課題：函數(shù)奇偶性

年級：高一

授課：崔曉麗老師

版本：人教版數(shù)學必修一1.3.2

一、背景介紹

本節(jié)課是在學生已經(jīng)學習了函數(shù)的基本概念以及函數(shù)單調(diào)性的基礎上進行的，主要是對函數(shù)的奇偶性進行系統(tǒng)的研究。在培養(yǎng)學生對圖像觀察能力的基礎上，進而引導學生從數(shù)量關(guān)系的角度通過邏輯推理加以確認，是鍛煉學生掌握數(shù)形結(jié)合思想的很好機會，在中學數(shù)學過程中有很重要的地位。

1.設計理念

本節(jié)課學習函數(shù)奇偶性的概念以及判斷函數(shù)奇偶性的方法。教學中，教師引導學生質(zhì)疑，探索，發(fā)現(xiàn)，從問題入手，證明猜想，得出結(jié)論。

2.教材分析

本節(jié)討論函數(shù)的奇偶性，教材沿用了處理函數(shù)單調(diào)性的方法，即先給出幾個特殊函數(shù)的圖象，讓學生通過圖象直觀獲得函數(shù)奇偶性的認識，然后利用表格探究數(shù)量變化特征，通過代數(shù)運算，驗證發(fā)現(xiàn)的數(shù)量特征對定義域中的“任意”值都成立，最后在這個基礎上建立了奇（偶）函數(shù)的概念。

對于奇函數(shù)，教材在給出的表格中留出大部分空格，旨在讓學生自己動手計算填寫數(shù)據(jù)，仿照偶函數(shù)概念建立的過程，獨立地去經(jīng)歷發(fā)現(xiàn)、猜想與證明的全過程，從而建立奇函數(shù)的概念。

3.學情分析

因為已經(jīng)學習了函數(shù)的單調(diào)性，而函數(shù)奇偶性的研究方法類同與函數(shù)單調(diào)性，所以大部分學習能夠接受并理解。但學生對前后知識的聯(lián)系、應用有一定的難度，而且學生分析問題，解決問題的能力比較弱，所以，備課時要多注意，老師及時給予幫助。

二、案例描述

（一）三維目標

1.知識與技能目標

從數(shù)與形兩個方面進行引導，使學生深刻理解函數(shù)奇偶性的概念；通過抽象函數(shù)奇偶性的應用，培養(yǎng)學生觀察、歸納、抽象思維的能力，以及從特殊到一般的概括、歸納問題的能力。

2.過程與方法

師生共同探討、研究。從代數(shù)角度嚴格推證并總結(jié)規(guī)律。

3.情感、態(tài)度與價值觀

通過繪制和展示函數(shù)圖像來陶冶學生情操，通過組織學生分組討論，培養(yǎng)學生主動交流的合作精神。

（二）教學重點：函數(shù)的奇偶性及其幾何意義。

（三）教學難點：判斷函數(shù)的奇偶性的方法。

（四）課時安排：1課時

（五）教學過程

1.導入新課

（師）同學們，對稱會讓人覺得和諧，美觀。其實，對稱在我們身邊隨處可見。請大家想一下哪些事物給過你對稱美的感覺呢？

（生）例如人的兩個耳朵，兩個鼻子都對稱，這種對稱美給人一種賞心悅目的感覺等。

（師）學生們的回答很好。這種對稱美，不僅在我們身邊，存在于實際生活當中，而且在我們數(shù)學中也有所體現(xiàn)。今天，我們就一起來學習數(shù)學中一種與對稱有關(guān)的知識：函數(shù)的另一個重要性質(zhì)——函數(shù)的奇偶性。

2.實例引入，探究新知

（師）（提出問題）請同學們觀察下面兩個函數(shù)圖像，從對稱的角度分析，它們有什么共同特征？（啟發(fā)學生由圖像獲取函數(shù)圖像的對稱的直觀認識，便于引入新課）

（生）都是關(guān)于y軸對稱的。

（師）那么，相應的兩個函數(shù)值的對應表是如何體現(xiàn)這些特征的？請同學們填寫表1和表2，你發(fā)現(xiàn)這兩個函數(shù)的解析式具有什么共同特征？（指導學生從形到數(shù)進行分析）

