韓敬

[摘 要] 章建躍博士在報(bào)告中強(qiáng)調(diào)：在教學(xué)中，應(yīng)充分做好“理解數(shù)學(xué)、理解學(xué)生、理解教學(xué)、理解技術(shù)” 等工作，其中“理解技術(shù)”指的是課堂教學(xué)應(yīng)該與信息技術(shù)整合. 本文對(duì)“線段的垂直平分線（1）”一課進(jìn)行信息技術(shù)教學(xué)嘗試，通過實(shí)踐，取得了較好的效果，現(xiàn)呈現(xiàn)教學(xué)實(shí)錄，敬請(qǐng)同仁們指正.

[關(guān)鍵詞] 線段的垂直平分線；信息技術(shù)；數(shù)學(xué)教學(xué)；幾何畫板；微課

教學(xué)內(nèi)容說明

本節(jié)內(nèi)容是滬科版《義務(wù)教育教科書·數(shù)學(xué)》八年級(jí)上冊(cè)第15章第2節(jié)第一課時(shí)的內(nèi)容，由于前一節(jié)學(xué)生已學(xué)習(xí)了線段垂直平分線的定義，因此本節(jié)課的主要內(nèi)容是線段垂直平分線的作法及其性質(zhì)的探索.

作圖是一種技能，筆者沒有采用傳統(tǒng)的“教師作圖，學(xué)生模仿”，而是采用觀看微課的方式進(jìn)行教學(xué). 在探索線段垂直平分線的性質(zhì)定理中，學(xué)生經(jīng)歷了觀察、實(shí)驗(yàn)、猜想、證明的認(rèn)知過程，教師利用幾何畫板動(dòng)態(tài)直觀演示，幫助學(xué)生提出猜想，激發(fā)了證明的欲望，性質(zhì)的證明滲透了轉(zhuǎn)化思想（即把線段垂直平分線問題轉(zhuǎn)化為三角形全等證明問題）.

由于本書將“線段垂直平分線”安排在三角形全等、軸對(duì)稱（圖形）內(nèi)容之后，在等腰三角形、角平分線之前，因此采用類比全等三角形學(xué)習(xí)路徑（即定義——性質(zhì)——判定）展開研究，這種研究思路對(duì)角平分線等幾何內(nèi)容的研究也有借鑒作用.

教學(xué)目標(biāo)設(shè)置

1. 會(huì)用尺規(guī)作已知線段的垂直平分線，并能說明它的正確性.

2. 掌握線段垂直平分線的性質(zhì)定理，并會(huì)運(yùn)用.

3. 經(jīng)歷探索、證明線段垂直平分線性質(zhì)定理的過程，進(jìn)一步發(fā)展學(xué)生的空間觀念、培養(yǎng)合理推理能力和演繹推理能力，滲透類比、特殊到一般的思想.

4. 在探索中，培養(yǎng)獨(dú)立思考和合作學(xué)習(xí)的習(xí)慣，培養(yǎng)積極探索、勇于探索的精神，享受獲得成功的喜悅.

教學(xué)實(shí)錄

1. 溫故類比

問題1：上一章我們系統(tǒng)地研究了全等三角形，你能總結(jié)一下研究的思路是什么嗎？

師生活動(dòng)：教師引導(dǎo)學(xué)生回顧研究思路是“定義——性質(zhì)——判定”.

問題2：類比全等三角形的研究，你認(rèn)為線段的垂直平分線應(yīng)該如何研究？

師生互動(dòng)：從線段垂直平分線的定義入手，研究性質(zhì)、判定.

設(shè)計(jì)意圖 回憶全等三角形的學(xué)習(xí)路徑，為類比研究學(xué)習(xí)線段垂直平分線提供了一條研究線索，使學(xué)生對(duì)學(xué)習(xí)的進(jìn)程做到心中有數(shù). 這種先行組織者教學(xué)策略能激活認(rèn)知結(jié)構(gòu)中已經(jīng)具備的相關(guān)觀念，使得學(xué)生體驗(yàn)到研究結(jié)構(gòu)上的關(guān)聯(lián)性，從而學(xué)會(huì)類比研究. 這種設(shè)計(jì)思路的導(dǎo)向性強(qiáng)，能很好地落實(shí)“發(fā)現(xiàn)和提出問題能力”的培養(yǎng).

