馬海濱　應(yīng)存榮

[摘 要]

角的定義反映出角的“射線”和“旋轉(zhuǎn)”兩大本質(zhì)屬性。從角的概念出發(fā)，立足角的本質(zhì)屬性，就人教版二年級上冊“角的初步認(rèn)識”這一單元，比較分析實驗版教材與修訂版教材之間的異同，同時針對“初步認(rèn)識角”“動態(tài)角的呈現(xiàn)”“直角的學(xué)習(xí)”“角的大小”“角的分類”等教材的內(nèi)容編排，闡述比較后所獲得的啟示。

[關(guān)鍵詞]

本質(zhì)屬性；人教版；比較分析

什么是角？《辭?！防镞@樣解釋：由一點發(fā)出的兩條射線所夾成的平面圖形?！鞍俣劝倏啤庇址朱o態(tài)與動態(tài)兩種形式定義角。角的靜態(tài)定義：具有公共端點的兩條射線組成的圖形叫作角，這個公共端點叫作角的頂點，這兩條射線叫作角的兩條邊；角的動態(tài)定義：一條射線繞著它的端點從一個位置旋轉(zhuǎn)到另一個位置所形成的圖形叫作角，所旋轉(zhuǎn)射線的端點叫作角的頂點，開始位置的射線叫作角的始邊，終止位置的射線叫作角的終邊。

從《辭?！泛汀鞍俣劝倏啤钡亩x來看，反映角的本質(zhì)屬性大致可以概括為兩個：“射線”和“旋轉(zhuǎn)”。在給角下定義時，二年級的數(shù)學(xué)書上并沒有用表象的語言，如“像這樣的圖形叫作角”或“三角板上這樣的圖形叫作角”等語句，書上所出現(xiàn)是“這些物品中都有角”“上面的圖形都是角”，這些語句僅僅是為了幫助學(xué)生理解角而所列舉的幾個“樣子”，而并非是對角的定義。

角是基本的平面圖形，在數(shù)學(xué)幾何家族中，它是不可或缺的重要一員。修訂版教材“角的初步認(rèn)識”，單元內(nèi)容主要包括“初步認(rèn)識角”（各部分名稱）“直角的學(xué)習(xí)”“角的大小”“角的分類”（如下圖），其中角的“頂點”“邊”突出的是“射線”這一屬性，角的“大小”“分類”突出的是“旋轉(zhuǎn)”這一屬性，而“直角”既聯(lián)系著“射線”屬性，又聯(lián)系著“旋轉(zhuǎn)”屬性，因此對“直角”的學(xué)習(xí)非常重要。

筆者在比較人教版“角的初步認(rèn)識”不同時期的教材（實驗版與修訂版）后，發(fā)現(xiàn)修訂版教材更加突出角的“射線”與“旋轉(zhuǎn)”這兩大本質(zhì)屬性，在例題和習(xí)題上也略有修改或增加一些與“無限”“動態(tài)”理念相關(guān)的圖或語句。下面筆者就結(jié)合自身教學(xué)實踐，談?wù)剬Ρ葘嶒灠媾c修訂版教材后所獲得的點滴啟示。

一、“初步認(rèn)識角”的比較分析

最開始的“角的認(rèn)識”，是在學(xué)習(xí)長方形、正方形（一年級下冊“認(rèn)識圖形二”）時，稍加認(rèn)識它們當(dāng)中的角。到了二年級上冊，教材以“角的初步認(rèn)識”為一單元進(jìn)行學(xué)習(xí)，而實驗版教材和修訂版教材一開始都是從實物中抽象出角（例1），再到角的概念（例2）。但對比后也發(fā)現(xiàn)，修訂版教材在例1編排時更改了其中兩個生活中角的原型，例2多了“筆直”二字。