表1

x -3 -2 -1 0 1 2 3

f（x）=x2

表2

x -3 -2 -1 0 1 2 3

f（x）=|x|

學生分組討論，共同總結(jié)得出：

①這兩個函數(shù)的解析式都滿足：f（-3）=f（3）；f（-2）=f（2）；f（-1）=f（1）。

②可以發(fā)現(xiàn)對于函數(shù)定義域內(nèi)任意的兩個相反數(shù)，它們對應的函數(shù)值相等，也就是說對于函數(shù)定義域內(nèi)一個x，都有f（-x）=f（x）。

（師）這時，我們就稱函數(shù)為偶函數(shù)。那么，對于一般的函數(shù)y=f（x），我們?nèi)绾谓o出偶函數(shù)的定義。

3.給出偶函數(shù)概念

（板書偶函數(shù)的定義）一般地，對于函數(shù)f（x）的定義域內(nèi)的任意一個x，都有f（-x）=f（x），那么f（x）就叫做偶函數(shù)。

4.偶函數(shù)圖像的性質(zhì)（提高學生觀察能力和歸納概括能力）

（師）偶函數(shù)的圖象有什么特征？

（學生分組討論并總結(jié)，教師提示補充）偶函數(shù)的圖像有以下兩個特征：①圖象關(guān)于y軸對稱.②在關(guān)于y軸對稱的兩個區(qū)間上單調(diào)性相反。

5.奇函數(shù)的概念

（師）觀察函數(shù)f（x）=x和f（x）=的圖象，類比偶函數(shù)的推導過程，給出奇函數(shù)的定義和性質(zhì)？

（生）判斷它們的圖象的共同特征是關(guān)于原點對稱的。

（再列表格觀察自變量互為相反數(shù)時，函數(shù)值的變化情況，進而抽象出奇函數(shù)的概念。）

奇函數(shù)的概念：一般地，對于函數(shù)f（x）的定義域內(nèi)的任意一個x，都有f（-x）=-f（x），那么f（x）就叫做奇函數(shù).奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點中心對稱。

6.奇函數(shù)的性質(zhì)

師生共同總結(jié)得出以下性質(zhì)：

（1）奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點對稱。

（2）關(guān)于原點對稱的兩個區(qū)間上單調(diào)性相同。

（3）f（-x）=-f（x）等價于f（-x）+f（x）=0

（4）x=0處有定義時，必有f（0）=0.

7.函數(shù)奇偶性對定義域有什么要求嗎？

判斷一個函數(shù)是奇函數(shù)還是偶函數(shù)的一個必不可少的條件是“定義域關(guān)于原點對稱”。如果一個函數(shù)的定義域不關(guān)于原點對稱，那么這個函數(shù)既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)。

（教師指明）函數(shù)的奇偶性是函數(shù)在定義域上的性質(zhì)是“整體”性質(zhì)，而函數(shù)的單調(diào)性是函數(shù)在定義域的子集上的性質(zhì)是“局部”性質(zhì)。

8.例題講解，掌握做題步驟.

詳見教材P35例題詳解。

9.總結(jié)判斷或證明函數(shù)奇偶性的一般步驟：

（1）首先確定函數(shù)的定義域，并判斷其定義域是否關(guān)于原點對稱；

（2）確定f（-x）與f（x）的關(guān)系；

（3）作出相應結(jié)論：

若f（-x）=f（x）或f（-x）-f（x）=0，則f（x）是偶函數(shù)；

若f（-x）=-f（x）或f（-x）+f（x）=0，則f（x）是奇函數(shù).

（教師強調(diào)）需要注意的是：并不是所有的函數(shù)都具有奇偶性，如函數(shù)y=x與y=2x-1既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)，可以通過圖象看出也可以用定義去說明.

（六）歸納小結(jié)

（1）函數(shù)奇偶性的定義是什么？其圖像有什么樣的特征？

（2）判斷函數(shù)奇偶性的前提條件是什么？

（3）判斷函數(shù)奇偶性的一般步驟是什么？

（七）作業(yè)布置

（1）閱讀教材P.33-P.36。

（2）教材習題1.3A組。

備選練習：定義在區(qū)間（-1，1）上的奇函數(shù)f（x）是定義域上的減函數(shù)，并且滿足，求m的取值范圍。

三、案例反思

本節(jié)課，師生共同探究，交流，學生親生經(jīng)歷了提出問題，解決問題的過程。大部分學生都可以掌握。但需注意知識之間的聯(lián)系，及時構(gòu)建知識網(wǎng)絡。提高學生解決問題的能力。