師：上一節(jié)課已經(jīng)學(xué)習(xí)了線段的垂直平分線的定義，你能說說什么叫線段的垂直平分線嗎？

師生互動(dòng)：學(xué)生說定義，教師板書定義，并標(biāo)示定義中“垂直”“平分”這兩個(gè)關(guān)鍵詞.

師：接下來，應(yīng)該研究什么問題？

生：線段垂直平分線的性質(zhì).

師：很好，在研究線段垂直平分線的性質(zhì)之前，我們得會(huì)畫線段的垂直平分線.

設(shè)計(jì)意圖 概念反映的是一類對(duì)象在數(shù)與形方面內(nèi)有的、固有的本質(zhì)屬性，它是問題研究的根本，更是研究它衍生出的其他知識(shí)的依據(jù). 回憶概念、找關(guān)鍵詞既為后面垂直平分線作法的正確性驗(yàn)證做了思路上的鋪墊，也為性質(zhì)定理的證明順利書寫“已知條件內(nèi)容”埋下了伏筆.

2. 問題探究？搖

問題3：怎樣畫線段的垂直平分線？ 你有哪些辦法？

師生互動(dòng)：學(xué)生動(dòng)手操作，在學(xué)生回答基礎(chǔ)上，教師板書畫法：折紙法、過中點(diǎn)畫垂線法.

追問：除了上面的兩種方法外，還有什么方法？

生：尺規(guī)作圖.

師：利用尺規(guī)作圖如何作？

學(xué)生搖頭，表示不會(huì).

師生互動(dòng)：教師播放“尺規(guī)作圖”的微課視頻（微課片段如圖1、2、3），學(xué)生觀看微視頻的作圖過程，然后學(xué)生動(dòng)手作圖，其中一名學(xué)生上黑板畫圖.

設(shè)計(jì)意圖 采用微課視頻教學(xué)，能吸引學(xué)生的注意力，激發(fā)學(xué)生興趣，有利于培養(yǎng)學(xué)生的觀察能力. 作圖是一種操作技能，學(xué)生可以觀看視頻模仿操作，因?yàn)閷W(xué)生的接受能力有差異，用微課可以重復(fù)播放.

問題4：為什么這樣作出的直線CD就是線段AB的垂直平分線呢？理由是什么呢？（設(shè)所作直線CD交AB于點(diǎn)O，如圖3所示）

師生互動(dòng)：教師提醒，遇到困難應(yīng)回到定義，利用定義中的關(guān)鍵詞“垂直”（垂直即要證90°角或鄰補(bǔ)角相等）、“平分”（平分即要證線段相等），進(jìn)而將問題轉(zhuǎn)化成證明OA=OB，∠AOC=∠BOC.

師（追問）：如何證兩條線段、兩個(gè)角相等？

生：只要證三角形全等.

師（追問）：圖中有三角形嗎？

生：沒有.

師（追問）：那怎么辦？

生：構(gòu)造（或畫輔助線），可以連接AC，BC，證明△AOC與△BOC全等.

師（追問）：具備全等的條件嗎？（啟發(fā)學(xué)生從作圖中獲得“AC=BC”）

生：已知AC=BC，公共邊OC，而“OA=OB”是求證的結(jié)論，找邊不行，只能找這兩邊的夾角.

師（追問）：如何說明∠ACO=∠BCO？

……

師生互動(dòng)： 教師要求學(xué)生先獨(dú)立思考，再小組交流，小組代表展示成果；教師參與到有困難的小組中，引導(dǎo)再次構(gòu)造新的一對(duì)三角形.

設(shè)計(jì)意圖 證明CD是線段AB的垂直平分線是難點(diǎn)，需要適當(dāng)引導(dǎo). 這里采用連續(xù)追問，意在啟發(fā)學(xué)生如何去想，怎么想，讓學(xué)生學(xué)會(huì)去想. 有了第一次構(gòu)造全等的經(jīng)驗(yàn)，故第二次構(gòu)造全等是讓學(xué)生自己去完成.