透析：在一年級下冊學(xué)習(xí)長方形、正方形時，認(rèn)識的僅僅是圖形中的角。到二年級上冊，兩個版本的例1都呈現(xiàn)了“生活中的角”，此時是讓學(xué)生從實物中抽象出角，修訂版的“鐘表”“三角板”更有利于學(xué)生對角的抽象，尤其是鐘面上的角既蘊含了“射線”的含義（分針時針長短不一），又有利于接下來學(xué)生對角“旋轉(zhuǎn)”（表針的轉(zhuǎn)動）的學(xué)習(xí)。但不管是圖形中的角，還是現(xiàn)實生活中的角，觀察這些角你會發(fā)現(xiàn)：這些角的“邊”雖然長短不一，但都是有固定長度的，并不是射線，直到例2，才突出了角的“射線”這一本質(zhì)屬性。例2不僅展示了畫角的步驟與方法，同時還關(guān)注了角的概念，“從一個點起，畫兩條筆直的線”其實就是兩條射線，而且從第一步到第二步的動態(tài)生成過程，既可以幫助學(xué)生建立角的概念，認(rèn)識角的“頂點”（射線的端點）“邊”（兩條射線），同時也幫助學(xué)生經(jīng)歷“角的形成”的過程。當(dāng)然，修訂版教材比實驗版教材多了“筆直”兩字，正說明修訂版教材更加注重概念描述的完整性，更加突出所畫的兩條線是“射線”——從一個點起筆直的線。

啟示：數(shù)學(xué)用“射線”定義角的邊，是有道理的。但讓抽象思維能力比較弱的小學(xué)二年級學(xué)生去理解這樣的定義，是非常困難的，而角本身就是由生活中模型抽象出來的，因此，教學(xué)上可以從“生活中的角”（長短不一的實物）引入，對角的概念不必給出明確的定義，再通過折角、摸角、畫角、指角等活動來揭示角的概念，對“頂點”“邊”可以采用舉例的方式，課堂上老師只需引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注角的“射線”本質(zhì)以及兩條“射線”的張開程度即可。但到第二學(xué)段進(jìn)一步學(xué)習(xí)角時，應(yīng)清晰地給出角的定義，要學(xué)會用“射線”來描述角的概念。

二、“動態(tài)角呈現(xiàn)”的比較分析

從對比實驗版教材與修訂版教材后不難發(fā)現(xiàn)，兩個版本都有動態(tài)角的素材，都關(guān)注了角的“旋轉(zhuǎn)”這一本質(zhì)屬性。相比之下修訂版教材的動態(tài)角素材更多，除了剪刀和“活動角”，還多了鐘表和扇子。在描述語句上，實驗版的“這是活動的角”變?yōu)樾抻啺娴摹敖窃絹碓酱蟆保拔艺鄣暮湍銈冋鄣牟灰粯印毙抻啚椤拔艺鄣慕潜饶愕男　?，圖案也增加了“從小到大的變化過程”（陰影表示）。

透析：動態(tài)角可以展現(xiàn)角的形成過程，能夠在角的邊（射線）的旋轉(zhuǎn)過程中讓學(xué)生體會到角的大小與方向，為以后角的大小、分類乃至任意角、角的正負(fù)等知識的學(xué)習(xí)奠定基礎(chǔ)。修訂版教材所增加的“鐘表”“扇子”，是來自生活的原型，它們既可以“由一點引出兩條射線”，又可以“運動形成其他不同的角”。教材這樣的修訂是否告訴我們，課堂教學(xué)要更加關(guān)注角的運動（旋轉(zhuǎn)）體驗，學(xué)生只有積累了對角的體驗，才能更好地對角的大小進(jìn)行比較、分類的學(xué)習(xí)。與此同時，修訂版教材還增加了“活動角”的動態(tài)過程（從小到大的變化過程），以及修改了情境圖中兩位小朋友的兩張“紙片三角形”的邊的長短，教材的這樣修訂，更有利于幫助學(xué)生比較角的大小（與邊長短無關(guān)，與旋轉(zhuǎn)的角度有關(guān)），巧妙地回避了教學(xué)中經(jīng)常出現(xiàn)的“邊的長短與兩邊之間面積大小有關(guān)”的困惑。

啟示：動態(tài)角有利于學(xué)生建構(gòu)、理解角的概念，有利于學(xué)生體會到角的“旋轉(zhuǎn)”本質(zhì)。教學(xué)上可以讓學(xué)生同桌合作，用“活動角”做出一個角，并想一想、指一指“張開”的地方；然后再做一個角，要比之前的角大一些或小一些，讓學(xué)生感受到“一個角本身有大小，兩個角可以比較大小”。這一“旋轉(zhuǎn)”“比較”的操作過程，學(xué)生會自覺地將“角”看作一個整體，對角的認(rèn)識也會從“圖形特征”轉(zhuǎn)向“圖形要素”，轉(zhuǎn)向“空間觀念”，對角的概念也會從角的“對象”提升到角的“模型”。

