈性基礎(chǔ)有效地考慮在內(nèi)。

Zhang等[12]利用改進的傳遞矩陣法，建立了非連續(xù)(截面突變，集中質(zhì)量塊，連接彈簧等)Timoshenko雙梁模型的動力學(xué)模型，這種方法可以使求解矩陣的維數(shù)與梁控制方程的階數(shù)保持一致，具有較高的求解效率。本文結(jié)合改進的傳遞矩陣法與導(dǎo)納綜合法，建立了質(zhì)量偏心階梯梁-基礎(chǔ)的振動模型。通過與有限元軟件ANSYS計算結(jié)果的對比，驗證了方法的正確性。并考察了質(zhì)量偏心對系統(tǒng)彎-縱耦合振動的影響，解釋了其產(chǎn)生的原因。相較于前人提出的建模方法，本文的方法可以使相關(guān)矩陣的維數(shù)保持在6×6，有利于提高計算效率。另外，每一個子梁段的特征以矩陣相乘的形如引入，提高了程序編寫的便利性。

1 偏心階梯梁-基礎(chǔ)模型

1.1 考慮質(zhì)量偏心的Timoshenko梁運動方程

考慮質(zhì)量偏心Timoshenko梁的彎-縱耦合振動方程為

(1)

(2)

(3)

式中：ρ為梁的密度；A為梁的截面面積；u為梁的縱向位移；E為材料的彈性模量；θ為轉(zhuǎn)動角度；v為梁的橫向位移；k為剪切因子；I為梁截面的截面慣性矩；e為梁質(zhì)心和形心之間的距離， 見圖1所示；Q為剪切力；N為軸向力；M為彎矩；D為形心(剛度中心、彎曲中心)；G為質(zhì)量中心；γ為剪切應(yīng)變。

圖1 質(zhì)心和幾何中心不重合的Timoshenko梁微元Fig.1 Timoshenko beam element with misalignment between centroid and geometric center

內(nèi)力與位移的關(guān)系為

(4)

利用分離變量法[13]，將三個位移寫成關(guān)于空間和時間函數(shù)的乘積

u(x,t)=U(x)eiωt

(5)

v(x,t)=V(x)eiωt

(6)

θ(x,t)=Θ(x)eiωt

(7)

進一步將空間項寫作指數(shù)函數(shù)

U(x)=Beλx;V(x)=Ceλx;Θ(x)=Deλx

(8)

將式(5)～式(8)代入式(1)～式(3)并消去時間項,為使系數(shù)B、C、D有非零解，可得特征方程

kGE2Iλ6+Eρω2(2kGI+2kGAe2+EI)λ4+
ρω2(-kGEA+2EAe2ρω2+2EIρω2+
kGIρω2+kGAe2ρω2)λ2+
ρ2ω4(-kGA+Iρω2+Ae2ρω2)=0

(9)

解出特征值λ1,λ2, …,λ6，位移就可以寫為矩陣形式

U(x)=eλxB;V(x)=eλxC;Θ(x)=eλxD

(10)

其中，

eλx=[eλ1xeλ2xeλ3xeλ4xeλ5xeλ6x]
B=[B1B2B3B4B5B6]T
C=[C1C2C3C4C5C6]T
D=[D1D2D3D4D5D6]T

根據(jù)式(1)～式(3)，系數(shù)C、D與B的關(guān)系為

C=HB;D=SB

(11)

其中，

1.2 偏心階梯梁-基礎(chǔ)模型

圖2 偏心階梯梁-基礎(chǔ)模型示意圖Fig.2 Illustration of the eccentric stepped beam-foundation

2 耦合振動求解

2.1 梁段間的系數(shù)傳遞關(guān)系

考慮第n個彈簧處梁段間位移系數(shù)的傳遞，界面處的受力分析圖如圖3所示。

圖3 梁段間受力分析圖Fig.3 Illustration of the force compatibility conditions

位移連續(xù)條件為

(12)

(13)

(14)

力平衡條件為

(15)

(16)

(17)