問題5：猜想：線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端點(diǎn)的距離有何關(guān)系？endprint

師生互動(dòng)：根據(jù)圖中的“AC=BC，AD=BD”及“O為線段AB的中點(diǎn)”，引導(dǎo)學(xué)生猜想：線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端點(diǎn)距離的關(guān)系，然后讓學(xué)生在圖中除點(diǎn)C，D外，任意找一點(diǎn)，度量一下，觀察和猜想是否一致，接著，教師利用幾何畫板度量功能進(jìn)行演示，進(jìn)而確認(rèn)了猜想的命題.

師：一個(gè)命題的真假僅靠實(shí)驗(yàn)、猜想是不夠的，還要進(jìn)行嚴(yán)密地推理. 命題證明的一般步驟是什么呢？

生：根據(jù)題意畫出圖形，結(jié)合命題的條件和結(jié)論，寫出已知、求證，最后再證明.

師：很好，請(qǐng)你們?cè)趯W(xué)案上完成這個(gè)任務(wù).

師生互動(dòng)：學(xué)生先口述，當(dāng)形成共識(shí)后，教師用PPT呈現(xiàn)：已知如圖4，直線MN經(jīng)過線段AB的中點(diǎn)O，且MN ⊥AB，P是MN上任意一點(diǎn).

求證：PA=PB. （證明過程略）

師：到這里，可以大聲宣布，這個(gè)命題是正確的，我們把這個(gè)真命題稱為線段垂直平分線的性質(zhì)定理. （板書：線段垂直平分線上的點(diǎn)與線段兩端點(diǎn)距離相等）

師生互動(dòng)：讓學(xué)生結(jié)合圖形，嘗試規(guī)范地表示出性質(zhì)定理的幾何語(yǔ)言. 即如圖4，因?yàn)镸N⊥AB，AO=BO，點(diǎn)P是MN上的任意一點(diǎn)，所以PA=PB.

師：這個(gè)定理的條件和結(jié)論是什么？有何作用或價(jià)值？

師生互動(dòng)：學(xué)生說條件和結(jié)論，師生歸納：該性質(zhì)是用于證明線段相等. 至此，我們證明線段相等又多了一種方法.

師：回顧性質(zhì)的探索，我們經(jīng)歷了怎樣的過程？

生：先從特殊猜想，得到命題，最后證明.

師：這種從“特殊到一般”的探究方法，是研究幾何問題的常用方法，這種探究方法在后面的學(xué)習(xí)還將用到.

設(shè)計(jì)意圖 性質(zhì)定理的探索，學(xué)生經(jīng)歷了觀察、度量、實(shí)驗(yàn)、猜想、證明，這符合定理教學(xué)的一般過程：發(fā)現(xiàn)和猜想命題——證明猜想得到定理——明確定理的條件和結(jié)論. 這個(gè)經(jīng)歷不但使學(xué)生體會(huì)到知識(shí)的形成過程，而且體會(huì)了用合情推理提出猜想，用演繹推理證明結(jié)論這一個(gè)幾何研究的基本思考方式. 另外，幾何畫板的直觀演示更增添了猜想的正確度，大大地調(diào)動(dòng)了學(xué)生證明的欲望.

3. 解決問題

問題6：你能用今天所學(xué)的知識(shí)解決問題嗎？

師生活動(dòng)：（1）若點(diǎn)P在線段AB的垂直平分線上，PA+PB=6 cm，則PB=______.

（2）如圖5，DE是△ABC邊AB的垂直平分線，交AB，BC于D，E，若AC+BC=5，求△AEC的周長(zhǎng).

變式：其他條件不變，對(duì)調(diào)一個(gè)條件與所求的結(jié)論，即若△AEC的周長(zhǎng)為5，你如何求AC+BC的長(zhǎng)？

設(shè)計(jì)意圖 通過由易到難的梯度練習(xí)，有效地促進(jìn)了學(xué)生對(duì)線段垂直平分線性質(zhì)的理解和掌握，實(shí)現(xiàn)知識(shí)向能力的轉(zhuǎn)化. 同時(shí)，第（2）題既滲透了整體思想，也有利于培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散思維和創(chuàng)新思維能力.