三、“直角學(xué)習(xí)”的比較分析

實驗版教材和修訂版教材，都非常重視直角的學(xué)習(xí)。重視直角在“角”學(xué)習(xí)中的特殊地位，是因為直角既是前面“角的概念”知識的延續(xù)，又是后續(xù)“角的大小”“角的分類”知識的一個“支點”。修訂版教材的例3、例4、例5都是有關(guān)直角的知識，相比實驗版教材多了一個例題，其增加的例題為“以三角尺上的直角為比較對象，用‘比一比來認(rèn)識銳角、鈍角”，即利用直角的表象來進(jìn)行“角的分類”。同時修訂版教材還增加了用文字概括“根據(jù)‘比直角大或‘比直角小來判斷角的類型”的方法。

透析：修訂版教材除了增加“用直角來分類”的相關(guān)知識，其他關(guān)于直角的知識如“生活中的直角”“用紙折直角”“用三角尺畫直角”“判斷是不是直角”等，和實驗版教材差異不大，兩個版本都重視通過一些操作活動來加深對直角的學(xué)習(xí)。實驗版教材的“做一做”刪除了“方格紙上畫直角”的練習(xí)，改為“數(shù)圖形中的直角個數(shù)”，筆者認(rèn)為在學(xué)了“用三角尺畫直角”后再讓學(xué)生在方格紙上畫直角意義不是很大，而且以后需要畫直角時，學(xué)生不可能先畫出方格再去畫直角。修訂版教材更加注重了對直角知識的運用，把“角的分類”和“直角的學(xué)習(xí)”相結(jié)合，這是因為直角的知識有著承上啟下的作用，在“畫直角”時聯(lián)系了角的“射線”屬性，在“用直角對比銳角、鈍角”進(jìn)行角的大小比較或角的分類時，聯(lián)系了角的“旋轉(zhuǎn)”屬性。

啟示：直角既聯(lián)系著“射線”屬性，又聯(lián)系著“旋轉(zhuǎn)”屬性，因此我們需要對直角的知識加以重點突破，需要以本質(zhì)屬性來幫助學(xué)生了解直角的內(nèi)涵。在教學(xué)時可以通過“找”“折”“數(shù)”“畫”“比”等活動，借助“三角板”“活動角”“鐘表”來研究直角，以及用“重疊法”明晰“角的大小”比較的方法，為“角的分類”的教學(xué)奠定基礎(chǔ)，也為今后的垂直、直角坐標(biāo)系等知識鋪墊。

四、“角的大小”的比較分析

對比教材不難發(fā)現(xiàn)，實驗版教材例1只是“我折的和你們折的不一樣”，并沒有直接說是角的大小不一樣，其例4也并非是比較角的大小，而是判斷“是不是直角”，真正出現(xiàn)角的大小比較，是在其“練習(xí)八”的第三題，不過也只是比較兩個“大小一樣”的角，而比較兩個“大小不一樣”的角在實驗版教材中并未出現(xiàn)。

透析：修訂版教材的例1，就已經(jīng)點出了“我折的角比你的小”，其例5讓學(xué)生用三角尺上的直角與隊旗上的銳角、紅領(lǐng)巾上的鈍角進(jìn)行大小比較，同時還形成了歸納性文字“銳角比直角小”“鈍角比直角大”這樣的描述，其練習(xí)題是利用三角尺上的角進(jìn)行大小比較，有比較“大小一樣”的角（直角），也有比較“大小不一樣”的角（30°、 45°、 60°），這樣的修訂，彌補(bǔ)了實驗版教材“例題中沒有涉及角的大小比較，而在練習(xí)題中直接出現(xiàn)角的大小比較”的問題。筆者認(rèn)為，只通過一道習(xí)題讓學(xué)生學(xué)會對角大小的比較是遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠的，只對“大小一樣”角的進(jìn)行比較也是不夠的。

啟示：教學(xué)中，學(xué)生“角的大小比較”的錯誤率是比較高的，主要是因他們經(jīng)驗的負(fù)遷移。錯誤的原因主要包括兩方面：一是認(rèn)為畫出的邊越長，角就越大；二是認(rèn)為看到的角兩邊之間所夾部分所占的區(qū)域越大，角就越大。對于二年級學(xué)生來說，他們有著較為豐富的比較長度、比較面積或比較體積的生活經(jīng)驗，這些經(jīng)驗在其頭腦中形成了“大小”的模糊概念，因此角的“大小”很容易受其影響。教學(xué)時，建議老師借助“活動角”讓學(xué)生體會到角的大小，借助“三角板”讓學(xué)生形成有關(guān)角的大小的正確感知，以期幫助學(xué)生突破思維的障礙。