將式(10)代入式(12)～式(17)并寫成矩陣形式

(18)

2.2 梁段內(nèi)的系數(shù)傳遞關(guān)系

假設(shè)第n-1～第n個彈簧支撐之間的梁有Pn個截面突變。類似地，將位移代入突變處的位移連續(xù)及力平衡條件，并寫成矩陣形式

(19)

因此，第(n,Pn+1)梁段與(n,1)梁段縱向振動的振型系數(shù)關(guān)系為

(20)

式(18)可表示為

(21)

2.3 梁與基礎(chǔ)的綜合

(22)

其中，

作用在基礎(chǔ)上的反力可以用基礎(chǔ)與中間質(zhì)量塊的相對位移表示

(23)

同理，梁上的反力可以表示為

(24)

其中,

對于彈簧系統(tǒng)中的N個質(zhì)量塊，給出其運動方程

(25)

即

(26)

將式(23)、式(24)代入式(26)整理得

(27)

式中，KM=KF+KB+ω2M。

通過式(22)與式(23)可得

(28)

考慮式(27)、式(28)有

(29)

將式(29)代入式(24)可得

(30)

式中，ZB如下(里面的I為2N×2N的單位矩陣)

將式(30)中梁的阻抗矩陣拆解為列向量的疊加

(31)

結(jié)合式(31)，式(21)可以表示為

(32)

式中，Wmn如下(里面0為1×6的零向量)

式中，n的值從1～N，并寫為矩陣形式， 其中，0為6×1的零向量。

(33)

式中，TR、TW如下(里面的I為6×6的單位矩陣)

記為

(34)

由式(34)可得

(35)

在梁的首尾兩端引入自由邊界條件

(36)

(37)

將內(nèi)力表達式代入式(36)、式(37)并寫為矩陣形式

(38)

(39)

將式(35)代入式(39)并與式(38)合寫為

(40)

2.4 強迫響應(yīng)計算

如果簡諧激勵施加在梁的端部，可將其引入邊界條件式(38)、式(39)，將式(40)改寫為

(41)

式中，F(xiàn)=[NLQLMLNRQRMR]T，NL、QL、ML為施加在左端處三種載荷的幅值，NR、QR、MR為施加在右端處三種載荷的幅值。

如果簡諧激勵施加在梁非端點處的任意位置，可在載荷施加處將梁分段，以力平衡的方式將外載荷引入系數(shù)傳遞關(guān)系。

求解式(41)，進一步得到各梁子段的位移系數(shù)后，可得到梁上的響應(yīng)。據(jù)式(24)、式(28)、式(31)，可求得基礎(chǔ)上與梁連接處的響應(yīng)。

3 算法驗證

為了驗證本文方法的有效性，建立階梯梁-圓柱殼模型作為驗證算例。模型中階梯梁未考慮質(zhì)量偏心，兩端均為自由邊界條件，圓柱殼兩端的邊界條件為薄膜簡支邊界。梁與圓柱殼由三組彈簧連接，在梁的左端施加一個簡諧垂向激勵，幅值F0=1 N，取圖4中所示，點1與點2的響應(yīng)結(jié)果與有限元作對比，點2距圓柱殼左端的距離為0.1 m。ANSYS中梁采用Beam188單元，單元尺寸為0.01 m；圓柱殼采用Shell163單元，尺寸為0.1 m。模型的具體參數(shù)見表1，其中μ為泊松比，剪切因子k的取值參照文獻[14]。模型中縱向剛度、阻尼及質(zhì)量塊的值均為零。

表2對比了兩種方法下系統(tǒng)的前十階固有頻率，各階的相對誤差均在0.05%之內(nèi)。由于圓柱殼存在對稱模態(tài)與反對稱模態(tài)[15]，因此計算結(jié)果以兩個相近頻率為一組的形式出現(xiàn)。

圖4 驗證模型示意圖Fig.4 Schematic of the validation model

表1 驗證模型參數(shù)

