例談幾何習題教學中的再創(chuàng)造策略

施彬

摘 要：針對習題教學雜、亂現(xiàn)象，通過“再創(chuàng)造知識的自然生長過程，形成知識系統(tǒng)；再創(chuàng)造思路的自然形成過程，注重方法遷移兩方面談對再創(chuàng)造策略的一點認識，從而培養(yǎng)學生自主探究的能力。

關(guān)鍵詞：習題教學；再創(chuàng)造；策略

荷蘭數(shù)學教育家符萊登塔爾認為，數(shù)學教學是“有指導(dǎo)的再創(chuàng)造”。本文試圖通過舉例來談?wù)勛约簩υ賱?chuàng)造策略的一點認識。重點不是探究怎樣解某個題，而是研究在今后幾何習題教學中如何以該策略去指導(dǎo)學生。

一、再創(chuàng)造知識的自然生長過程，形成知識系統(tǒng)

（一）習題呈現(xiàn)及解答

（2014·紹興）用直尺和圓規(guī)作△ABC，使BC=a，AC=b，∠B=35°，若這樣的三角形只能作一個，則a，b間滿足的關(guān)系式是___________________。

解：如圖所示：

若這樣的三角形只能作一個，則a，b間滿足的關(guān)系式是：

①當CA⊥BD時，即sin35°=；

②當b≥a時。故答案為：sin35°=或b≥a。

（二）習題的自然生長過程再創(chuàng)造

1.生長起點：SSA不能判定兩個三角形全等

例1 《義務(wù)教育課程標準實驗教科書·數(shù)學》七年級下冊1.6作三角形作業(yè)題C組第5題：已知∠β和線段a，b（如圖2）。用尺規(guī)作△ABC，使∠B=∠β，BC=a，AC=b。這樣的三角形能做幾個？

評析：利用尺規(guī)作圖可得，這樣的三角形能作兩個。由此說明兩邊和其中一邊所對的角不能確定一個三角形，也就證明SSA不能確定兩個三角形全等。

2.生長點一：舍去條件AC=b，探究結(jié)論

例2 已知∠β和線段a（如圖3）。用尺規(guī)作△ABC，使∠B=∠β，BC=a，AC=b。這樣的三角形能做幾個？并確定相應(yīng)a，b間滿足的關(guān)系式？

評析：變式1將原型題中規(guī)定的AC長度b這一條件舍去，即b的長度是不確定的。此時需根據(jù)b的長度為分類標準進行討論，由此我們發(fā)現(xiàn)上述中考題（2014·紹興）考查的是變式1的情況（Ⅰ）

解：（Ⅰ）sinB=或b≥a時，這樣的三角形能作一個；

（Ⅱ）當asinB

3.生長點二：舍去條件AC=b，∠B=∠β，探究結(jié)論

例3 用尺規(guī)作△ABC，使∠B=∠β，BC=a，AC=b。這樣的三角形能做幾個？并確定相應(yīng)a，b間滿足的關(guān)系式.

評析：從例1到例3是再創(chuàng)造知識的自然生長過程，可發(fā)現(xiàn)“角的大小、a，b間滿足的關(guān)系式、能作出的三角形個數(shù)”這三者之間的聯(lián)系與規(guī)律，形成了關(guān)于兩邊與一邊對角構(gòu)成的三角形個數(shù)的知識系統(tǒng)。

二、再創(chuàng)造思路的自然形成過程，注重方法遷移

（一）習題呈現(xiàn)與解答

例4 （2014·寧波）課本的作業(yè)題中有這樣一道題：把一張頂角為36°的等腰三角形紙片剪兩刀，分成3張小紙片，使每張小紙片都是等腰三角形，你能辦到嗎？請畫示意圖說明剪法。