五、“角的分類”的比較分析

實驗版教材中只有判斷“哪個是角”或“哪個是直角”的相關(guān)知識，并沒有“角的分類”（銳角、鈍角的內(nèi)容在二年級下冊《圖形與變換》里），教材中所出現(xiàn)“銳角”或“鈍角”的圖形，只是給“是不是直角”的判斷提供素材而已，并不是真正意義上的“角的分類”。修訂版教材不僅增加了“銳角”“直角”“鈍角”的相關(guān)知識，以及它們之間的大小比較，而且還增加了以“連一連”的形式把角進(jìn)行分類。與此同時，修訂版教材（例5）還出示了“活動角”，以“旋轉(zhuǎn)”的形式呈現(xiàn)了“鈍角”。

透析：修訂版教材“角的分類”是按“大小”分成“銳角”“直角”“鈍角”三大類，故這里的學(xué)習(xí)內(nèi)容是“角的大小”知識的延續(xù)，也是“直角”知識的延伸。所以不難理解，修訂版教材為什么將“角的分類”從二下提至二上，把它與“直角”放在一起。修訂版教材出現(xiàn)的“銳角比直角小”“鈍角比直角大”，以及手拿“活動角”的小男孩說“這是一個鈍角”，都體現(xiàn)了“旋轉(zhuǎn)”這一本質(zhì)屬性，所以教材用“運動變化”的觀點暗示不同種類的角：銳角旋轉(zhuǎn)的角度比直角小，鈍角旋轉(zhuǎn)的角度比直角大。

啟示：正因為角有著“旋轉(zhuǎn)”這一本質(zhì)屬性，故我們可以用“角度”來表達(dá)旋轉(zhuǎn)的“程度”，也可以用旋轉(zhuǎn)“程度”來敘述角的“種類”。教學(xué)時，我們可以借助“活動角”，把直角作為一個比較對象，通過旋轉(zhuǎn)揭示銳角、鈍角的不同特點和三者之間的聯(lián)系與區(qū)別。抓住“旋轉(zhuǎn)”本質(zhì)進(jìn)行教學(xué)，有利于學(xué)生在四年級上冊用“動態(tài)”的角度去學(xué)習(xí)“角的分類”，去理解銳角、直角、鈍角，乃至平角、周角的概念意義，也有利于學(xué)生空間觀念的培養(yǎng)。

綜上所述，概念是反映事物本質(zhì)屬性的思維形態(tài)，而“角”的概念就反映了“射線”與“旋轉(zhuǎn)”兩大本質(zhì)屬性。不過，角本身就是由生活中的模型抽象而來，教學(xué)時如果讓二年級的小朋友去理解“射線”的無限、“旋轉(zhuǎn)”的位置、方向等概念，想必是一件非常困難的事情。因此，我們要根據(jù)小學(xué)生的認(rèn)知水平進(jìn)行教學(xué)，但是作為老師，自己必須要清楚地知道角的“來龍去脈”，必須要把握好角的“本質(zhì)屬性”。

[參 考 文 獻(xiàn)]

[1]朱樂平.角的認(rèn)識與度量教學(xué)研究[M].北京：教育科學(xué)出版社，2013.

[2]義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011版）解讀[M].武漢：湖北教育出版社，2011.

[3]杭州現(xiàn)代小學(xué)數(shù)學(xué)教育研究中心.新思維數(shù)學(xué)教學(xué)研究[M].杭州：浙江教育出版社，2008.

[4]綦春霞.數(shù)學(xué)比較教育[M].南寧：廣西教育出版社，2006.

[5]高凌飚.基礎(chǔ)教育教材評價[M].北京：人民教育出版社，2002.

[6]石鷗.最不該忽視的研究——關(guān)于教科書研究的幾點思考[J].湖南師范大學(xué)教育科學(xué)學(xué)報，2007（5）.

[7]宋運明，李明振，李鵬，宋乃慶.小學(xué)數(shù)學(xué)教材例題編寫特點研究[J].課程·教材·教法，2014（2）.

（責(zé)任編輯：李雪虹）