數(shù)列極限與函數(shù)極限的統(tǒng)一

唐海波

(漢江師范學(xué)院 教育系，湖北 十堰 442000)

數(shù)列極限與函數(shù)極限的統(tǒng)一

唐海波

(漢江師范學(xué)院教育系，湖北十堰442000)

極限思想是高等數(shù)學(xué)中常用的思想方法，也是解決函數(shù)問題最基本和最常用的方法。函數(shù)極限表現(xiàn)為自變量在變化過程中函數(shù)值的變化趨勢；數(shù)列作為一種特殊的函數(shù)，可以用函數(shù)性質(zhì)及其相關(guān)思想方法對數(shù)列進行學(xué)習(xí)和研究；數(shù)列極限與函數(shù)極限之間存在較多相似之處，但同時也有很多不同之處，研究數(shù)列極限與函數(shù)極限之間的異同點，就應(yīng)當(dāng)把握“數(shù)列是特殊的函數(shù)”這一關(guān)鍵點。從數(shù)列極限與函數(shù)極限的定義和性質(zhì)出發(fā)，介紹二者之間的異同點，并從極限的定義、極限的證明、極限的求解方法等方面描述二者之間的統(tǒng)一。

極限；數(shù)列；函數(shù)；統(tǒng)一

0 引言

極限是高等數(shù)學(xué)中極為重要的內(nèi)容板塊，同時極限思想也是進行數(shù)學(xué)分析的主要方法[1]。在高等數(shù)學(xué)中，有較多的內(nèi)容體系，諸如連續(xù)、導(dǎo)數(shù)及積分等都與極限密切相關(guān)，都可以通過極限進行定義和描述。因而，從極限的定義與性質(zhì)出發(fā)，掌握豐富的極限理論，熟練運用極限思想和方法，這在數(shù)學(xué)分析及解決數(shù)學(xué)問題方面至關(guān)重要。數(shù)列是特殊的函數(shù)，其定義域為自然數(shù)集，可以用函數(shù)的性質(zhì)及相關(guān)的思想方法對其進行研究[2]。數(shù)列極限與函數(shù)極限之間存在較多的聯(lián)系，二者既有區(qū)別，也相互統(tǒng)一，本文從數(shù)列極限與函數(shù)極限的定義與性質(zhì)出發(fā)，介紹二者之間的異同點，并從極限的定義、極限的證明、極限的求解方法等方面解析二者之間的統(tǒng)一與聯(lián)系。

1 數(shù)列極限

1.1 數(shù)列極限的定義

即當(dāng)n趨于無窮大時，數(shù)列an將無限趨近于A或數(shù)列an的極限為A。若數(shù)列的極限存在，則稱此數(shù)列屬于收斂數(shù)列，若不存在則表示數(shù)列發(fā)散。

上述數(shù)列定義所對應(yīng)的幾何意義如下：以A為中心，以ε為半徑所對應(yīng)的任意一個開區(qū)間(A-ε，A+ε)，都能夠于數(shù)列{an}中找出某一項aN，使aN之后的任意項均處于這一開區(qū)間中，并且在此區(qū)間以外，最多存在數(shù)列{an}中的有限項。

上述定義中的正整數(shù)N應(yīng)當(dāng)關(guān)注以下兩點：①N是基于ε存在的，通常情況下，N是隨著ε值的減小而不斷增大的，但正整數(shù)N并不唯一；②在上述定義中僅僅是注重正整數(shù)N的存在性，而不是找出其中最小的正整數(shù)N，我們僅僅關(guān)注第N項之后的各項均可以保持與常數(shù)a之間的距離小于給定的任意小正數(shù)ε。

1.2 數(shù)列極限的性質(zhì)

一數(shù)列{an}具有極限，說明此數(shù)列收斂，其具有以下幾方面性質(zhì)：

(1)如果數(shù)列極限存在，則此極限必定是唯一的；

(2)如果數(shù)列{an}是收斂的，則{an}必定是有界數(shù)列；

(3)如果數(shù)列{an}存在極限，且為A，則數(shù)列{an}的任何一個子數(shù)列{ank}也必定收斂于A；

(4)保號性，如果數(shù)列極限A為正數(shù)，則一定存在正整數(shù)N1，當(dāng)ngt;N1時有angt;0；

定理1：(收斂數(shù)列及其對應(yīng)奇、偶項數(shù)列之間的關(guān)系)數(shù)列{an}能夠收斂于a一個充要條件為{an}的奇數(shù)項數(shù)列{a2k-1}以及偶數(shù)項數(shù)列{a2k}均收斂，且都收斂于a。