4. 歸納總結(jié)

問題7：（1）本節(jié)課你學(xué)到了什么知識(shí)和方法？

（2）運(yùn)用了什么數(shù)學(xué)思想？

（3）如果將線段垂直平分線的題設(shè)與結(jié)論互換，這個(gè)命題還成立嗎？

設(shè)計(jì)意圖 利用框架從知識(shí)、方法、數(shù)學(xué)思想進(jìn)行梳理，培養(yǎng)學(xué)生整理與反思的習(xí)慣，建構(gòu)新的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，形成系統(tǒng)，問題（3）提出了新的問題，將為下節(jié)課的學(xué)習(xí)做好準(zhǔn)備.

5. 分層作業(yè)

（1）必做題：教科書P130第2題.

（2）選做題：教科書P131第3題.

設(shè)計(jì)意圖 分層作業(yè)，使人人都能獲得良好的數(shù)學(xué)教育，不同層次的學(xué)生在數(shù)學(xué)上得到不同的發(fā)展. 必做題幫助學(xué)生鞏固“雙基”，選做題是為學(xué)有余力的學(xué)生設(shè)計(jì)的，培養(yǎng)他們的綜合能力.

教學(xué)思考

信息技術(shù)輔助教學(xué)與數(shù)學(xué)學(xué)科整合已是現(xiàn)代化數(shù)學(xué)教學(xué)方式之一. 利用現(xiàn)代的技術(shù)、現(xiàn)代化的教學(xué)手段來深化課堂教學(xué)改革是必然的趨勢(shì)，因此，我們不能排斥，也不能盲目地“濫用”. 對(duì)于數(shù)學(xué)學(xué)科來說，可選擇幾何畫板和微課等技術(shù)來輔導(dǎo)教學(xué)，那么在課堂上如何去用？

1. 用在“重、難點(diǎn)”處

信息技術(shù)與課程融合無非就是為了優(yōu)化課堂教學(xué)，提高課堂教學(xué)效率. 重點(diǎn)、難點(diǎn)是學(xué)生建構(gòu)知識(shí)結(jié)構(gòu)的障礙，為了強(qiáng)調(diào)重點(diǎn)，突破難點(diǎn)，教師將重難點(diǎn)問題設(shè)計(jì)成微課的形式展示出來. 而對(duì)每一節(jié)課來說，都有其教學(xué)的重難點(diǎn)，因此在選用技術(shù)時(shí)，要充分考慮利用技術(shù)能否達(dá)到突破重難點(diǎn)的目的，否則寧可不用. 在本課中，讓學(xué)生去探究線段垂直平分線的畫法難度很大，即便采用其他的方式來鋪墊，也會(huì)花費(fèi)課堂的大量時(shí)間，而畫圖只是一種操作的技能，完全可以采用微課教學(xué)來代替?zhèn)鹘y(tǒng)的“老師講，學(xué)生模仿”的教學(xué)方式，這樣即使課堂上掌握不了，課后還可以多次觀看視頻，直至學(xué)會(huì)為止.

2. 用在“抽象”中

我們知道，數(shù)學(xué)是研究數(shù)量關(guān)系和空間形式的科學(xué)，數(shù)學(xué)知識(shí)具有高度的抽象性，幾何畫板能很好地把數(shù)和形潛在的關(guān)系及其變化動(dòng)態(tài)地顯示出來，將抽象的問題直觀化. 在探索線段垂直平分線的性質(zhì)時(shí)，利用幾何畫板的動(dòng)態(tài)演示，學(xué)生能直觀地發(fā)現(xiàn)：垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端的距離長(zhǎng)度在不斷地變化，但相等關(guān)系始終是不變的，讓學(xué)生感悟變化中的不變性，形成直觀的猜想，激發(fā)學(xué)生產(chǎn)生證明的欲望，調(diào)動(dòng)了學(xué)生思維的積極性，促進(jìn)了學(xué)生合情推理能力的發(fā)展和空間想象力的發(fā)展. 比如，在平行四邊形的教學(xué)中，要弄清楚平行四邊形與特殊平行四邊形之間的關(guān)系，可以借助于幾何畫板，拖動(dòng)邊或頂點(diǎn)，其之間的關(guān)系則一目了然. 通過操作，讓學(xué)生充分認(rèn)識(shí)到“平行四邊形——矩形”“菱形——正方形”的變化過程，直觀地展現(xiàn)出它們之間“一般與特殊”的關(guān)系，有利于理清性質(zhì)之間的異同點(diǎn)，更好地理解和運(yùn)用性質(zhì).endprint