杜園園??

摘要：任何物理題的求解過(guò)程都是在解決一個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題，在解題過(guò)程中數(shù)學(xué)和物理相輔相成，適當(dāng)運(yùn)用好這兩個(gè)方法是解題的基礎(chǔ)所在。所謂數(shù)學(xué)方法就是將客觀狀態(tài)、過(guò)程以及關(guān)系用數(shù)學(xué)表達(dá)式表達(dá)出來(lái)。本文介紹用不同的數(shù)學(xué)極值法求物理問(wèn)題。

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)方法；極值；高中物理

在中學(xué)物理學(xué)習(xí)階段，學(xué)生要有用數(shù)學(xué)方法處理物理問(wèn)題的能力，在求解過(guò)程中，將物理問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題，再經(jīng)過(guò)對(duì)問(wèn)題的論證、推導(dǎo)、判斷，通過(guò)極值法、歸納法或者求導(dǎo)等數(shù)學(xué)方法解出最后結(jié)果，本文就是舉例來(lái)說(shuō)明如何運(yùn)用數(shù)學(xué)的極值法來(lái)解決物理問(wèn)題的。

一、 三角函數(shù)求極值，靈活又多變

三角函數(shù)是高中數(shù)學(xué)的重要組成部分，而它的應(yīng)用也是滲透到數(shù)學(xué)的各個(gè)層次中，它的內(nèi)涵即利用三角形的角和邊的關(guān)系來(lái)求解，很多時(shí)候三角函數(shù)的靈活運(yùn)用可以讓數(shù)學(xué)問(wèn)題簡(jiǎn)化，物理中引用這個(gè)方法可謂新穎而獨(dú)特，希望同學(xué)能夠掌握。

例1如圖所示，質(zhì)量M=20 kg的物體水平放置在地面上方，假設(shè)地面與該物體之間的摩擦系數(shù)為μ=33，該物體在力F作用下向右做勻速直線運(yùn)動(dòng)，力F與水平夾角為α，現(xiàn)求這個(gè)作用力F至少需要多大？

解析：物體受力分析如圖所示，因?yàn)槲矬w做勻速直線運(yùn)動(dòng)，所以物理受力呈平衡狀態(tài)，理所受的合外力為零，由此可得：Fx=Fcosα-f=0，F(xiàn)y=N+Fsinα-Mg=0。由以上兩個(gè)式子可得：F=μMgcosα+μsinα，要使得力F最小，則需要cosα+μsinα有最大值。cosα+μsinα=1+μ2（11+μ2cosα+μ1+μ2sinα），令tanβ=μ，cosα+μsinα=1+μ2cos（α-β），當(dāng)α=β時(shí)，cos（α-β）最大值等于1。所以：Fmin=μMg1+μ2=33Mg99+39=33129Mg=12Mg。

點(diǎn)撥：本題是典型的數(shù)學(xué)三角函數(shù)在物理解析中的應(yīng)用，例題當(dāng)中應(yīng)用的是“積化和差”方法，然后又利用函數(shù)的單調(diào)性特點(diǎn)，得出了拉力的最小值。這種計(jì)算方法使得判斷過(guò)程簡(jiǎn)化，思路清晰，計(jì)算更快速準(zhǔn)確。值得推廣到物理計(jì)算當(dāng)中。

二、 不等式求極值，簡(jiǎn)單又實(shí)用

例2如圖所示，輕繩的一段固定，另一端系一鋼球，如果拉起鋼球呈水平狀態(tài)，在靜止?fàn)顟B(tài)下突然釋放，在鋼球到達(dá)豎直狀態(tài)之前，小球在何處所受重力的瞬時(shí)功率最大？

解析：假設(shè)當(dāng)鋼球運(yùn)行過(guò)程中，與豎直呈θ角到達(dá)C點(diǎn)，受力分析得α、β角度關(guān)系如圖所示，此時(shí)重力瞬時(shí)功率為：P=mgvcosα=mavsinθ。小球從水平位置到達(dá)C時(shí)根據(jù)能量守恒可以得到式子：P=mg2gLcosθsin2θ，令y=cosθsin2θ=12（2cos2θsin4θ）=12（2cos2θ·sin2θ·sin2θ），2cos2θ+sin2θ+sin2θ=2，根據(jù)基本不等式a+b+c≥abc，當(dāng)2cos2θ=sin2θ時(shí)y有最大值。由2cos2θ=1-cos2θ得cosθ=33，y及功率P有最大值。

點(diǎn)撥：同一個(gè)問(wèn)題在數(shù)學(xué)領(lǐng)域有很多種不同的解法，數(shù)學(xué)當(dāng)中有很多基礎(chǔ)等式，或者不等式，都可以拿來(lái)直接運(yùn)用。像題目當(dāng)中的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)不等式就是其中之一，如果熟悉數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)知識(shí)，有靈活的解題思想，在物理計(jì)算當(dāng)中，便可以多方聯(lián)系，選擇最合適的方法。

三、 導(dǎo)數(shù)求極值，快刀斬亂麻

在數(shù)學(xué)中導(dǎo)數(shù)是重點(diǎn)，也是難點(diǎn)。但是導(dǎo)數(shù)是一把雙刃劍，利用的好可以輕松化繁為簡(jiǎn)，能大大降低計(jì)算的難度和計(jì)算量，可謂快刀斬亂麻。在大學(xué)的高等數(shù)學(xué)階段更是核心知識(shí)。所以中學(xué)階段學(xué)習(xí)導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用也很有必要，在這里為同學(xué)介紹導(dǎo)數(shù)在物理當(dāng)中的妙用。

例3質(zhì)量為m的物體與地面之間的摩擦因數(shù)為μ，在力F的作用下做勻速直線運(yùn)動(dòng)，力F與水平夾角為θ，求夾角θ為多大時(shí)候力F最小，最小值為多少。

解析：對(duì)物體受力分析可得：Fcosθ-μ（mg-Fsinθ）=0，得F=μmgμsinθ+cosθ，所以μsinθ+cosθ>0，令y=μsinθ+cosθ求導(dǎo)得：y′=μcosθ-sinθ，當(dāng)y′=0，即tanθ=μ時(shí)，y有最大值。此時(shí)拉力F最小值為：Fmin=μmg1+μ2。

點(diǎn)撥：本例題當(dāng)中這道求最小值的問(wèn)題，就成功的用數(shù)學(xué)中導(dǎo)數(shù)求極值的思想完美解決了。而且解決方法簡(jiǎn)潔，計(jì)算量比較小。在受力分析之后列出等式就轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題了，此時(shí)同學(xué)需要轉(zhuǎn)換思維，結(jié)合數(shù)學(xué)用導(dǎo)數(shù)求極值的方法，復(fù)雜的難題變得一片明朗。

綜合上述的例題的三種方法，運(yùn)用數(shù)學(xué)方法解決物理極值問(wèn)題的思路已經(jīng)比較明確，接下來(lái)就需要學(xué)生做好基礎(chǔ)工作，千層高樓必須有牢固的地基，所以解決復(fù)雜問(wèn)題的能力都是建立在夯實(shí)知識(shí)的基礎(chǔ)上，本文希望能夠拋磚引玉，以便開闊學(xué)生思維，提高學(xué)生解題的綜合能力。

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