2 函數(shù)極限

2.1 函數(shù)極限的定義

(1)當(dāng)自變量為有限值時對應(yīng)的函數(shù)極限

函數(shù)f(x)在某點x0相應(yīng)去心鄰域，即U0(X0)中有定義，若對于任何既定的正數(shù)ε，且不管其值如何小，總會存在一正數(shù)δ，保證不等式0lt;|X-X0|lt;δ所規(guī)定所有自變量x，相應(yīng)函數(shù)值f(x)均符合不等式|f(x)-A|lt;ε，此時稱常數(shù)A是函數(shù)f(x)基于x→x0時所對應(yīng)的極限，并記作

函數(shù)極限定義的幾何意義如下：將上述函數(shù)極限的定義用幾何語言進行描述：①對于任意正數(shù)ε，并以兩條直線y=A+ε與y=A-ε作為邊界所形成的區(qū)域；②總會有δgt;0，并以點x0為中心，以δ為半徑所構(gòu)成的圓域；③當(dāng)x滿足不等式0lt;|x-x0|lt;δ時，即x位于上述圓域中；④總會有|f(x)-A|lt;ε成立，即函數(shù)f(x)所對應(yīng)的圖像是位于這一帶形區(qū)域中的。

(2)當(dāng)自變量為無窮大時相應(yīng)函數(shù)所對應(yīng)的極限

函數(shù)f(x)自變量滿足|x|gt;0，若任意給定εgt;0，必會存在某一正數(shù)Χ，對于滿足不等式|x|gt;Χ所對應(yīng)的所有自變量x，相應(yīng)函數(shù)值f(x)均滿足|f(x)-A|lt;ε，此時將常數(shù)A稱為函數(shù)f(x)當(dāng)自變量x→∞時所對應(yīng)的極限，并記作

且y=A是函數(shù)y=f(x)對應(yīng)圖像的水平的漸近線。

2.2 函數(shù)極限的性質(zhì)

定理2：對于函數(shù)f(x)在x→x0時，其極限存在的一個充要條件為函數(shù)f(x)在x→x0時所對應(yīng)的左、右極限均存在，且相等，即

3 數(shù)列極限與函數(shù)極限之間的異同

(1)如果極限存在那么極限值一定是唯一的，因而數(shù)列極限及函數(shù)極限均具有唯一性。

(2)若數(shù)列極限是存在的，則其是有界的，并且數(shù)列的整體是有界的，也就是存在正整數(shù)M，對于對數(shù)列中的所有項均有|an|≤M，但函數(shù)界性與此不同，函數(shù)極限表現(xiàn)為一種局部性，例如當(dāng)x趨近于正無窮時，函數(shù)極限相應(yīng)局部有界性可以表述為：存在正數(shù)M，保證f(x)在自變量xgt;M的區(qū)域中滿足|f(x)|≤M，在這里主要注重局部性，并不考慮比M小于函數(shù)值其是否有界，因而，函數(shù)極限所表現(xiàn)的局部性是與數(shù)列極限存在本質(zhì)區(qū)別的。

(3)數(shù)列極限是否存在的判別方法主要有兩個，即單調(diào)有界定理及柯西收斂準(zhǔn)則，這是高等數(shù)學(xué)中對于數(shù)列極限進行判斷的常用方法[3]?；趩握{(diào)有界定理，若一個數(shù)列是單調(diào)遞增的，且有上界，此時便可以判定數(shù)列極限是存在的，并且其極限值就是數(shù)列對應(yīng)的上確界，同理，若一個數(shù)列是單調(diào)遞減的，并且具有下界，此時也可以說此數(shù)列極限是存在的，并且極限值為其下確界。

基于柯西收斂準(zhǔn)則，隨著n值的增加，收斂數(shù)列其各項值將會越來越靠近，因而當(dāng)n值適當(dāng)時，必然會有任意兩項的距離能夠小于所給定的任何一個正數(shù)ε?？挛魇諗繙?zhǔn)則可以根據(jù)數(shù)列自身的特點進行極限存在與否的判定。與函數(shù)極限相應(yīng)存在條件相比，數(shù)列極限中的柯西準(zhǔn)則是與函數(shù)極限完全類似的，而所不同的就是在函數(shù)極限中涉及了歸結(jié)原則，也就是海涅定理。然而，在實際的運用中，基于柯西收斂準(zhǔn)則進行極限的判斷是不太現(xiàn)實的，對于數(shù)列來說，收斂于x0的數(shù)列有很多，因而，我們不可能針對每一個數(shù)列都去驗證其極限值。在實際的解題過程中，運用的最多的就是其推論：通過找到一個數(shù)列，其收斂于x0，但函數(shù)的極限值并不存在，或者找到同時收斂于x0的兩個數(shù)列，然而這兩個函數(shù)的極限值并不相等。上述推論與通過尋找數(shù)列的子列來判斷數(shù)列極限存在與否的方法是一致的，這兩種方法的思路也是完全一樣的。對于函數(shù)極限來說，單調(diào)有界定理同樣適用，但該定理用在函數(shù)的表達中因為其單調(diào)具有增減的變化，因而只能對函數(shù)一側(cè)進行研究，也就是只能對單側(cè)極限進行研究。其方法與數(shù)列極限有較大的相似之處，只需要進行適當(dāng)?shù)恼{(diào)整即可。