表2 前十階固有頻率對比

圖5、圖6分別對比了點1、點2的垂向響應(yīng)，圖7給出了系統(tǒng)在固有頻率18.9 Hz、37.5 Hz、51.1 Hz、57.7 Hz、73.5 Hz、80.7 Hz時階梯梁的振型，點1(梁左端)模態(tài)位移較小與較大的振型分別如圖7(a)和圖7(b)所示，本文的計算結(jié)果與有限元計算結(jié)果重合，驗證了本文方法的正確性。

圖5 點1處的垂向響應(yīng)Fig.5 Vertical response of point 1

圖6 點2處的垂向響應(yīng)Fig.6 Vertical response of point 2

(a)

(b)圖7 階梯梁的六階垂向振動模態(tài)Fig.7 Six vertical vibration modal shapes of the stepped beam

4 偏心對響應(yīng)的影響

從圖8和圖9可知，質(zhì)量偏心對點1處的垂向響應(yīng)幾乎沒有影響。但由于縱向響應(yīng)，質(zhì)量偏心的存在使梁產(chǎn)生了縱向位移，其響應(yīng)中的頻率特征與垂向響應(yīng)一致，且其幅值與偏心率成正比。這是因為在建立彎-縱耦合振動方程時，縱向位移以eθ的形式被引入，即產(chǎn)生上述現(xiàn)象。

圖8 偏心對點1縱向響應(yīng)的影響Fig.8 Influence on the longitudinal response of point 1

圖9 偏心對點1垂向響應(yīng)的影響Fig.9 Influence on the vertical response of point 1

5 結(jié) 論

(1) 本文使用改進的傳遞矩陣法，結(jié)合導(dǎo)納綜合法，給出了求解階梯梁-基礎(chǔ)模型振動問題的步驟。相較于文獻[9]所提出的方法，本文的方法可以將相關(guān)矩陣的維數(shù)控制在6×6，計算效率高，且以矩陣相乘的形式表示子梁端的特性，使得編程較為容易。

(2) 無論是通過解析、數(shù)值、還是實驗的手段，只要得到與梁連接處基礎(chǔ)的導(dǎo)納矩陣，就可以對系統(tǒng)的振動問題進行求解。通過與有限元計算結(jié)果的對比，驗證了本方法的正確性。

(3) 縱向位移以eθ的形式被引入梁的彎-縱耦合振動方程，因此，即使單純在垂向激勵下，質(zhì)量偏心也會引起梁的縱向響應(yīng)，且其頻率特征與垂向響應(yīng)一致，其幅值與質(zhì)量偏心程度成正比。質(zhì)量偏心對梁的垂向響應(yīng)幾乎沒有影響。

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Forcedvibrationcalculationofaneccentricsteppedbeam-foundationsystem

WANG Jian1,2， ZHANG Zhenguo1,2， REN Longlong1,2， HUA Hongxing1,2

(1. Institute of Vibration, Shock and Noise, Shanghai Jiao Tong University, Shanghai 200240, China;2. State Key Laboratory of Mechanical System and Vibration, Shanghai Jiao Tong University, Shanghai 200240, China)

The vibrations in vertical and longitudinal directions will couple if mass eccentricities are considered in a beam. A theoretical/experimental method focusing on the vibration of an eccentric stepped beam-complicated flexible foundation system was proposed combining the receptance coupling and modified transfer matrix method. The method was validated via the comparison to the results obtained by the FEM. The influence on the response of the system caused by eccentricity was investigated. Eccentricity could hardly affect the vertical response of the system, while it could induce displacement in longitudinal direction even the beam was under vertical excitation. The longitudinal vibration was introduced by the form of eθ, therefore, the associated longitudinal displacement was proportional to eccentricity and its characteristic frequencies were consistent with that of the vertical displacement.

mass eccentricity; stepped beam; flexible foundation; receptance coupling method

國家自然科學(xué)基金(51505281)

2016-06-13 修改稿收到日期： 2016-08-12

王劍 男，博士，1988年生

華宏星 男，博士，教授，1955年生

TH113

A

10.13465/j.cnki.jvs.2017.22.019