定義：如果兩條線段將一個三角形分成3個等腰三角形，我們把這兩條線段叫做這個三角形的三分線。

（1）請你在圖2中用兩種不同的方法畫出頂角為45°的等腰三角形的三分線，并標注每個等腰三角形頂角的度數(shù)；（若兩種方法分得的三角形成3對全等三角形，則視為同一種）

解：如圖2作圖，

（2）△ABC中，∠B=30°，AD和DE是△ABC的三分線，點D在BC邊上，點E在AC邊上，且AD=BD，DE=CE，設(shè)∠C=x°，試畫出示意圖，并求出x所有可能的值；

解：如圖3①、②作△ABC。①當AD=AE時，∵2x+x=30+30，∴x=20；

②當AD=DE時，∵30+30+2x+x=180，∴x=40；③當AE=DE時，x不存在。

（3）如圖3，△ABC中，AC=2，BC=3，∠C=2∠B，請畫出△ABC的三分線，并求出三分線的長。

解：如圖4，CD、AE就是所求的三分線。

設(shè)∠B=a，則∠DCB=∠DCA=∠EAC=a，∠ADE=∠AED=2a，此時△AEC∽△BDC，△ACD∽△ABC，設(shè)AE=AD=x，BD=CD=y，

∵△AEC∽△BDC，∴x∶y=2∶3，

∵△ACD∽△ABC，∴2∶x=（x+y）∶2，

聯(lián)立得方程組得x∶y=2∶32x=（x+y）∶2得x=y=，即三分線長分別是和。

（二）思路自然形成過程的再創(chuàng)造

1.你能模仿圖1的三分線畫法完成第（1）嗎？

在原型題的基礎(chǔ)上，第（1）題確定的是兩個條件，其中條件②45°的頂角也為特殊角，學生很容易想到從等腰直角三角形入手去畫三分線，如圖5所示：

2.依據(jù)圖1中“三分線”定義，試畫出圖3中示意圖，并求∠C度數(shù)。

評析：讓學生通過畫圖發(fā)現(xiàn)第三個等腰三角形的不確定性，以腰作為分類標準去展開討論，再利用方程思想計算角度問題。實質(zhì)考查“三分線”的概念。

3.圖1與圖4中條件有相同點嗎？由此你能想到圖4的三分線嗎？設(shè)圖1中AC=2，BC=3，求出三分線長？這對求圖4三分線有何啟發(fā)？

變式3確定的是兩內(nèi)角之比為1∶2，首先要求畫出三分線？并增加條件AC=2，BC=3，求三分線的長？此問蘊含著二點方法的遷移，如圖6所示：

方法遷移一：從圖1到圖3是從特殊到一般的過程。啟示是：當三角形內(nèi)兩內(nèi)角之比為1：2時，作三分線首先考慮的是那條兩倍角的角平分線，再過點A作第二條三分線，將三角形ACD劃分成兩個等腰三角形，通過嘗試我們發(fā)現(xiàn)這種作法擴展到一般情形也是適用的。

方法遷移二：求三分線長度的方法的遷移?？稍O(shè)圖1中AC=2，BC=3，利用等腰三角形性質(zhì)及△ABC∽△ACD，很容易求出圖1中AE和CD的長度。圖4的不同之處在于AC≠CD，因此這里要設(shè)兩個未知數(shù)AE=x，CD=y，需建立聯(lián)立方程，此時，仍可用△ABC∽△ACD，或增加△AEC∽△BDC建立方程。因此，從求三分線長度的方法來說，從特殊擴展到一般情形也是適用的。

它山之石，可以攻玉。筆者認為，在幾何習題教學中利用上述再創(chuàng)造策略，便能從茫茫題海中挖掘一些精彩題目的豐富內(nèi)涵。培養(yǎng)自主探究的數(shù)學精神。

參考文獻：

1.浙教版《義務(wù)教育課程標準實驗教科書·數(shù)學》（七年級）.

2.教育部《數(shù)學課程標準（實驗稿）》，北師大出版社，2012年1月第1版.

（作者單位：浙江省良渚一中）