(4)數(shù)列極限與函數(shù)極限在其應(yīng)用方面也存在較多的相似之處，諸如極限的四則運算及相應(yīng)的證明過程，而對于平均收斂及幾何收斂方面也存在一定的相似之處，只需要進行稍微改動就可以互通使用。但這里應(yīng)當(dāng)注意一點，在運用洛必達法則時，若對數(shù)列極限進行處理，應(yīng)當(dāng)先將數(shù)列極限轉(zhuǎn)化為函數(shù)極限，然后借助歸結(jié)原則求解數(shù)列極限，這主要是因為洛必達法則不能直接用于求解數(shù)列極限，其原因在于對離散變量取導(dǎo)數(shù)并沒有實際意義。

4 數(shù)列極限與函數(shù)極限之間的統(tǒng)一

4.1 數(shù)列極限與函數(shù)極限在定義上的統(tǒng)一

數(shù)列及函數(shù)極限都可以通過定義來進行證明，即借助ε-δ(或N)描述進行證明，一般步驟如下：

若極限為有限值時，相應(yīng)證明過程如下：

(1)首先給定任意一個正數(shù)ε；

(2)求解不等式|f(x)-A|lt;ε或|an-A|lt;ε，找出δ或N值；

(3)選定δ或N值；

若極限值為無窮大，相應(yīng)證明過程如下：

(1)給定任意一個正數(shù)G；

(2)求解不等式f(x)gt;G(或f(x)lt;-G)；

(3)選定δ值；

4.2 數(shù)列極限與函數(shù)極限在極限的存在條件方面的統(tǒng)一

(1)夾逼定理

①數(shù)列極限中的夾逼準(zhǔn)則

若數(shù)列{an}，{bn}與{cn}均滿足以下條件：(i)存在正整數(shù)N，當(dāng)ngt;N時，有bn≤an≤cn；(ii)數(shù)列{bn}與{cn}的極限相等，且為a，此時數(shù)列{an}極限一定存在，且為a[4]。

②函數(shù)極限的夾逼準(zhǔn)則

(2)柯西準(zhǔn)則

①數(shù)列極限的柯西準(zhǔn)則

數(shù)列{an}收斂的充要條件為：對于任意給定的正數(shù)ε，存在正整數(shù)N，使得當(dāng)m，ngt;N時，有|xn-xm|lt;ε成立。

②函數(shù)極限的柯西準(zhǔn)則

設(shè)函數(shù)f定義域為x0的去心鄰域U0(x0；δ′)，那么f(x)當(dāng)x→x0極限存在的一個充要條件為：對于任意給定的正數(shù)ε，一定有正數(shù)δlt;δ′，保證對任意x′，x″∈U0(x0；δ′)時，有|f(x′)-f(x″)|lt;ε成立[5]。

(3)歸結(jié)原則(海涅定理)

對于歸結(jié)原則的理解和運用應(yīng)當(dāng)關(guān)注以下兩個方面：

歸結(jié)原則能夠?qū)⒑瘮?shù)極限和數(shù)列極限相應(yīng)存在性緊密地聯(lián)系在一起，基于歸結(jié)原則我們能夠?qū)煞N極限之間的區(qū)別與聯(lián)系進行清晰而準(zhǔn)確的理解和認(rèn)識。歸結(jié)原則其另一個重要作用和意義在于能夠?qū)⒑瘮?shù)極限轉(zhuǎn)化為數(shù)列極限或是將數(shù)列極限轉(zhuǎn)化為函數(shù)極限來進行處理，這體現(xiàn)了數(shù)列極限與函數(shù)極限之間的統(tǒng)一性。

4.3 數(shù)列極限與函數(shù)極限求解方法上的統(tǒng)一

盡管數(shù)列極限和函數(shù)極限的定義是相互獨立的，但兩者之間存在較為明確的聯(lián)系。下面通過歸結(jié)原則在數(shù)列極限與函數(shù)極限中的運用來描述兩者在求解方面中的聯(lián)系與統(tǒng)一[7]。

(1)用數(shù)列極限來求解函數(shù)極限

運用歸結(jié)原則實現(xiàn)函數(shù)極限與數(shù)列極限之間的轉(zhuǎn)化，應(yīng)當(dāng)注意以下兩點：

(2)用函數(shù)極限求解數(shù)列極限

運用函數(shù)極限來求解數(shù)列極限，要求實現(xiàn)數(shù)列極限向函數(shù)極限的轉(zhuǎn)化。目前，求解函數(shù)極限的方法很多，如可以運用函數(shù)對應(yīng)的連續(xù)性特征，借助洛必達法則，將函數(shù)以泰勒公式展開，或者運用變量代換等相應(yīng)方法。對于數(shù)列向函數(shù)的轉(zhuǎn)化主要是借助歸結(jié)原則[8]。

運用函數(shù)一系列基本性質(zhì)，我們可以將數(shù)列施以必要的恒等變形，將其轉(zhuǎn)化為函數(shù)形式，然后再借助函數(shù)極限相應(yīng)性質(zhì)、求解思想以及歸結(jié)原則，對轉(zhuǎn)化后的函數(shù)極限進行求解。

例如：

解：首先將此數(shù)列極限進行轉(zhuǎn)化，即

對函數(shù)取對數(shù)有：

4.4 數(shù)列極限與函數(shù)極限在應(yīng)用上的統(tǒng)一

數(shù)列極限與函數(shù)極限在應(yīng)用方面存在較多的相似之處，諸如四則運算及相應(yīng)證明過程，平均收斂與幾何收斂、證明過程以及一些構(gòu)造性的方法等，二者的基本思路大致相似，僅需要依據(jù)條件進行稍微改動就可以了。然而這里應(yīng)強調(diào)一下，在運用洛必達法則時，若遇到數(shù)列極限的處理時，應(yīng)首先轉(zhuǎn)化為函數(shù)極限，然后在進行求解，最后運用歸結(jié)原則求出數(shù)列的極限值，這是因為在數(shù)列極限的形式下是無法運用洛必達法則的，主要是離散變量的求導(dǎo)其本身沒有意義，因而這一點應(yīng)當(dāng)特別注意。

5 結(jié)語

數(shù)列作為特殊的函數(shù)，其定義域是自然數(shù)集，定義域上的特殊性使得數(shù)列極限較為簡單，具有一系列較為特殊的性質(zhì)，并且這些性質(zhì)體現(xiàn)出較為明顯的特殊性；而對于函數(shù)其定義域為實數(shù)集，因而其極限表現(xiàn)出較為明顯的局部性。數(shù)列極限與函數(shù)極限之間存在較多差別，同時也緊密聯(lián)系，因而在極限的求解與運用過程中要能夠明確二者之間的區(qū)別與聯(lián)系，善于將數(shù)列極限與函數(shù)極限統(tǒng)一起來，綜合運用極限求解思想和方法來解決實際問題。

[1]張德華.淺析高中數(shù)學(xué)中有關(guān)極限的知識[J].考試周刊，2012(37)：66-67.

[2]游志林.淺析數(shù)列極限與函數(shù)極限的異同——以華東師范大學(xué)《數(shù)學(xué)分析》第四版為例[J].文理導(dǎo)航，2017(11)：35-35.

[3]何天榮.數(shù)列極限與函數(shù)極限的異同及其本質(zhì)原因[J].考試周刊，2016(55)：58-58.

[4]賀飛，劉德.用數(shù)列極限計算函數(shù)極限的夾逼定理[J].高等數(shù)學(xué)研究，2007，10(5)：5-8.

[5]蔣志強.函數(shù)極限的幾種特殊求法[J].牡丹江教育學(xué)院學(xué)報，2009(5)：122-123.

[6]張夢陽.一類用數(shù)列極限計算函數(shù)極限的方法[J].成才之路，2012(33)：33-33.

[7]王金芝.數(shù)列極限與函數(shù)極限的統(tǒng)一[J].科技致富向?qū)В?010(26)：74-75.

[8]曾祥遠，程功任，李科贊.關(guān)于函數(shù)和數(shù)列極限的相關(guān)理論及計算方法的探討[J].教育現(xiàn)代化，2015(12)：253-256.

2017-09-23

[責(zé)任編輯姚勝勛]

TheUnificationoftheSequenceLimitandFunctionalLimit

TANGHaibo

(DepartmentofEducation，HanjiangNormalUniversity，ShiyanHubei442000，China)

Limit thought is a common thought method in higher mathematics，which is also the most basic and commonly used method in solving function problems and research.The function limit shows the change of function value in the change process of the independent variable.As a special function，the sequence can be learned and studied by the function and its related thought methods.Sequence limit and function limit have many similarities，but also a lot of differences.The study of similarities and differences between the sequence limit and function limit should grasp the "the sequence is a special function" as the key point.This article，from the definition and nature of sequence limit and the function limit，introduces the similarities and differences between them，and from the definition of limit，the proof of limit，limit’s solving method，describes the unification of them.

limit；the sequence；functions；unification

O143

A

1672-9021(2017)05-00070-06

唐海波(1980-)，男，湖北丹江口人，漢江師范學(xué)院教育系講師，主要研究方向：高等數(shù)學(xué)，初等數(shù)學(xué)。